On nth order linear strain gradient viscoelasticity

Résumé Technique : Sur la viscoélasticité à gradient de déformation d'ordre $n$

Énoncé du Problème
Bien que les théories de l'élasticité à gradient de déformation (incluant les modèles de premier ordre et les modèles généraux d'ordre $n$) aient été établies pour les milieux élastiques afin de capturer les effets de taille dans les nanomatériaux et les composites, leur extension à la viscoélasticité demeure incomplète. Les théories de gradient viscoélastique existantes [43–45] sont généralement limitées à un seul ordre de gradient (souvent qualifié de « premier ordre » dans ces contextes) et manquent d'une formulation cohérente de l'énergie cinétique impliquant des tenseurs de micro-inertie d'ordre supérieur. Il n'existe aucun critère établi pour déterminer quels ordres de gradient spécifiques sont physiquement admissibles lors de la mise en relation des modèles de continuum avec les microstructures discrètes. Cet article comble cette lacune en formulant une théorie générale de la viscoélasticité à gradient de déformation d'ordre $n$ qui inclut une énergie cinétique cohérente et établit une correspondance rigoureuse avec les propriétés de dispersion des réseaux viscoélastiques discrets.

Méthodologie
Les auteurs développent une théorie de continuum basée sur les petites déformations, introduisant un champ de déplacement $u(x,t)$ et ses gradients jusqu'à l'ordre $n$. La méthodologie progresse à travers trois étapes principales :

1. Formulation Constitutive : La contrainte $T^{(1)}$ et les hypercontraintes $T^{(k)}$ (pour $k=2, \dots, n$) sont définies comme des fonctionnelles de l'historique de la déformation $\varepsilon$ et des gradients de déformation $K_j = \nabla^j u$. Les équations constitutives utilisent des tenseurs de relaxation $C^{(k)}$ et $C_j^{(k)}$ sous forme de convolution de Stieltjes. Une forme diagonale simplifiée est également présentée, où chaque hypercontrainte dépend uniquement de l'historique de son gradient correspondant.
2. Énergie Cinétique et Équations du Mouvement : Une densité d'énergie cinétique $K$ cohérente est introduite, incorporant une densité de masse $\rho$ et des tenseurs de micro-inertie $J_{jj}$ associés aux taux de déformation jusqu'à l'ordre $n-1$. Cela conduit à des équations du mouvement d'ordre $2n$, équilibrant les termes inertiels (incluant des dérivées spatiales d'ordre supérieur de l'accélération) avec la divergence des tenseurs de contrainte et d'hypercontrainte.
3. Correspondance Discret-Continuum : Pour déterminer les ordres de gradient admissibles, les auteurs analysent une chaîne viscoélastique infinie unidimensionnelle (des masses reliées par des ressorts de Kelvin-Voigt). Ils dérivent la relation de dispersion exacte de ce système discret et approximent l'opérateur sinus-carré non local par des approximants de Padé $P[p, q]$. En comparant les vitesses de phase et de groupe des approximations de continuum par rapport au modèle discret, ils identifient quels ordres de Padé produisent un comportement stable et causal (vitesses finies et non nulles à des nombres d'onde élevés).

Contributions Clés
Le papier introduit trois éléments véritablement nouveaux dans le domaine :

• Extension à Ordre Arbitraire : Une extension de la viscoélasticité à gradient de déformation à un ordre $n$ arbitraire, permettant aux hypercontraintes de dépendre des gradients de déformation jusqu'à cet ordre.
• Énergie Cinétique Cohérente : L'introduction d'une formulation d'énergie cinétique cohérente avec le gradient d'ordre $n$, incluant les tenseurs de micro-inertie associés, qui étaient absents des travaux précédents sur le gradient viscoélastique.
• Critère d'Admissibilité : Un critère explicite d'admissibilité des ordres de gradient dérivé de la dynamique des réseaux. L'analyse révèle que seuls les approximants de Padé de l'ordre spécifique $[4m+2, 4m]$ (où $m$ est un entier) satisfont aux exigences de causalité et de stabilité. Plus précisément, les approximations d'ordre pair (par exemple, $[4,2]$) conduisent à des modes dynamiquement instables avec des solutions à croissance exponentielle, tandis que les modèles de continuum d'ordre impair (correspondant à $[6,4]$, $[10,8]$, etc.) produisent des vitesses de phase et de groupe finies et positives.

Résultats

• Analyse de Dispersion : L'étude démontre que les développements en série de Taylor standards (ordre de Padé $[p, 0]$) entraînent des vitesses de phase et de groupe infinies à mesure que le nombre d'onde augmente, violant ainsi la causalité. En revanche, les ordres de Padé spécifiques $[4m+2, 4m]$ garantissent que les vitesses restent finies et non nulles.
• Correspondance d'Ordre Impair : Les ordres de Padé admissibles correspondent exactement aux modèles de continuum d'ordre impair. Par exemple, l'ordre minimal admissible $[6, 4]$ correspond à un modèle d'élasticité à gradient de troisième ordre.
• Analyse de Vibration : Comme étude de cas, les auteurs analysent les vibrations forcées d'une barre viscoélastique à troisième gradient (correspondant à l'approximation $[6, 4]$). Ils dérivent les fréquences propres pour la limite élastique et résolvent le problème de vibration forcée sous excitation harmonique. Les résultats montrent que les effets de viscosité deviennent plus prononcés aux fréquences plus élevées et que le modèle de troisième gradient produit des profils de déplacement plus lisses près des parois encastrées par rapport aux modèles classiques.

Signification et Revendications
Les auteurs affirment que ce travail constitue la première formulation générale d'ordre $n$ de la viscoélasticité à gradient de déformation, qui est consistamment couplée à l'énergie cinétique et contrainte par une correspondance discret-continuum. La principale importance réside dans l'identification d'un critère d'admissibilité physique : seuls certains modèles de gradient d'ordre impair (dérivés de certains approximants de Padé) sont physiquement réalisables lors de la modélisation de milieux viscoélastiques dispersifs dérivés d'interactions de plus proches voisins.

Le papier reconnaît des limites, notant que la correspondance est établie pour une chaîne de Kelvin-Voigt spécifique à plus proches voisins, et que l'argument de causalité a été explicitement mené dans la limite élastique ($\eta = 0$), l'extension à la relation de dispersion viscoélastique complète étant laissée à des travaux futurs. Il précise en outre que les tenseurs de comportement et de micro-inertie introduits ne sont pas encore liés à des grandeurs mesurables, nécessitant des procédures d'identification expérimentale futures analogues à celles des théories de l'élasticité à gradient de déformation. Le travail suggère des applications potentielles dans la modélisation des phénomènes de surface dans les solides et le comportement des métamatériaux de type réseau (par exemple, les structures origami-kirigami) où les frictions internes et les gradients d'ordre supérieur sont pertinents.