On nth order linear strain gradient viscoelasticity

기술 요약: $n$차 선형 변형률 구배 점탄성론에 관하여

문제 제기
나노물질 및 복합재의 크기 효과를 포착하기 위해 탄성 매질을 대상으로 한 변형률 구배 탄성 이론(1차 및 일반적인 $n$차 모델 포함)은 확립되어 왔으나, 이를 점탄성으로 확장하는 작업은 미완성 상태로 남아 있다. 기존의 점탄성 구배 이론[43–45]은 일반적으로 단일 구배 차수(해당 문맥에서 흔히 "1차"로 명명됨)로 제한되어 있으며, 고차 미세 관성 텐서를 포함하는 일관된 운동 에너지 정식화가 결여되어 있다. 또한, 연속체 모델을 이산적 미세구조와 연관 지을 때 어떤 특정 구배 차수가 물리적으로 허용 가능한지를 결정하는 확립된 기준도 존재하지 않는다. 본 논문은 일관된 운동 에너지를 포함하는 일반적인 $n$차 선형 변형률 구배 점탄성 이론을 정식화하고, 이산 점탄성 격자의 분산 특성과 엄밀한 대응 관계를 수립함으로써 이 공백을 메운다.

방법론
저자들은 미소 변형을 기반으로 하는 연속체 이론을 개발하며, 변위장 $u(x,t)$와 그 구배를 $n$차까지 도입한다. 방법론은 세 가지 주요 단계로 진행된다:

1. 구성 방정식 정식화: 응력 $T^{(1)}$과 하이퍼스트레스(hyperstress) $T^{(k)}$ ($k=2, \dots, n$)는 변형률 $\varepsilon$과 변형률 구배 $K_j = \nabla^j u$의 이력을 갖는 범함수로 정의된다. 구성 방정식은 스틸체스 합성곱(Stieltjes convolution) 형태의 완화 텐서 $C^{(k)}$ 및 $C_j^{(k)}$를 활용한다. 각 하이퍼스트레스가 그에 대응하는 구배 이력에만 의존하는 단순화된 대각 형태도 제시된다.
2. 운동 에너지 및 운동 방정식: 질량 밀도 $\rho$와 $n-1$차까지의 변형률 속도와 관련된 미세 관성 텐서 $J_{jj}$를 포함하는 일관된 운동 에너지 밀도 $K$를 도입한다. 이는 가속도의 고차 공간 미분 항(관성 항)과 응력 및 하이퍼스트레스 텐서의 발산을 균형 있게 맞추는 $2n$차 운동 방정식을 도출한다.
3. 이산-연속체 대응: 허용 가능한 구배 차수를 결정하기 위해, 저자들은 1차원 무한 점탄성 체인(질량이 켈빈-보이히히히(Kelvin-Voigt) 스프링으로 연결된 구조)을 분석한다. 이들은 이 이산 시스템의 정확한 분산 관계를 유도하고, 비로컬 사인 제곱(sine-squared) 연산자를 파데 근사(Padé approximant) $P[p, q]$로 근사한다. 연속체 근사치와 이산 모델의 위상 속도 및 군속도를 비교함으로써, 어떤 파데 차수가 물리적으로 안정적이고 인과적인 거동(높은 파수에서 유한하고 0이 아닌 속도)을 나타내는지 식별한다.

주요 기여
본 논문은 해당 분야에 세 가지 진정으로 새로운 요소를 도입한다:

• 임의 차수 확장: 변형률 구배가 해당 차수까지의 구배에 의존할 수 있도록 변형률 구절 점탄성을 임의의 차수 $n$으로 확장하였다.
• 일관된 운동 에너지: 기존의 점탄성 구배 연구에서 결여되었던, 관련 미세 관성 텐서를 포함하여 $n$차 구배와 일관된 운동 에너지 정식화를 도입하였다.
• 허용성 기준: 격자 역학으로부터 도출된 명시적인 허용 차수 기준을 제시하였다. 분석 결과, 오직 특정 차수의 파데 근사 $[4m+2, 4m]$ (여기서 $m$은 정수)만이 인과성 및 안정성 요구 사항을 충족한다. 구체적으로, 짝수 차 근사(예: $[4,2]$)는 지수적으로 증가하는 해를 갖는 동적 불안정 모드로 이어지는 반면, 홀수 차 연속체 모델(예: $[6,4], [10,8]$ 등에 대응)은 유한하고 양수인 위상 및 군속도를 생성한다.

결과

• 분산 분석: 연구는 표준 테일러 급수 전개(파데 차수 $[p, 0]$)가 파수가 증가함에 따라 무한한 위상 및 군속도를 초래하여 인과성을 위반함을 보여준다. 반면, 특정 파데 차수 $[4m+2, 4m]$는 속도가 유한하게 유지되도록 보장한다.
• 홀수 차 대응: 허용되는 파데 차수는 홀수 차 연속체 모델과 정확히 일치한다. 예를 들어, 최소 허용 차수인 $[6, 4]$는 3차 구배 탄성 모델에 대응한다.
• 진동 분석: 사례 연구로서, 저자들은 3차 구례 점탄성 막대( $[6,4]$ 근사에 대응)의 강제 진동을 분석한다. 이들은 탄성 한계에서의 고유 진동수를 유도하고 조화 흥분에 대한 강제 진동 문제를 해결한다. 결과는 점성 효과가 고주파수에서 더 두드로워지며, 3차 구례 모델이 고전적 모델에 비해 고정단 경계 근처에서 더 매끄러운 변위 프로파일을 생성함을 보여준다.

의의 및 주장
저자들은 본 연구가 운동 에너지와 일관되게 결합되고 이산-연속체 대응에 의해 제약되는 최초의 일반적인 $n$차 변형률 구배 점탄성 정식화를 제공한다고 주장한다. 주요 의의는 물리적 허용 기준의 식별에 있다. 즉, 인접 이웃 상호작용에서 유도된 분산 점탄성 매질을 모델링할 때, 특정 파데 근사로부터 유도된 특정 홀수 차 구례 모델만이 물리적으로 실현 가능하다는 것이다.

본 논문은 한계점을 인정하며, 대응 관계가 특정 인접 이웃 켈빈-보이히히 스프링 체인에 대해 확립되었고, 인과성 논증이 탄성 한계($\eta = 0$)에서 명시적으로 수행되었으며, 전체 점탄성 분산 관계로의 확장은 향후 과제로 남겨두었음을 명시한다. 또한, 도입된 구성 및 미세 관성 텐서가 아직 측정 가능한 양과 연결되지 않았으며, 탄성 변형률 구례 이론에서와 유사한 실험적 식별 절차가 필요함을 밝힌다. 이 연구는 표면 현상 모델링이나 내부 마찰 및 고차 구례가 중요한 격자 유사 메타물질(예: 오리가미-키리가미 구조)의 거동 모델링에 대한 잠재적 응용 가능성을 시사한다.