On nth order linear strain gradient viscoelasticity

技术摘要：$n$ 阶线性应变梯度粘弹性理论

问题陈述
虽然应变梯度弹性理论（包括一阶和通用的 $n$ 阶模型）已在描述纳米材料和复合材料的尺寸效应方面得到建立，但其向粘弹性的扩展仍不完整。现有的粘弹性梯度理论 [43–45] 通常局限于单一的梯度阶数（在这些语境中通常被称为“一阶”），并且缺乏包含高阶微惯性张量的相容动能表述。此外，目前还没有建立起确定的准则，用以在将连续介质模型与离散微结构联系起来时，确定哪些特定的梯度阶数在物理上是可容许的。本文通过构建一个包含相容动能并与离散粘弹性晶格色散特性建立严谨对应关系的通用 $n$ 阶线性应变梯度粘弹性理论，填补了这一空白。

研究方法
作者开发了一种基于小变形的连续介质理论，引入了位移场 $u(x,t)$ 及其最高至 $n$ 阶的梯度。该方法通过三个主要阶段进行：

1. 本构表述： 应力 $T^{(1)}$ 和超应力 $T^{(k)}$（对于 $k=2, \dots, n$）被定义为应变 $\varepsilon$ 历史和应变梯度 $K_j = \nabla^j u$ 的泛函。本构方程采用 Stieltjes 卷积形式，利用松弛张量 $C^{(k)}$ 和 $C_j^{(k)}$。文中还给出了一个简化的对角形式，其中每个超应力仅取决于其对应的梯度历史。
2. 动能与运动方程： 引入了一个相容的动能密度 $K$，其中包含了与最高至 $n-1$ 阶应变率相关的质量密度 $\rho$ 和微惯性张量 $J_{jj}$。由此导出了 $2n$ 阶运动方程，将惯性项（包括加速度的高阶空间导数）与应力及超应力张量的散度进行平衡。
3. 离散-连续对应关系： 为了确定可容许的梯度阶数，作者分析了一个一维无限粘弹性链（由质量块通过 Kelvin-Voigt 弹簧连接）。他们推导了该离散系统的精确色散关系，并利用 Padé 近似 $P[p, q]$ 对非局部正弦平方算子进行了逼近。通过将连续介质近似的相速度和群速度与离散模型进行比较，他们确定了哪些 Padé 阶数能够产生物理上稳定且具有因果性的行为（在高波数下具有有限且非零的速度）。

核心贡献
本文向该领域引入了三个全新的元素：

• 任意阶扩展： 将应变梯度粘弹性扩展到了任意阶 $n$，允许超应力依赖于最高至该阶的应变梯度。
• 相容动能： 引入了与 $n$ 阶梯度相容的动能表述，包括相关的微惯性张量，这在以往的粘弹性梯度研究中是缺失的。
• 可容许性准则： 提出了一个源自晶格动力学的明确的可容许阶数准则。分析表明，只有特定阶数的 Padé 近似 $[4m+2, 4m]$（其中 $m$ 为整数）能满足因果性和稳定性要求。具体而言，偶数阶近似（例如 $[4,2]$）会导致动力学不稳定模态（即出现指数增长解），而奇数阶连续介质模型（对应于 $[6,4], [10,8]$ 等）则产生有限且正的相速度和群速度。

结果

• 色散分析： 研究表明，标准的泰勒级数展开（Padé 阶数为 $[p, 0]$）会导致相速度和群速度随波数增加而趋于无穷大，从而违反因果律。相比之下，特定的 Padé 阶数 $[4m+2, 4m]$ 确保了速度保持有限且非零。
• 奇数阶对应关系： 可容许的 Padé 阶数与奇数阶连续介质模型完全对应。例如，最小的可容许阶数 $[6, 4]$ 对应于三阶梯度弹性模型。
• 振动分析： 作为案例研究，作者分析了一个三阶梯度粘弹性棒（对应于 $[6,4]$ 近似）的强迫振动。他们推导了弹性极限下的特征频率，并求解了谐波激励下的强迫振动问题。结果显示，粘性效应在高频下变得更加显著，且与经典模型相比，三阶梯度模型在夹持边界附近产生的位移剖面更加平滑。

意义与主张
作者声称，这项工作提供了第一个与动能相容，并受离散-连续对应关系约束的通用 $n$ 阶应变梯度粘弹性表述。其主要意义在于确定了一个物理上的可容许性准则：当模拟源自最近邻相互作用的色散粘弹性介质时，只有特定的奇数阶梯度模型（由特定的 Padé 近似导出）在物理上是可实现的。

论文承认了局限性，指出该对应关系是针对特定的最近邻 Kelvin-Voigt 链建立的，且因果性论证是在弹性极限（$\eta = 0$）下明确进行的，将其扩展到完整的粘弹性色散关系留待未来研究。此外，文中提到所引入的本构张量和微惯性张量尚未与可测量物理量挂钩，需要未来参照应变梯度弹性理论中的程序进行实验鉴定。该工作暗示了在模拟固体表面现象以及具有内部摩擦和高阶梯度的晶格类超材料（如折纸-剪纸结构）行为方面的潜在应用。