On nth order linear strain gradient viscoelasticity

技術要約：$n$ 次歪み勾配粘弾性に関する研究

問題提起
ナノ材料や複合材料におけるサイズ効果を捉えるために、弾性体に対する歪み勾配弾性理論（一次および一般的な $n$ 次モデルを含む）は確立されているが、その粘弾性への拡張は不完全なままである。既存の粘弾性勾配理論 [43–45] は、通常、単一の勾配次数（それらの文脈では「一次」と呼ばれることが多い）に限定されており、高次の微小慣性テンソルを含む一貫した運動エネルギーの定式化を欠いている。さらに、連続体モデルを離散的な微視的構造に関連付ける際に、どの特定の勾配次数が物理的に許容されるかを決定するための確立された基準も存在しない。本論文は、一貫した運動エネルギーを含む一般的な $n$ 次線形歪み勾配粘弾性理論を定式化し、離散粘弾性格子との分散特性との厳密な対応関係を確立することで、この空白を埋めるものである。

手法
著者らは、変位場 $u(x,t)$ とその $n$ 次までの勾配を導入した、小変形に基づく連続体理論を展開している。手法は主に以下の3つの段階で進められる：

1. 構成則の定式化： 応力 $T^{(1)}$ および高次応力 $T^{(k)}$ （$k=2, \dots, n$）は、歪み $\varepsilon$ および歪み勾配 $K_j = \nabla^j u$ の履歴の関数として定義される。構成方程式は、スティルチェス型畳み込み形式を用いた緩和テンソル $C^{(k)}$ および $C_j^{(k)}$ を用いる。また、各高次応力が対応する勾配の履歴のみに依存する、簡略化された対角形式も提示されている。
2. 運動エネルギーと運動方程式： 密度 $\rho$ と、歪み速度の $n-1$ 次までの次数に関連する微小慣性テンソル $J_{jj}$ を組み込んだ、一貫した運動エネルギー密度 $K$ が導入される。これにより、慣性項（加速度の高次空間微分を含む）と、応力および高次応力テンソルの発散とのバランスをとる、$2n$ 次の運動方程式が導かれる。
3. 離散・連続対応： 許容される勾配次数を決定するために、著者らは1次元無限粘弾性鎖（質量がケルビン・フォークト型のばねで接続されたもの）を解析する。著者らは、この離散系の正確な分散関係を導出し、非局所的な sine-squared オペレータをパデ近似 $P[p, q]$ によって近似する。位相速度および群速度を離散モデルと比較することで、どのパデ次数が物理的に安定かつ因果律を満たす挙動（高波数において有限かつ非ゼロの速度）を示すかを特定する。

主要な貢献
本論文は、この分野において真に新しい3つの要素を導入している：

• 任意次数への拡張： 歪み勾配の次数を任意まで拡張した歪み勾配粘解性理論であり、高次応力が当該次数までの歪み勾配に依存することを可能にしている。
• 一貫した運動エネルギー： $n$ 次の勾配と整合する、関連する微小慣性テンソルを含む運動エネルギー定式化の導入。これは、従来の粘弾性勾配に関する研究には欠けていたものである。
• 許容基準： 格子力学から導かれた、勾配次数の許容性に関する明示的な基準。解析の結果、特定のパデ近似 $[4m+2, 4m]$ （$m$ は整数）のみが、因果律および安定性の要件を満たすことが明らかになった。具体的には、偶数次の近似（例：$[4,2]$）は指数関数的に増大する解を伴う動的不安定モードをもたらすが、奇数次の連続体モデル（$[6,4], [10,8]$ などに対応）は、有限で正の位相速度および群速度を与える。

結果

• 分散解析： 本研究は、標準的なテイラー展開（パデ次数 $[p, 0]$）が波数の増加に伴って無限の位相速度および群速度をもたらし、因果律に抵触することを実証している。対照的に、特定のパデ次数 $[4m+2, 4m]$ は、速度が有限かつ非ゼロであることを保証する。
• 奇数次との対応： 許容されるパデ次数は、奇数次の連続体モデルと正確に一致する。例えば、最小の許容次数である $[6, 4]$ は、第三次勾配弾性モデルに対応する。
• 振動解析： ケーススタディとして、著者らは第三次勾配粘弾性棒（$[6,4]$ 近似に対応）の強制振動を解析している。弾性限界における固有振動数を導出し、調和励起に対する強制振動問題を解いている。結果は、粘性効果が高周波数でより顕著になること、および第三次勾配モデルが古典的なモデルと比較して、固定端付近でより滑らかな変位プロファイルを生み出すことを示している。

意義および主張
著者らは、本研究が、運動エネルギーと一貫して結合され、かつ離散・連続対応によって制約された、初の一般的な $n$ 次歪み勾配粘弾性の定式化を提供すると主張している。主な意義は、物理的な許容基準の特定にある。すなわち、近接相互作用から派生した分散粘弾性媒体をモデリングする場合、特定のパデ近似から導かれる特定の奇数次勾配モデルのみが物理的に実現可能であるということである。

本論文は、本対応関係が特定の近接相互作用ケルビン・フォークト鎖に対して確立されていること、および因果律の議論が弾性極限（$\eta = 0$）において明示的に行われたことを認め、完全な粘弾性分散関係への拡張は今後の課題としている。また、導入された構成テンソルおよび微小慣性テンソルは、まだ測定可能な量と結び付けられておらず、弾性歪み勾配理論におけるものと同様の実験的な同定手順を必要としていることも述べている。本研究は、内部摩擦や高次勾配が重要となる、固体の表面現象や格子状メタマテリアル（オリガミ・キリガミ構造など）の挙動のモデリングへの潜在的な応用を示唆している。