Implementing Jastrow--Gutzwiller operators on a quantum computer using the cascaded variational quantum eigensolver algorithm

Resumo Técnico: Implementação de Operadores Jastrow–Gutzwiller em um Computador Quântico usando o Eigensolver Variacional Quântico em Cascata

Declaração do Problema
Os computadores quânticos oferecem o potencial de acessar espaços de Hilbert exponencialmente grandes para determinar os estados fundamentais de sistemas quânticos, uma tarefa frequentemente intratável para computadores clássicos. Embora algoritmos variacionais como o Eigensolver Variacional Quântico (VQE) sejam promissores para dispositivos de curto prazo devido à sua baixa profundidade de circuito, eles dependem fortemente da escolha de um ansatz. Uma abordagem poderosa para melhorar estados variacionais é o uso de operadores Jastrow–Gutzwiller, que adicionam correlações de muitos corpos (especificamente correlações densidade-densidade e restrições a orbitais duplamente ocupados) a um estado de teste. No entanto, o operador Jastrow–Gutzwiller é não unitário. Essa não unitariedade apresenta um desafio significativo para a implementação direta em computadores quânticos, que operam inerentemente via evolução unitária. Métodos existentes frequentemente exigem qubits auxiliares ou aproximações para lidar com essa não unitariedade, o que pode aumentar a profundidade e a complexidade do circuito além das capacidades do hardware atual.

Metodologia
Os autores propõem uma implementação inovadora do operador Jastrow–Gutzwiller usando o algoritmo Eigensolver Variacional Quântico em Cascata (CVQE). O núcleo de seu método é um ansatz da forma $\hat{A}(\theta) = \hat{G}(\theta)\hat{U}$, onde:

• $\hat{U}$ é um operador unitário de Thouless que realiza uma mudança de base no espaço de Hilbert de um corpo (por exemplo, transformando um estado de Fock em um mar de Fermi).
• $\hat{G}(\theta)$ é o operador não unitário Jastrow–Gutzwiller, definido como $\hat{G}(\theta) = \exp(-\sum_{qq'} \theta_{qq'} \hat{n}_q \hat{n}_{q'})$, onde $\hat{n}_q$ são operadores de número e $\theta_{qq'}$ são parâmetros variacionais.

A inovação chave reside na forma como o valor esperado da energia, $E(\theta) = \frac{\langle \Psi_n | \hat{G}(\theta) \hat{H} \hat{G}(\theta) | \Psi_n \rangle}{\langle \Psi_n | \hat{G}^2(\theta) | \Psi_n \rangle}$, é computado. Como $\hat{G}(\theta)$ é diagonal na base do número de ocupação, os autores demonstram que os termos exponenciais no produto do operador podem ser avaliados classicamente com base nos resultados de medição, em vez de exigir a expansão da exponencial em uma soma de strings de Pauli no computador quântico.

O procedimento envolve:

1. Preparação do Estado: Preparar um estado inicial $|\Psi_n\rangle = \hat{U}|\Phi_n\rangle$ usando um circuito quântico composto por portas elementares de um e dois qubits derivadas da decomposição do operador unitário $\hat{f}$.
2. Medição: Medir o sistema na base computacional (ou em uma base rotacionada para termos cinéticos) para obter números de ocupação.
3. Pós-processamento Clássico: Usar os números de ocupação medidos para avaliar os fatores exponenciais diagonais de $\hat{G}(\theta)$ e $\hat{G}^2(\theta)$ classicamente. Isso evita a necessidade de qubits adicionais ou circuitos profundos para simular o operador não unitário.
4. Otimização: Variar os parâmetros $\theta$ classicamente para minimizar o valor esperado da energia.

Contribuições Principais

• Implementação de Operador Não Unitário: O artigo apresenta um método para implementar operadores Jastrow–Gutzwiller não unitários em hardware quântico sem adicionar qubits auxiliares ou aproximar o operador, aproveitando o framework CVQE.
• Esquema de Medição Eficiente: Ao mapear o problema de modo que os operadores de número permaneçam diagonais, os autores mostram que os termos exponenciais podem ser inseridos diretamente no cálculo da energia com base nos resultados de medição, reduzindo significativamente a sobrecarga de medição em comparação com a expansão do operador em strings de Pauli.
• Desacoplamento de Espécies de Spin: O método permite a avaliação do circuito apenas para uma única espécie de spin no computador quântico, com a outra espécie tratada classicamente. Isso efetivamente reduz pela metade o número de qubits necessários para a demonstração.
• Demonstração Experimental: O método é demonstrado no processador quântico IBM Q Lagos (um dispositivo de 7 qubits) para um modelo de Hubbard de quatro sítios em redes quadradas e triangulares com condições de contorno periódicas no meio do preenchimento.

Resultados
Os autores aplicaram seu método ao modelo de Hubbard com parâmetro de energia cinética $k$ e intensidade de interação $d$.

• Minimização de Energia: Eles minimizaram com sucesso o valor esperado da energia $E(\theta)$ em relação ao parâmetro de Gutzwiller $\theta$.
• Comparação: Os resultados foram comparados com a diagonalização exata (a energia exata do estado fundamental) e simulações clássicas livres de ruído de seu método.
• Análise de Ruído:
  • Ao executar o cálculo completo (elétrons com spin para cima e para baixo) no dispositivo quântico, o ruído introduziu erros nos valores esperados de energia.
  • Ao executar apenas uma única espécie de spin no dispositivo quântico (com a outra simulada classicamente), o erro foi significativamente reduzido.
  • O erro no valor esperado da energia permaneceu relativamente constante em função da intensidade de interação $d$, e em alguns casos diminuiu ligeiramente à medida que $d$ se aproximava de $k$.
• Otimização: O parâmetro ótimo $\theta^*$ foi encontrado localizando o mínimo da curva de energia, e as energias otimizadas resultantes rastrearam de perto a energia exata do estado fundamental, particularmente na configuração de espécie única de spin.

Significado e Alegações
O artigo afirma que essa abordagem permite a implementação do ansatz Jastrow–Gutzwiller em hardware quântico de curto prazo sem a sobrecarga de recursos de qubits auxiliares ou os erros de aproximação associados a outras implementações não unitárias. Ao mover a avaliação dos fatores exponenciais não unitários para o computador clássico, o método desacopla a otimização dos parâmetros variacionais da necessidade de reexecutar circuitos quânticos para cada atualização de parâmetro. Além disso, a capacidade de simular apenas uma espécie de spin no dispositivo quântico enquanto trata a outra classicamente reduz pela metade a exigência de contagem de qubits, tornando a abordagem mais viável para dispositivos atuais com conectividade e tempos de coerência limitados. A demonstração no dispositivo IBM Q Lagos valida a viabilidade dessa abordagem "em cascata" para sistemas fermiônicos, especificamente o modelo de Hubbard, fornecendo um caminho para incorporar efeitos de forte correlação em algoritmos variacionais quânticos.