On nth order linear strain gradient viscoelasticity

तकनीकी सारांश: $n$-वें क्रम के रैखिक स्ट्रेन ग्रेडिएंट विस्कोइलास्टिसिटी (Strain Gradient Viscoelasticity) पर

समस्या विवरण
यद्यपि नैनोमटेरियल्स और कंपोजिट्स में आकार के प्रभावों (size effects) को पकड़ने के लिए स्ट्रेन ग्रेडिएंट इलास्टिसिटी सिद्धांतों (प्रथम-क्रम और सामान्य $n$-वें क्रम के मॉडलों सहित) को इलास्टिक मीडिया के लिए स्थापित किया गया है, लेकिन विस्कोइलास्टिसिटी तक इनका विस्तार अधूरा रहा है। मौजूदा विस्कोइलास्टिक ग्रेडिएंट सिद्धांत [43–45] आमतौर पर एक एकल ग्रेडिएंट क्रम (जिन्हें उन संदर्भों में अक्सर "प्रथम-क्रम" कहा जाता है) तक सीमित हैं और उच्च-क्रम के माइक्रोइन्ertia (microinertia) टेंसरों के साथ एक सुसंगत गतिज ऊर्जा (kinetic energy) के निर्माण में कमी है। इसके अलावा, यह निर्धारित करने के लिए कोई स्थापित मानदंड नहीं है कि निरंतरता मॉडल (continuum models) को असतत सूक्ष्म संरचनाओं (discrete microstructures) से जोड़ने पर कौन से विशिष्ट ग्रेडिएंट क्रम भौतिक रूप से स्वीकार्य हैं। यह शोध पत्र एक सुसंगत गतिज ऊर्जा वाले सामान्य $n$-वें क्रम के रैखिक स्ट्रेन-ग्रेडिएंट विस्कोइलास्टिसिटी सिद्धांत को तैयार करके और असतत विस्कोइलास्टिक लैटिस के प्रकीर्णन गुणों (dispersion properties) के साथ एक कठोर पत्राचार स्थापित करके इस अंतराल को संबोधित करता है।

कार्यप्रणाली
लेखक लघु विरूपण (small deformations) पर आधारित एक निरंतरता सिद्धांत विकसित करते हैं, जिसमें विस्थापन क्षेत्र $u(x,t)$ और उसके $n$-वें क्रम तक के ग्रेडिएंट पेश किए जाते हैं। कार्यप्रणाली तीन मुख्य चरणों में आगे बढ़ती है:

1. संरचनात्मक निर्माण (Constitutive Formulation): स्ट्रेस $T^{(1)}$ और हाइपरस्ट्रेस $T^{(k)}$ (जहाँ $k=2, \dots, n$) को स्ट्रेन $\varepsilon$ और स्ट्रेन ग्रेडिएंट्स $K_j = \nabla^j u$ के इतिहास के फलन के रूप में परिभाषित किया गया है। संरचनात्मक समीकरणों में रिलैक्सेशन टेंसर $C^{(k)}$ और $C_j^{(k)}$ का स्टिल्टज कन्वोल्यूशन (Stieltjes convolution) रूप में उपयोग किया गया है। एक सरलीकृत विकर्ण (diagonal) रूप भी प्रस्तुत किया गया है जहाँ प्रत्येक हाइपरस्ट्रेस केवल अपने संबंधित ग्रेडिएंट इतिहास पर निर्भर करता है।
2. गतिज ऊर्जा और गति के समीकरण: एक सुसंगत गतिज ऊर्जा घनत्व $K$ पेश किया गया है, जिसमें स्ट्रेन रेट के क्रम $n-1$ तक के साथ जुड़े द्रव्यमान घनत्व $\rho$ और माइक्रोइन्ertia टेंसर $J_{jj}$ शामिल हैं। इससे $2n$ क्रम के गति के समीकरण प्राप्त होते हैं, जो स्ट्रेस और हाइपरस्ट्रेस टेंसरों के डाइवर्जेंस के साथ जड़त्वीय पदों (inertial terms) (जिसमें त्वरण के उच्च-क्रम स्थानिक डेरिवेटिव शामिल हैं) को संतुलित करते हैं।
3. असतत-से-निरंतरता पत्राचार (Discrete-to-Continuum Correspondence): स्वीकार्य ग्रेडिएंट क्रमों को निर्धारित करने के लिए, लेखक एक 1D अनंत विस्कोइलास्टिक श्रृंखला (द्रव्यमान जो केल्विन-वोइग्ट स्प्रिंग्स द्वारा जुड़े हुए हैं) का विश्लेषण करते हैं। वे इस असतत प्रणाली के सटीक प्रकीर्णन संबंध (dispersion relation) को व्युत्पन्न करते हैं और गैर-स्थानीय साइन-स्क्वेर्ड ऑपरेटर को पैडे एप्रोक्सिमेंट्स (Padé approximants) $P[p, q]$ का उपयोग करके अनुमानित करते हैं। निरंतरता अनुमानों की चरण और समूह वेगों (phase and group velocities) की तुलना डिस्क्रीट मॉडल के विरुद्ध करके, वे पहचानते हैं कि कौन से पैडे ऑर्डर भौतिक रूप से स्थिर और कारण संबंधी (causal) व्यवहार (उच्च वेवनंबर पर परिमित, गैर-शून्य वेग) प्रदान करते हैं।

प्रमुख योगदान
यह शोध पत्र क्षेत्र में तीन वास्तविक रूप से नए तत्व प्रस्तुत करता है:

• अनिश्चित क्रम विस्तार (Arbitrary Order Extension): स्ट्रेन-ग्रेडिएंट विस्कोइलास्टिसिटी का एक अनिश्चित $n$-वें क्रम तक विस्तार, जिससे हाइपरस्ट्रेस उस क्रम तक के स्ट्रेन ग्रेडिएंट्स पर निर्भर हो सकते हैं।
• सुसंगत गतिज ऊर्जा: एक सुसंगत गतिज ऊर्जा निर्माण का परिचय, जिसमें $n$-वें क्रम के ग्रेडिएंट के साथ संगत माइक्रोइन्ertia टेंसर शामिल हैं, जो पिछले विस्कोइलास्टिक ग्रेडिएंट कार्यों में अनुपस्थित थे।
• स्वीकार्यता मानदंड (Admissibility Criterion): लैटिस डायनेमिक्स से प्राप्त एक स्वीकार्य ग्रेडिएंट क्रमों के लिए स्पष्ट मानदंड। विश्लेषण से पता चलता है कि केवल विशिष्ट पैडे एप्रोक्सिमेंट्स $[4m+2, 4m]$ (जहाँ $m$ एक पूर्णांक है) ही कारणता (causality) और स्थिरता आवश्यकताओं को संतुष्ट करते हैं। विशेष रूप से, सम-क्रम (even-order) अनुमान (जैसे, $[4,2]$) गतिशील रूप से अस्थिर मोड की ओर ले जाते हैं जिनमें तेजी से बढ़ते समाधान होते हैं, जबकि विषम-क्रम (odd-order) निरंतरता मॉडल (जो $[6,4], [10,8]$, आदि के अनुरूप हैं) परिमित, सकारात्मक चरण और समूह वेग प्रदान करते हैं।

परिणाम

• प्रकीर्णन विश्लेषण (Dispersion Analysis): अध्ययन दर्शाता है कि मानक टेलर सीरीज़ विस्तार (पैडे ऑर्डर $[p, 0]$) वेवनंबर बढ़ने के साथ अनंत चरण और समूह वेग उत्पन्न करते हैं, जो कारणता (causality) का उल्लंघन करता है। इसके विपरीत, विशिष्ट पैडे ऑर्डर $[4m+2, 4m]$ यह सुनिश्चित करते हैं कि वेग परिमित और गैर-शून्य बने रहें।
• विषम-क्रम पत्राचार: स्वीकार्य पैडे ऑर्डर सटीक रूप से विषम-क्रम निरंतरता मॉडलों के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए, न्यूनतम स्वीकार्य क्रम $[6, 4]$ एक तीसरे-क्रम के ग्रेडिएंट इलास्टिसिटी मॉडल के अनुरूप है।
• कंपन विश्लेषण: एक केस स्टडी के रूप में, लेखक एक तीसरे-ग्रेडिएंट विस्कोइलास्टिक बार (जो $[6,4]$ अनुमान के अनुरूप है) के मजबूर कंपनों (forced vibrations) का विश्लेषण करते हैं। वे इलास्टिक सीमा के लिए आइजनफ्रीक्वेंसी (eigenfrequencies) व्युत्पन्न करते हैं और हार्मोनिक उत्तेजना के लिए मजबूर कंपन समस्या को हल करते हैं। परिणाम दिखाते हैं कि विस्कोसिटी प्रभाव उच्च आवृत्तियों पर अधिक स्पष्ट हो जाते हैं और तीसरा-ग्रेडिएंट मॉडल क्लासिकल मॉडलों की तुलना में क्लैम्प्ड बाउंड्रीज़ के पास स्मूथ डिस्प्लेसमेंट प्रोफाइल उत्पन्न करता है।

महत्व और दावे
लेखक दावा करते हैं कि यह कार्य स्ट्रेन-ग्रेडिएंट विस्कोइलास्टिसिटी का पहला सामान्य $n$-वें क्रम का निर्माण प्रदान करता है जो गतिज ऊर्जा के साथ सुसंगत रूप से जुड़ा हुआ है और एक असतत-से-निरंतरता पत्राचार द्वारा बाधित है। इसका प्राथमिक महत्व एक भौतिक स्वीकार्यता मानदंड की पहचान करने में निहित है: निकटतम-पड़ोसी इंटरैक्शन से प्राप्त प्रकीर्णन विस्कोइस्टिक मीडिया को मॉडल करने के लिए केवल विशिष्ट विषम-क्रम ग्रेडिएंट मॉडल (विशिष्ट पैडे एप्रोक्सिमेंट्स से प्राप्त) ही भौतिक रूप से वास्तविक हैं।

यह शोध पत्र सीमाओं को स्वीकार करते हुए उल्लेख करता है कि पत्राचार एक विशिष्ट निकटतम-पड़ोसी केल्विन-वोइग्ट श्रृंखला के लिए स्थापित किया गया है और कारणता तर्क को स्पष्ट रूप से इलास्टिक सीमा ($\eta = 0$) में निष्पादित किया गया था, जबकि पूर्ण विस्कोइस्टिक प्रकीर्णन संबंध तक विस्तार को भविष्य के कार्य के लिए छोड़ दिया गया है। यह आगे यह भी बताता है कि पेश किए गए संरचनात्मक और माइक्रोइन्ertia टेंसर अभी तक मापने योग्य मात्राओं से नहीं जुड़े हैं, जिसके लिए इलास्टिक स्ट्रेन-ग्रेडिएंट सिद्धांतों में समान भविष्य की प्रयोगात्मक पहचान प्रक्रियाओं की आवश्यकता है। यह कार्य ठोसों में सतह घटनाओं और लैटिस जैसे मेटा-मटेरियल्स (जैसे, ओरिगामी-किरिगामी संरचनाएं) के व्यवहार को मॉडल करने में संभावित अनुप्रयोगों का सुझाव देता है जहाँ आंतरिक घर्षण और उच्च-क्रम के ग्रेडिएंट प्रासंगिक हैं।