On nth order linear strain gradient viscoelasticity

Resumen Técnico: Viscoelasticidad de Gradiente de Deformación de Orden $n$

Planteamiento del Problema
Si bien las teorías de elasticidad de gradiente de deformación (incluyendo modelos de primer orden y de orden $n$ general) se han establecido para medios elásticos para capturar efectos de tamaño en nanomateriales y compuestos, su extensión a la viscoelasticidad permanece incompleta. Las teorías de gradiente viscoelástico existentes [43–45] están típicamente restringidas a un único orden de gradiente (a menudo denominado "primer orden" en esos contextos) y carecen de una formulación consistente de la energía cinética que involucre tensores de microinercia de orden superior. Además, no existe un criterio establecido para determinar qué órdenes de gradiente específicos son físicamente admisibles al relacionar modelos de continuo con microestructuras discretas. Este artículo aborda esta brecha mediante la formulación de una teoría general de viscoelasticidad de gradiente de deformación lineal de orden $n$ que incluye una energía cinética consistente y establece una correspondencia riguroza con las propiedades de dispersión de redes viscoelásticas discretas.

Metodología
Los autores desarrollan una teoría de continuo basada en pequeñas deformaciones, introduciendo un campo de desplazamiento $u(x,t)$ y sus gradientes hasta el orden $n$. La metodología procede a través de tres etapas principales:

1. Formulación Constitutiva: El esfuerzo $T^{(1)}$ y los hiperesfuerzos $T^{(k)}$ (para $k=2, \dots, n$) se definen como funcionales del historial de la deformación $\varepsilon$ y los gradientes de deformación $K_j = \nabla^j u$. Las ecuaciones constitutivas utilizan tensores de relajación $C^{(k)}$ y $C_j^{(k)}$ en una forma de convolución de Stieltjes. También se presenta una forma diagonal simplificada donde cada hiperesfuerzo depende únicamente del historial de su gradiente correspondiente.
2. Energía Cinética y Ecuaciones de Movimiento: Se introduce una densidad de energía cinética $K$ consistente, incorporando la densidad de masa $\rho$ y los tensores de microinercia $J_{jj}$ asociados con las tasas de deformación hasta el orden $n-1$. Esto conduce a ecuaciones de movimiento de orden $2n$, equilibrando los términos de inercia (incluyendo derivadas espaciales de orden superior de la aceleración) con la divergencia de los tensores de esfuerzo e hiperesfuerzo.
3. Correspondencia Discreto-Continuo: Para determinar los órdenes de gradiente admisibles, los autores analizan una cadena viscoelástica infinita unidimensional (masas conectadas por resortes de Kelvin-Voigt). Derivan la relación de dispersión exacta para este sistema discreto y aproximan el operador seno al cuadrado no local mediante aproximantes de Padé $P[p, q]$. Al comparar las velocidades de fase y de grupo de las aproximaciones de continuo frente al modelo discreto, identifican qué órdenes de Padé producen un comportamiento estable y causal (velocidades finitas y no nulas en números de onda altos).

Contribuciones Clave
El artículo introduce tres elementos genuinamente nuevos en el campo:

• Extensión de Orden Arbitrario: Una extensión de la viscoelasticidad de gradiente de deformación a un orden $n$ arbitrario, permitiendo que los hiperesfuerzos dependan de los gradientes de deformación hasta ese orden.
• Energía Cinética Consistente: La introducción de una formulación de energía cinética consistente con el gradiente de orden $n$, incluyendo los tensores de microinercia asociados, los cuales estaban ausentes en trabajos previos de gradiente viscoelástico.
• Criterio de Admisibilidad: Un criterio explícito de admisibilidad de los órdenes de gradiente derivado de la dinámica de redes. El análisis revela que solo los aproximantes de Padé del orden específico $[4m+2, 4m]$ (donde $m$ es un entero) satisfacen los requisitos de causalidad y estabilidad. Específicamente, las aproximaciones de orden par (por ejemplo, $[4,2]$) conducen a modos dinámicamente inestables con soluciones de crecimiento exponencial, mientras que los modelos de continuo de orden impar (correspondientes a $[6,4]$, $[10,8]$, etc.) producen velocidades de fase y de grupo finitas y positivas.

Resultos

• Análisis de Dispersión: El estudio demuestra que las expansiones estándar de la serie de Taylor (orden de Padé $[p, 0]$) resultan en velocidades de fase y de grupo infinitas a medida que aumenta el número de onda, violando la causalidad. En contraste, los órdenes de Padé específicos $[4m+2, 4m]$ aseguran que las velocidades permanezcan finitas y no nulas.
• Correspondencia de Orden Impar: Los órdenes de Padé admisibles corresponden exactamente a los modelos de gradiente de orden impar. Por ejemplo, el orden mínimo admisible $[6, 4]$ corresponde a un modelo de elasticidad de tercer gradiente.
• Análisis de Vibración: Como estudio de caso, los autores analizan las vibraciones forzadas de una barra viscoelástica de tercer gradiente (correspondiente a la aproximación $[6,4]$). Derivan las autofrecuencias para el límite elástico y resuelven el problema de vibración forzada bajo excitación armónica. Los resultados muestran que los efectos de viscosidad se vuelven más pronunciados a frecuencias más altas y que el modelo de tercer gradiente produce perfiles de desplazamiento más suaves cerca de los bordes empotrados en comparación con los modelos clásicos.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que este trabajo proporciona la primera formulación general de orden $n$ de la viscoelasticidad de gradiente de deformación que está consistentemente acoplada con la energía cinética y restringida por una correspondencia de discreto a continuo. La significancia principal radica en la identificación de un criterio de admisibilidad física: solo modelos de gradiente de orden impar específicos (derivados de aproximantes de Padé específicos) son físicamente realizables al modelar medios viscoelásticos dispersivos derivados de interacciones de vecinos más cercanos.

El artículo reconoce las limitaciones, señalando que la correspondencia se establece para una cadena específica de Kelvin-Voigt de vecinos más cercanos y que el argumento de causalidad se llevó a cabo explícitamente en el límite elástico ($\eta = 0$), dejando la extensión a la relación de dispersión viscoelástica completa para trabajos futuros. Además, establece que los tensores constitutivos y de microinercia introducidos aún no están vinculados a cantidades medibles, lo que requiere procedimientos de identificación experimental futuros análogos a los de las teorías de gradiente de deformación elástica. El trabajo sugiere aplicaciones potenciales en el modelado de fenómenos superficiales en sólidos y en el comportamiento de metamateriales tipo red (por ejemplo, estructuras de origami-kirigami) donde la fricción interna y los gradientes de orden superior son relevantes.