On nth order linear strain gradient viscoelasticity

ملخص تقني: اللزوجة المرنة لتدرج الانفعال من الرتبة n-ألف

بيان المشكلة
بينما وُضعت نظريات مرونة تدرج الانفعال (بما في ذلك النماذج من الرتبة الأولى والنماذج العامة من الرتبة n-ألف) للمواد المرنة لالتقاط تأثيرات الحجم في المواد النانوية والمركبات، إلا أن توسيعها ليشمل اللزوجة المرنة لا يزال غير مكتمل. إن نظريات اللزوجة المرنة التدرجية الموجودة [43–45] تقتصر عادةً على رتبة تدرج واحدة (تُسمى غالباً "الرتبة الأولى" في تلك السياقات) وتفتقر إلى صياغة متسقة لطاقة الحركة التي تتضمن موترات العطالة المجهرية العليا. تعالج هذه الورقة هذه الفجوة من خلال صياغة نظرية عامة للزوجة مرنة لتدرج الانفعال من الرتبة n-ألف، تتضمن طاقة حركة متسقة، وتؤسس مراسلة دقيقة مع خصائص التشتت للشبكات اللزوجة المرنة المنفصلة.

المنهجية
يطور المؤلفون نظرية متصلة تعتمد على التشوهات الصغيرة، حيث يتم إدخال حقل الإزاحة $u(x,t)$ وتدرجاته حتى الرتبة $n$. تسير المنهجية عبر ثلاث مراحل رئيسية:

1. الصياغة التكوينية: يتم تعريف الإجهاد $T^{(1)}$ والإجهادات الفائقة $T^{(k)}$ (لـ $k=2, \dots, n$) كدوال لتاريخ الانفعال $\varepsilon$ وتدرجات الانفعال $K_j = \nabla^j u$. تستخدم المعادلات التكوينية موترات الاسترخاء $C^{(k)}$ و $C_j^{(k)}$ في صيغة التفاف ستيلجيس (Stieltjes convolution). كما تُعرض صيغة قطرية مبسطة حيث يعتمد كل إجهاد فائق فقط على تاريخ التدرج المقابل له.
2. طاقة الحركة ومعادلات الحركة: يتم إدخال كثافة طاقة حركة متسقة $K$، تتضمن الكثافة الكتلية $\rho$ وموترات العطالة المجهرية $J_{jj}$ المرتبطة بمعدلات الانفعال حتى الرتبة $n-1$. يؤدي هذا إلى معادلات حركة من الرتبة $2n$، توازن بين حدود العطالة (بما في ذلك المشتقات المكانية العليا للتسارع) وتشتت موترات الإجهاد والإجهاد الفائق.
3. المراسلة من المنفصل إلى المتصل: لتحديد رتب التدرج المقبولة فيزيائياً، يحلل المؤلفون سلسلة لزوجة مرنة أحادية البعد لانهائية (كتل متصلة بنوابض كيلفن-فويغت). يشتقون علاقة التشتت الدقيقة لهذا النظام المنفصل ويقربون مؤثر "الجايب-المربع" (sine-squared) غير المحلي باستخدام تقريبات باديه (Padé approximants) $P[p, q]$. ومن خلال مقارنة سرعات الطور والمجموعة للتقريبات المتصلة مقابل النموذج المنفصل، يحددون أي رتب باديه تحقق سلوكاً مستقراً ومستقراً سببياً (سرعات محدودة وغير صفرية عند الأعداد الموجية العالية).

المساهمات الرئيسية
تقدم الورقة ثلاثة عناصر جديدة تماماً في هذا المجال:

• التوسيع لأي رتبة: توسيع اللزوجة المرنة لتدرج الانفعال إلى أي رتبة $n$، مما يسمح للإجهادات الفائقة بالاعتماد على تدرجات الانفعال حتى تلك الرتبة.
• طاقة حركة متسقة: إدخال صياغة لطاقة الحركة متسقة مع تدرج الرتبة $n$-ألف، بما في ذلك موترات العطالة المجهرية المرتبطة بها، والتي كانت غائبة في أعمال التدرج اللزوجة المرنة السابقة.
• معيار القبول: معيار صريح لقبول رتب التدرج مشتق من ديناميكا الشبكة. يكشف التحليل أن تقريبات باديه من الرتبة $[4m+2, 4m]$ فقط (حيث $m$ عدد صحيح) هي التي تحقق متطلبات السببية والاستقرار. وتحديداً، تؤدي التقريبات ذات الرتب الزوجية (مثل $[4,2]$) إلى أنماط غير مستقرة ديناميكياً ذات حلول تنمو أسياً، بينما تنتج النماذج المتصلة ذات الرتب الفردية (المقابلة لـ $[6,4]$، $[10,8]$، إلخ) سرعات طور ومجموعة محدودة وإيجابية.

النتائج

• تحليل التشتت: تظهر الدراسة أن توسيعات متسلسلة تايلور القياسية (رتبة باديه $[p, 0]$) تؤدي إلى سرعات طور ومجموعة لانهائية مع زيادة العدد الموجي، مما ينتهك مبدأ السببية. في المقابل، تضمن رتب باديه المحددة $[4m+2, 4m]$ بقاء السرعات محدودة وغير صفرية.
• المراسلة مع الرتب الفردية: تتوافق رتب باديه المقبولة تماماً مع النماذج المتصلة ذات الرتب الفردية. على سبيل المثال، الرتبة الدنيا المقبولة $[6, 4]$ تقابل نموذج مرونة تدرج ثالث.
• تحليل الاهتزاز: كدراسة حالة، يحلل المؤلفون الاهتزازات القسرية لقضيب لزوج مرن من الدرجة الثالثة (المقابل للتقريب $[6,4]$). يشتقون الترددات الذاتية للحد المرن ويحلون مسألة الاهتزاز القسري تحت إثارة توافقية. تظهر النتائج أن تأثيرات اللزوجة تصبح أكثر وضوحاً عند الترددات العالية، وأن نموذج الدرجة الثالثة ينتج ملفات إزاحة أكثر سلاسة بالقرب من الحدود المثبتة مقارنة بالنماذج الكلاسيكية.

الأهمية والادعاءات
يدعي المؤلفون أن هذا العمل يمثل أول صياغة عامة للرتبة $n$-ألف للزوجة المرونة لتدرج الانفعال المرتبطة بشكل متسق بطاقة الحركة والمقيدة بمراسلة من المنفصل إلى المتصل. تكمن الأهمية الأساسية في تحديد معيار القبول الفيزيائي: فقط نماذج التدرج ذات الرتب الفردية المحددة (المشتقة من تقريبات باديه محددة) هي التي يمكن تحقيقها فيزيائياً عند نمذجة الأوساط اللزوجة المرنة المشتتة المشتقة من التفاعلات بين الجيران الأقرب.

تقر الورقة بوجود قيود، مشيرة إلى أن المراسلة قد أُرسيت لنظام "كيلفن-فويغت" محدد ذي جيران أقرب، وأن حجة السببية قد نُفذت صراحة في الحد المرن ($\eta = 0$)، مع ترك التوسع في علاقة التشتت اللزوجة المرنة الكاملة للعمل المستقبلي. كما تذكر أيضاً أن الموترات التكوينية وموترات العطالة المجهرية المقدمة ليست مرتبطة بعد بكميات قابلة للقياس، مما يتطلب إجراءات تحديد تجريبية مستقبلية مشابهة لتلك الموجودة في نظريات تدرج المرونة. ويقترح العمل تطبيقات محتملة في نمذجة الظواهر السطحية في المواد الصلبة وسلوك المواد الخارقة الشبيهة بالشبكات (مثل هياكل الأوريغامي-كيريغامي) حيث تكون الاحتكاكات الداخلية وتدرجات الرتب العليا ذات صلة.