On nth order linear strain gradient viscoelasticity

Technische Samenvatting: Over $n$-de orde lineaire rekgradiënt-visco-elasticiteit

Probleemstelling
Hoewel rekgradiënt-elasticiteitstheorieën (inclusief eerste-orde en algemene $n$-de orde modellen) zijn vastgesteld voor elastische media om grootheidseffecten in nanomaterialen en composieten te vangen, blijft hun uitbreiding naar visco-elasticiteit incompleet. Bestaande visco-elastische gradiënttheorieën [43–45] zijn doorgaans beperkt tot een enkele gradiëntorde (vaak aangeduid als "eerste-orde" in die contexten) en missen een consistente formulering van kinetische energie die hogere-orde micro-traagheidstensors bevat. Bovendien is er geen gevestigd criterium om te bepalen welke specifieke gradiëntordes fysiek toelaatbaar zijn bij het relateren van continuümmodellen aan discrete microstructuren. Dit artikel adresseert dit gat door een algemene $n$-de orde lineaire rekgradiënt-visco-elastische theorie te formuleren die een consistente kinetische energie bevat en een rigoureuze correspondentie vestigt met de dispersie-eigenschappen van discrete visco-elastische roosters.

Methodologie
De auteurs ontwikkelen een continuümtheorie gebaseerd op kleine vervormingen, waarbij een verplaatsingsveld $u(x,t)$ en de gradiënten daarvan tot orde $n$ worden geïntroduceerd. De methodologie verloopt via drie hoofdfasen:

1. Constitutieve Formulering: De spanning $T^{(1)}$ en hyperspanningen $T^{(k)}$ (voor $k=2, \dots, n$) worden gedefinieerd als functionalen van de geschiedenis van de rek $\varepsilon$ en rekgradiënten $K_j = \nabla^j u$. De constitutieve vergelijkingen maken gebruik van relaxatietensors $C^{(k)}$ en $C_j^{(k)}$ in een Stieltjes-convolutievorm. Een vereenvoudigde diagonale vorm wordt eveneens gepresenteerd, waarbij elke hyperspanning alleen afhangt van de geschiedenis van de bijbehorende gradiënt.
2. Kinetische Energie en Bewegingsvergelijkingen: Een consistente kinetische energiedichtheid $K$ wordt geïntroduceerd, die de massadichtheid $\rho$ en micro-traheidstensors $J_{jj}$ incorporeert die geassocieerd zijn met rek-snelheden tot orde $n-1$. Dit leidt tot bewegingsvergelijkingen van orde $2n$, die de traheidstermen (inclusend hogere-orde ruimtelijke afgeleiden van versnelling) in evenwicht brengen met de divergentie van de spanning- en hyperspanningstensors.
3. Discrete-naar-Continuüm Correspondentie: Om toelaatbare gradiëntordes te bepalen, analyseren de auteurs een 1D oneindige visco-elastische keten (massa's verbonden door Kelvin-Voigt veren). Zij leiden de exacte dispersierelatie voor dit discrete systeem af en benaderen de niet-lokale sine-kwadraat operator met Padé-approximanten $P[p, q]$. Door de fase- en groepssnelheden van de continuümbenaderingen te vergelijken met het discrete model, identificeren zij welke Padé-ordes resulteren in fysiek stabiel en causaal gedrag (eindige, niet-nul snelheden bij hoge golfgetallen).

Belangrijkste Bijdragen
Het artikel introduceert drie werkelijk nieuwe elementen aan het vakgebied:

• Willekeurige Orde Uitbreiding: Een uitbreiding van rekgradiënt-visco-elasticiteit naar een willekeurige orde $n$, waardoor hyperspanningen afhankelijk kunnen zijn van rekgradiënten tot die orde.
• Consistente Kinetische Energie: De introductie van een kinetische energieformulering die consistent is met de $n$-de orde gradiënt, inclusief de bijbehorende micro-traheidstensors, die afwezig waren in eerdere visco-elastische gradiënt-werken.
• Toelaatbaarheidscriterium: Een expliciet criterium voor de toelaatbaarheid van gradiëntordes afgeleid uit roosterdynamica. De analyse onthult dat alleen Padé-approximanten van de specifieke orde $[4m+2, 4m]$ (waarbij $m$ een geheel getal is) voldoen aan de causaliteits- en stabiliteitseisen. Specifiek leiden even-orde benaderingen (bijv. $[4,2]$) tot dynamisch instabiele modi met exponentieel groeiende oplossingen, terwijl oneven-orde continuümmodellen (overeenkomend met $[6,4]$, $[10,8]$, etc.) eindige, positieve fase- en groepssnelheden opleveren.

Resultaten

• Dispersieanalyse: De studie toont aan dat standaard Taylor-reeksexpansies (Padé-orde $[p, 0]$) resulteren in oneindige fase- en groepssnelheden naarmate het golfgetal toeneemt, wat de causaliteit schendt. In contrast hiermee zorgen de specifieke Padé-ordes $[4m+2, 4m]$ ervoor dat snelheden eindig en niet-nul blijven.
• Oneven-orde Correspondentie: De toelaatbare Padé-ordes komen exact overeen met oneven-orde continuümmodellen. Bijvoorbeeld, de minimale toelaatbare orde $[6, 4]$ komt overeen met een derde-orde rekgradiënt-elasticiteitsmodel.
• Trillingsanalyse: Als casestudy analyseren de auteurs de gedwongen trillingen van een derde-gradiënt visco-elastische staaf (overeenkomend met de $[6,4]$ benadering). Zij leiden de eigenfrequenties af voor de elastische limiet en lossen het probleem van de gedwongen trilling op onder harmonische excitatie. De resultaten laten zien dat visco-elastische effecten prominenter worden bij hogere frequenties en dat het derde-gradiënt model gladdere verplaatsingsprofielen produceert nabij geklemde randen vergeleken met klassieke modellen.

Betekenis en Claims
De auteurs claimen dat dit werk de eerste algemene $n$-de orde formulering van rekgradiënt-visco-elasticiteit is die consistent gekoppeld is aan kinetische energie en begrensd wordt door een discrete-naar-continuüm correspondentie. De primaire betekenis ligt in de identificatie van een fysiek toelaatbaarheidscriterium: alleen specifieke oneven-orde gradiëntmodellen (afgeleid van specifieke Padé-approximanten) zijn fysiek realiseerbaar bij het modelleren van dispersieve visco-elastische media afgeleid van naburige interacties.

Het artikel erkent beperkingen en merkt op dat de correspondentie is vastgesteld voor een specifieke naburige-Kelvin-Voigt-keten, en dat het causaliteitsargument expliciet is uitgevoerd in de elastische limiet ($\eta = 0$), waarbij de uitbreiding naar de volledige visco-elastische dispersierelatie aan toekomstig werk is overgelaten. Verder wordt gesteld dat de geïntroduceerde constitutieve en micro-traheidstensors nog niet gekoppeld zijn aan meetbare grootheden, wat toekomstige experimentele identificatieprocedures vereist die analoog zijn aan die in elastische rekgradiënt-theorieën. Het werk suggereert potentiële toepassingen bij het modelleren van oppervlaktefenomenen in vaste stoffen en het gedrag van rooster-achtige metamaterialen (bijv. origami-kirigami structuren) waar interne wrijving en hogere-orde gradiënten relevant zijn.