On nth order linear strain gradient viscoelasticity

Technisches Resümee: Lineare Dehnungsgradienten-Viskoelastizität n-ter Ordnung

Problemstellung
Obwohl Dehnungsgradienten-Elastizitätstheorien (einschließlich erst- und allgemeiner $n$-ter Ordnung) für elastische Medien etabliert sind, um Größeneffekte in Nanomaterialien und Verbundwerkstoffen zu erfassen, bleibt deren Erweiterung auf die Viskoelastizität unvollständig. Bestehende viskoelastische Gradiententheorien [43–45] sind typischerweise auf eine einzige Gradientenordnung beschränkt (in diesen Kontexten oft als „erster Ordnung“ bezeichnet) und lassen eine konsistente Formulierung der kinetischen Energie unter Einbeziehung höherer Mikroinertia-Tensoren vermissen. Zudem gibt es kein etabliertes Kriterium, um zu bestimmen, welche spezifischen Gradientenordnungen physikalisch zulässig sind, wenn Kontinuumsmodelle mit diskreten Mikrostrukturen in Beziehung gesetzt werden. Diese Arbeit adresst diese Lücke durch die Formulierung einer allgemeinen linearen Dehnungsgradienten-Viskoelastizitätstheorie $n$-ter Ordnung, die eine konsistente kinetische Energie beinhaltet und eine rigorose Korrespondenz mit den Dispersionseigenschaften diskreter viskoelastischer Gitter herstellt.

Methodik
Die Autoren entwickeln eine Kontinuumstheorie basierend auf kleinen Verformungen, wobei sie ein Verschiebungsfeld $u(x,t)$ und dessen Gradienten bis zur Ordnung $n$ einführen. Die Methodik gliedert sich in drei Hauptphasen:

1. Konstitutive Formulierung: Die Spannung $T^{(1)}$ und die Hyperspannungen $T^{(k)}$ (für $k=2, \dots, n$) werden als Funktionale der Historie der Dehnung $\varepsilon$ und der Dehnungsgradienten $K_j = \nabla^j u$ definiert. Die konstitutiven Gleichungen nutzen Relaxationstensoren $C^{(k)}$ und $C_j^{(k)}$ in einer Stieltjes-Faltungskonstruktion. Eine vereinfachte diagonale Form wird ebenfalls präsentiert, bei der jeder Hyperstress nur von der entsprechenden Gradientenhistorie abhängt.
2. Kinetische Energie und Bewegungsgleichungen: Eine konsistente kinetische Energiedichte $K$ wird eingeführt, die die Massendichte $\rho$ und die Mikroinertia-Tensoren $J_{jj}$ berücksichtigt, welche mit den Dehnungsraten bis zur Ordnung $n-1$ assoziiert sind. Dies führt zu Bewegungsgleichungen $n$-ter Ordnung, die die Inertia-Terme (einschließlich höherer räumlicher Ableitungen der Beschleunigung) mit der Divergenz der Spannungs- und Hyperspannungstensoren in Einklang bringen.
3. Diskret-zu-Kontinuum-Korrespondenz: Um zulässige Gradientenordnungen zu bestimmen, analysieren die Autoren eine 1D-unendliche viskoelastische Kette (Massen, die durch Kelvin-Voigt-Federn verbunden sind). Sie leiten die exakte Dispersionsrelation für dieses diskrete System ab und approximieren den nichtlokalen Sinus-Quadrat-Operator mittels Padé-Approximanten $P[p, q]$. Durch den Vergleich der Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten der Kontinuumsapproximationen mit dem diskreten Modell identifizieren sie, welche Padé-Ordnungen ein physikalisch stabiles und kausales Verhalten (endliche, nicht-verschwindende Geschwindigkeiten bei hohen Wellenzahlen) gewährleisten.

Zentrale Beiträge
Das Paper führt drei genuin neue Elemente in das Fachgebiet ein:

• Erweiterung auf beliebige Ordnung: Eine Erweiterung der Dehnungsgradienten-Viskoelastizität auf eine beliebige Ordnung $n$, wodurch Hyperspannungen von Dehnungsgradienten bis zu dieser Ordnung abhängen können.
• Konsistente kinetische Energie: Die Einführung einer kinetischen Energieformulierung, die konsistent mit dem Gradienten $n$-ter Ordnung ist, einschließlich der damit verbundenen Mikroinertia-Tensoren, die in früheren viskoelastischen Gradientenarbeiten fehlten.
• Zulässigkeitskriterium: Ein explizites Kriterium für die Zulässigkeit von Gradientenordnungen, das aus der Gitterdynamik abgeleitet wurde. Die Analyse zeigt, dass nur Padé-Approximanten der spezifischen Ordnung $[4m+2, 4m]$ (wobei $m$ eine ganze Zahl ist) die Anforderungen an Kausalität und Stabilität erfüllen. Insbesondere führen geradzahlige Approximationen (z. B. $[4,2]$) zu dynamisch instabilen Moden mit exponentiell wachsenden Lösungen, während ungeradzahlige Kontinuumsmodelle (entsprechend $[6,4]$, $[10,8]$, etc.) endliche, positive Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten liefern.

Ergebnisse

• Dispersionsanalyse: Die Studie zeigt, dass Standard-Taylor-Reihenentwicklungen (Padé-Ordnung $[p, 0]$) zu unendlichen Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten führen, wenn die Wellenzahl steigt, was die Kausalität verletzt. Im Gegensatz dazu gewährleisten die spezifischen Padé-Ordnungen $[4m+2, 4m]$, dass die Geschwindigkeiten endlich und nicht-verschwindend bleiben.
• Korrespondenz ungerader Ordnungen: Die zulässigen Padé-Ordnungen entsprechen exakt ungeradzahligen Kontinuumsmodellen. Beispielsweise entspricht die minimale zulässige Ordnung $[6, 4]$ einem Dehnungsgradientenmodell dritter Ordnung.
• Vibrationsanalyse: Als Fallstudie analysieren die Autoren die erzwungenen Schwingungen eines viskoelastischen Stabes mit drittem Gradienten (entsprechend der $[6,4]$-Approximation). Sie leiten die Eigenfrequenzen für den elastischen Grenzfall ab und lösen das Problem der erzwungenen Schwingung unter harmonischer Anregung. Die Ergebnisse zeigen, dass die Viskositätseffekte bei höheren Frequenzen deutlicher werden und dass das Modell mit drittem Gradienten im Vergleich zu klassischen Modellen glattere Verschiebungsprofile nahe eingespannter Randbedingungen erzeugt.

Bedeutung und Ansprüche
Die Autoren behaupten, dass diese Arbeit die erste allgemeine Formulierung der Dehnungsgradienten-Viskoelastizität $n$-ter Ordnung darstellt, die konsistent mit der kinetischen Energie gekoppelt und durch eine Diskret-zu-Kontinuum-Korrespondenz beschränkt ist. Die primäre Bedeutung liegt in der Identifizierung eines physikalischen Zulässigkeitskriteriums: Nur spezifische ungeradzahlige Gradientenmodelle (abgeleitet aus spezifischen Padé-Approximanten) sind physikalisch realisierbar, wenn man dispersive viskoelastische Medien modelliert, die aus Nachbarschaftsinteraktionen resultieren.

Das Paper räumt Einschränkungen ein und stellt fest, dass die Korrespondenz für eine spezifische Kelvin-Voigt-Kette mit nächsten Nachbarn etabliert wurde und dass das Kausalitätsargument explizit im elastischen Grenzfall ($\eta = 0$) durchgeführt wurde, während die Erweiterung auf die vollständige viskoelastische Dispersionsrelation für zukünftige Arbeiten offenbleibt. Es wird ferner angegeben, dass die eingeführten konstitutiven und Mikroinertia-Tensoren noch nicht an messbare Größen gekoppelt sind, was zukünftige experimentelle Identifizierungsverfahren erfordert, analog zu denen in der elastischen Dehnungsgradiententheorie. Die Arbeit deutet auf potenzielle Anwendungen bei der Modellierung von Oberflächenphänomenen in Festkörpern und dem Verhalten von gitterähnlichen Metamaterialien (z. B. Origami-Kirigami-Strukturen) hin, bei denen interne Reibung und höhere Gradienten relevant sind.