On nth order linear strain gradient viscoelasticity

Resumo Técnico: Viscoelasticidade de Gradiente de Deformação de Ordem $n$

Problema
Embora as teorias de elasticidade de gradiente de deformação (incluindo modelos de primeira ordem e de ordem geral $n$) tenham sido estabelecidas para meios elásticos para capturar efeitos de tamanho em nanomateriais e compósitos, sua extensão para a viscoelasticidade permanece incompleta. As teorias de gradiente viscoelástico existentes [43–45] são tipicamente restritas a uma única ordem de gradiente (frequentemente denominada "primeira ordem" nesses contextos) e carecem de uma formulação consistente de energia cinética envolvendo tensores de microinércia de ordem superior. Além disso, não há um critério estabelecido para determinar quais ordens de gradiente específicas são fisicamente admissíveis ao relacionar modelos contínuos com microestruturas discretas. Este artigo aborda essa lacuna formulando uma teoria geral de viscoelasticidade de gradiente de deformação de ordem $n$ linear que inclui energia cinética consistente e estabelece uma correspondência rigorosa com as propriedades de dispersão de redes viscoelásticas discretas.

Metodologia
Os autores desenvolvem uma teoria contínua baseada em pequenas deformações, introduzindo um campo de deslocamento $u(x,t)$ e seus gradientes até a ordem $n$. A metodologia procede através de três estágios principais:

1. Formulação Constitutiva: A tensão $T^{(1)}$ e os hipertensores $T^{(k)}$ (para $k=2, \dots, n$) são definidos como funcionais do histórico da deformação $\varepsilon$ e dos gradientes de deformação $K_j = \nabla^j u$. As equações constitutivas utilizam tensores de relaxação $C^{(k)}$ e $C_j^{(k)}$ em uma forma de convolução de Stieltjes. Uma forma diagonal simplificada também é apresentada, onde cada hipertensor depende apenas do histórico de seu gradiente correspondente.
2. Energia Cinética e Equações de Movimento: Uma densidade de energia cinética $K$ consistente é introduzida, incorporando a densidade de massa $\rho$ e tensores de microinércia $J_{jj}$ associados a taxas de deformação até a ordem $n-1$. Isso leva a equações de movimento de ordem $2n$, equilibrando termos inerciais (incluindo derivadas espaciais de ordem superior da aceleração) com a divergência dos tensores de tensão e hipertensão.
3. Correspondência Discreto-Contínuo: Para determinar as ordens de gradiente admissíveis, os autores analisam uma cadeia viscoelástica 1D infinita (massas conectadas por molas de Kelvin-Voigt). Eles derivam a relação de dispersão exata para este sistema discreto e aproximam o operador seno-ao-quadrado não local usando aproximantes de Padé $P[p, q]$. Ao comparar as velocidades de fase e de grupo das aproximações contínuas contra o modelo discreto, eles identificam quais ordens de Padé produzem um comportamento estável e causal (velocidades finitas e não nulas em altos números de onda).

Principais Contribuições
O artigo introduz três elementos genuinamente novos para o campo:

• Extensão de Ordem Arbitrária: Uma extensão da viscoelasticidade de gradiente de deformação para uma ordem $n$ arbitrária, permitindo que os hipertensores dependam de gradientes de deformação até essa ordem.
• Energia Cinética Consistente: A introdução de uma formulação de energia cinética consistente com o gradiente de ordem $n$, incluindo os tensores de microinércia associados, que estavam ausentes em trabalhos anteriores de gradiente viscoelástico.
• Critério de Admissibilidade: Um critério explícito para a admissibilidade de ordens de gradiente derivado da dinâmica de rede. A análise revela que apenas os aproximantes de Padé da ordem específica $[4m+2, 4m]$ (onde $m$ é um inteiro) satisfazem os requisitos de causalidade e estabilidade. Especificamente, aproximações de ordem par (ex: $[4,2]$) levam a modos dinamicamente instáveis com soluções de crescimento exponencial, enquanto modelos contínuos de ordem ímpar (correspondentes a $[6,4]$, $[10,8]$, etc.) produzem velocidades de fase e de grupo finitas e positivas.

Resultos

• Análise de Dispersão: O estudo demonstra que as expansões de série de Taylor padrão (ordem de Padé $[p, 0]$) resultam em velocidades de fase e de grupo infinitas conforme o número de onda aumenta, violando a causalidade. Em contraste, as ordens de Padé específicas $[4m+2, 4m]$ garantem que as velocidades permaneçam finitas e não nulas.
• Correspondência de Ordem Ímpar: As ordens de Padé admissíveis correspondem exatamente a modelos contínuos de ordem ímpar. Por exemplo, a ordem mínima admissível $[6, 4]$ corresponde a um modelo de elasticidade de gradiente de terceira ordem.
• Análise de Vibração: Como estudo de caso, os autores analisam as vibrações forçadas de uma barra viscoelástica de terceiro gradiente (correspondente à aproximação $[6,4]$). Eles derivam as frequências próprias para o limite elástico e resolvem o problema de vibração forçada para excitação harmônica. Os resultados mostram que os efeitos de viscosidade tornam-se mais pronunciados em frequências mais altas e que o modelo de terceiro gradiente produz perfis de deslocamento mais suaves próximos a contornos engastados em comparação com modelos clássicos.

Significância e Alegações
Os autores alegam que este trabalho fornece a primeira formulação geral de ordem $n$ de viscoelasticidade de gradiente de deformação que é consistentemente acoplada com energia cinética e restringida por uma correspondência discreto-contínuo. A principal significância reside na identificação de um critério de admissibilidade física: apenas modelos de gradiente de ordem ímpar específicos (derivados de aproximantes de Padé específicos) são fisicamente realizáveis ao modelar meios viscoelásticos dispersivos derivados de interações de vizinhos próximos.

O artigo reconhece limitações, observando que a correspondência é estabelecida para uma cadeia Kelvin-Voigt de vizinhos próximos específica e que o argumento de causalidade foi explicitamente realizado no limite elástico ($\eta = 0$), sendo a extensão para a relação de dispersão viscoelástica completa deixada para trabalhos futuros. O texto afirma ainda que os tensores constitutivos e de microinércia introduzidos ainda não estão vinculados a quantidades mensuráveis, exigindo procedimentos de identificação experimental futuros análogos aos utilizados em teorias de gradiente de deformação elástica. O trabalho sugere potenciais aplicações no modelagem de fenômenos de superfície em sólidos e no comportamento de metamateriais de estrutura de rede (ex: estruturas de origami-kirigami) onde o atrito interno e gradientes de ordem superior são relevantes.