On nth order linear strain gradient viscoelasticity

Sintesi Tecnica: Viscoelasticità a gradiente di deformazione lineare dell'ordine $n$-esimo

Enunciato del Problema
Sebbene le teorie dell'elasticità a gradiente di deformazione (comprese quelle del primo ordine e i modelli generali dell'ordine $n$-esimo) siano state stabilite per i mezzi elastici per catturare gli effetti di scala nei nanomateriali e nei compositi, la loro estensione alla viscoelasticità rimane incompleta. Le teorie della viscoelasticità a gradiente esistenti [43–45] sono tipicamente limitate a un singolo ordine di gradiente (spesso definito "del primo ordine" in tali contesti) e mancano di una formulazione coerente dell'energia cinetica che coinvolga tensori di microinerzia di ordine superiore. Inoltre, non esiste un criterio stabilito per determinare quali specifici ordini di gradiente siano fisicamente ammissibili nel relazionare i modelli del continuo con le microstrutture discrete. Questo articolo affronta il vuoto formulando una teoria generale della viscoelasticità a gradiente di deformazione lineare dell'ordine $n$-esimo che include un'energia cinetica coerente e stabilisce una rigorosa corrispondenza con le proprietà di dispersione dei reticoli viscoelastici discreti.

Metodologia
Gli autori sviluppano una teoria del continuo basata su piccole deformazioni, introducendo un campo di spostamento $u(x,t)$ e i suoi gradienti fino all'ordine $n$. La metodologia procede attraverso tre fasi principali:

1. Formulazione Costitutiva: Lo sforzo $T^{(1)}$ e gli iperstress $T^{(k)}$ (per $k=2, \dots, n$) sono definiti come funzionali della storia della deformazione $\varepsilon$ e dei gradienti di deformazione $K_j = \nabla^j u$. Le equazioni costitutive utilizzano tensori di rilassamento $C^{(k)}$ e $C_j^{(k)}$ in una forma di convoluzione di Stieltjes. Viene presentata anche una forma diagonale semplificata in cui ogni iperstress dipende solo dalla storia del proprio gradiente corrispondente.
2. Energia Cinetica ed Equazioni del Moto: Viene introdotta una densità di energia cinetica $K$ coerente, che incorpora la densità di massa $\rho$ e i tensori di microinerzia $J_{jj}$ associati ai tassi di deformazione fino all'ordine $n-1$. Ciò porta a equazioni del moto di ordine $2n$, che bilanciano i termini inerziali (inclusi gli ordini superiori di derivate spaziali dell'accelerazione) con la divergenza dei tensori di sforzo e iperstress.
3. Corrispondenza Discreto-Continuo: Per determinare gli ordini di gradiente ammissibili, gli autori analizzano una catena viscoelastica infinita 1D (masse collegate da molle Kelvin-Voigt). Derivano la relazione di dispersione esatta per questo sistema discreto e approssimano l'operatore sine-quadrato non locale utilizzando approssimanti di Padé $P[p, q]$. Confrontando le velocità di fase e di gruppo delle approssimazioni del continuo rispetto al modello discreto, identificano quali ordini di Padé producono un comportamento stabile e causale (velocità finite e non nulle ad alti numeri d'onda).

Contributi Chiave
Il lavoro introduce tre elementi genuinamente nuovi nel campo:

• Estensione all'Ordine Arbitrario: Un'estensione della viscoelasticità a gradiente di deformazione a un ordine $n$ arbitrario, consentendo agli iperstress di dipendere dai gradienti di deformazione fino a tale ordine.
• Energia Cinetica Coerente: L'introduzione di una formulazione di energia cinetica coerente con il gradiente $n$-esimo, inclusi i relativi tensori di microinerzia, che erano assenti nelle precedenti opere sulla viscoelasticità a gradiente.
• Criterio di Ammissibilità: Un criterio esplicito di ammissibilità degli ordini di gradiente derivato dalla dinamica del reticolo. L'analisi rivela che solo gli approssimanti di Padé dell'ordine specifico $[4m+2, 4m]$ (dove $m$ è un intero) soddisfano i requisiti di causalità e stabilità. Nello specifico, le approssimazioni di ordine pari (ad esempio $[4,2]$) portano a modi dinamicamente instabili con soluzioni a crescita esponenziale, mentre i modelli del continuo di ordine dispari (corrispondenti a $[6,4]$, $[10,8]$, ecc.) producono velocità di fase e di gruppo finite e positive.

Risultati

• Analisi della Dispersione: Lo studio dimostra che le espansioni standard della serie di Taylor (approssimante di Padé $[p, 0]$) risultano in velocità di fase e di gruppo infinite all'aumentare del numero d'onda, violando la causalità. Al contrario, i specifici ordini di Padé $[4m+2, 4m]$ garantiscono che le velocità rimangano finite e non nulle.
• Corrispondenza dell'Ordine Dispari: Gli ordini di Padé ammissibili corrispondono esattamente ai modelli del continuo di ordine dispari. Ad esempio, il minimo ordine ammissibile $[6, 4]$ corrisponde a un modello di elasticità a gradiente del terzo ordine.
• Analisi delle Vibrazioni: Come caso di studio, gli autori analizzano le vibrazioni forzate di una barra viscoelastica a terzo gradiente (corrispondente all'approssimante $[6,4]$). Derivano le frequenze proprie per il limite elastico e risolvono il problema della vibrazione forzata per eccitazione armonica. I risultati mostrano che gli effetti viscosi diventano più pronunciati alle alte frequenze e che il modello del terzo gradiente produce profili di spostamento più fluidi vicino ai vincoli rispetto ai modelli classici.

Significato e Rivendicazioni
Gli autori affermano che questo lavoro fornisce la prima formulazione generale dell'ordine $n$ della viscoelasticità a gradiente di deformazione che è coerentemente accoppiata con l'energia cinetica e vincolata da una corrispondenza discreto-continuo. Il significato primario risiede nell'identificazione di un criterio di ammissibilità fisica: solo specifici modelli di gradiente di ordine dispari (derivati da specifici approssimanti di Padé) sono fisicamente realizzabili quando si modellano mezzi dispersivi derivati da interazioni tra vicini più prossimi.

Il documento riconosce i limiti, notando che la corrispondenza è stabilita per una specifica catena Kelvin-Voigt a vicini più prossimi e che l'argomento sulla causalità è stato esplicitamente condotto nel limite elastico ($\eta = 0$), lasciando l'estensione alla piena relazione di dispersione viscoelastica a lavori futuri. Afferma inoltre che i tensori costitutivi e di microinerzia introdotti non sono ancora legati a quantità misurabili, richiedendo procedure di identificazione sperimentale future analoghe a quelle utilizzate nelle teorie dell'elasticità a gradiente di deformazione. Il lavoro suggerisce potenziali applicazioni nella modellazione di fenomeni superficiali nei solidi e nel comportamento di metamateriali a struttura reticolare (ad esempio, strutture origami-kirigami) dove la frizione interna e i gradienti di ordine superiore sono rilevanti.