Cohesive phase-field fracture with an explicit strength surface: an eigenstrain-based return-mapping formulation

ملخص تقني: مجال طور تماسك مع سطح قوة صريح

بيان المشكلة
تتجذر طرق كسر مجال الطور (Phase-field fracture) القياسية بشكل أساسي في نظرية غريفيث للكسر الهش. وبناءً على ذلك، فهي تفتقر إلى وصف متأصل لقوة المادة، مما يجعل تنوي الكسر (crack nucleation) يعتمد على معايير تعسفية أو على معامل التنظيم (طول مقياس مجال الطور) بدلاً من سطح خضوع فيزيائي. علاوة على ذلك، تواجه هذه الطرق صعوبة في التقاط سلوك الكسر التماسكي (cohesive fracture) والاستجابات المطيلية، حيث يتم معايرة دوال التدهور عادةً للشد أحادي المحور ولا تمتد بشكل طبيعي لتشمل التحميل متعدد المحاور أو التقوية المعتمدة على الضغط. وبينما نجحت الصيغ الحديثة القائمة على الانفعال الذاتي (eigenstrain-based formulations) (مثل أعمال فيسينتيني وآخرون، وبوردين وآخرون) في فصل قوة المادة عن طاقة الكسر عبر إدخال انفعالات ذاتية للكسر، إلا أن تنفيذها يعتمد على أطر عمل لتقليل الطاقة العالمية. يعامل هذا النهج الانفعالات الذاتية كمتغيرات حقلية إضافية، مما يؤدي إلى إدخال درجات حرية عالمية إضافية ويتطلب برمجيات متخصصة، مما يعيق دمجها في أكواد العناصر المحدودة (FE) القياسية التي تقوم بتقييم النماذج التكوينية عند نقاط التكامل.

المنهجية
يعمل هذا العمل على إعادة صياغة نموذج مجال الطور التماسكي القائم على الانفعال الذاتي كنموذج تكويني محلي، على غرار مخططات عودة الخرائط (return-mapping) في اللدونة، لتمكين دمجها في أكواد العناصر المحدودة القياسية دون الحاجة إلى درجات حرية عالمية إضافية.

• المعادلات الحاكمة: تستخدم الصيغة دالة طاقة إجمالية تتكون من الطاقة المرنة (بناءً على الإزاحة والانفعالات الذاتية للكسر)، وطاقة الكسر (الموزعة عبر معامل مجال الطور $\phi$)، وجهد القوة. يتم تعريف الانفعال المرن كـ $\varepsilon^{el} = \varepsilon - \eta$، حيث تمثل $\eta$ الانفعال الذاتي للكسر.
• الصياغة التكوينية المحلية: الابتكار الرئيسي هو حل تطور الانفعال الذاتي بالكامل عند مستوى نقطة التكامل. يتم تعريف الانفعالات الذاتية كـ $\eta = \lambda G(\varepsilon)$، حيث $\lambda$ هو مضاعف و $G$ هي دالة اتجاه تعتمد على حالة الانفعال. يسمح هذا بتحديث النموذج التكويني محلياً باستخدام مخطط نيوتن-رافسون، بشكل مشابه لللدونة، بدلاً من الحل العالمي.
• معايير القوة: تم تنفيذ معيارين متميزين لجهد القوة:
  1. معيار $r_1$ غير السلس: يتميز بقوة شد ($f_t$) وقوة قص ($f_s$) مستقلتين مع قوة ضغط عالية لفرض عدم الاختراق.
  2. معيار شبيه بـ دروكر-براجرير (Drucker-Prager) السلس: يلتقط التقوية المعتمدة على الضغط تحت تأثير الضغط. يستخدم بارامتر الانفعال المرجعي ($\varepsilon_{ref}$) لتحديد الانتقال بين نظامي الشد والضغط، مما يضمن سطح فشل سلس.
• التنفيذ الخوارزمي: اشتق المؤلفون مؤثرات المماس المتسقة لكل من المعايير السلسة وغير السلسة لضمان التقارب القوي لمحلل نيوتن-رافسون العالمي. يتم استخدام مخطط حل متدرج (staggered solution scheme)، حيث يتم حل الإزاحات والانفعالات الذاتية أولاً، يليه متغير مجال الطور، مع التكرار حتى التقارب. تم استخدام عناصر لاغرانج التربيعية والبرمجة باستخدام FEniCSx.

المساهمات الرئيسية

1. صياغة عودة الخرائط المحلية: المساهمة الأساسية هي إعادة صياغة تطور الانفعال الذاتي إلى نموذج تكويني محلي. هذا يلغي الحاجة إلى درجات حرية عالمية إضافية، مما يسمح بتنفيذ نموذج مجال الطور التماسكي كبديل "جاهز للاستخدام" (drop-in replacement) لنماذج مجال الطور القياسية في أكواد العناصر المحدودة الموجودة.
2. سطح قوة صريح: يحدد هذا الأسلوب صراحةً سطح قوة المادة لتنوي الكسر، مما يفصل بين معدل إطلاق طاقة الكسر ($G_c$) وبين سطح القوة. يتيح ذلك التحكم المستقل في إجهاد التنوي وطاقة الانتشار.
3. مؤثرات المماس المتسقة: يضمن اشتقاق مؤثرات المماس المتسقة ذات الشكل المغلق لكل من أسطح القوة السلسة وغير السلسة الاستقرار العددي ومعدلات التقارب التربيعي للمحلل العالمي.
4. المعيار المعتمد على الضغط: يتيح إدخال معيار شبيه بـ دروكر-براجرير السلس نمذجة التقوية المعتمدة على الضغط تحت تأثير الضغط، وهي ميزة غالباً ما تفتقر إليها صياغات مجال الطور القياسية.

النتائج والتحقق
تم التحقق من إطار العمل مقابل ثلاث مسائل مرجعية:

• صفيحة بها ثقب (شد/ضغط): يظهر النموذج سلوكاً مستقلاً عن الشبكة (mesh-independent) عندما يكون حجم العنصر صغيراً بما يكفي بالنسبة لطول مجال الطور ($\ell/dx \geq -2$). كما يلتقط بشكل صحيح الانتقال من السلوك الهش إلى السلوك التماسكي مع زيادة $G_c$. تحت تأثير الضغط، يفرض النموذج عدم الاختراق ويتنبأ بشكل صحيح بتشكل حزمة القص، وإن لوحظ وجود تنافس بين التصدع الأفقي الناتج عن الشد والتصدع القطري الناتج عن القص عند قيم $G_c$ المنخفضة.
• صفيحة مشقوقة من طرف واحد (قص): يلتقط النموذج بنجاح الكسر متعدد الأنماط. باستخدام معيار دروكر-براجرير مع انفعالات مرجعية منخفضة (قوة ضغط عالية)، ينتقل مسار الشق من كونه مدفوعاً بالقص إلى كونه مدفوعاً بالشد، مما يثبت قدرة النموذج على التعامل مع حالات الإجهاد المعقدة دون الحاجة إلى مخططات تقسيم تعسفية.
• الكسر الديناميكي: في سيناريوهات التحميل الديناميكي، يلتقط النموذج ظواهر تفرع الشقوق بشكل طبيعي. تظهر النتائج أن زيادة $G_c$ تثبط تفرع الشقوق وتقلل من سرعة الانتشار، بينما يتحكم سطح القوة في عملية التنوي الأولية. ينتج النموذج نتائج مستقلة عن الشبكة ومستقلة عن المقياس فيما يتعلق بالحمل الأقصى ومسارات الشقوق.

الأهمية والادعاءات
يزعم البحث أن هذا الإطار يوفر أداة قوية ومرنة لمحاكاة عمليات الكسر التماسكي. من خلال فصل سطح القوة عن طاقة الكسر وطول مجال الطور، يسمح هذا الأسلوب بـ:

• التنبؤ بتنوي الشقوق بناءً على قوة مادية محددة.
• التحكم في انتشار الشقوق والانتقال من الهش إلى التماسكي حصرياً من خلال معدل إطلاق طاقة الكسر ($G_c$).
• محاكاة الظواهر المعقدة، مثل تفرع الشقوق والانتشار متعدد الأنماط، دون الحاجة إلى معايير تعسفية.
• التكامل السلس في أكواد العناصر المحدودة القياسية دون تعديل المحللات العالمية أو صياغات العناصر.

يؤكد المؤلفون أن طول المقياس $\ell$ يعمل فقط كمعامل تنظيم عددي لعرض توزيع مجال الطور ولا يؤثر على قوة المادة الفيزيائية أو تبديد الطاقة، بشر قدم ما كانت الشبكة دقيقة بما يكفي. كما تم جعل الكود المصدري متاحاً للجميع لتسهيل المزيد من التطبيق والتحقق.