Missing digits and sums of two prime squares

Technisches Resümee: Fehlende Ziffern und Summen zweier Primquadrate

Problemstellung
Diese Arbeit untersucht die Schnittmenge zweier unterschiedlicher Gebiete der analytischen Zahlentheorie: ganze Zahlen mit fehlenden Ziffern in ihrer Basis-$g$-Entwicklung und die Darstellung von ganzen Zahlen als Summe zweier Primquadrate. Konkret untersucht der Autor die Menge $A(X)$ der ganzen Zahlen bis $X = g^k$, deren Basis-$g$-Entwicklung eine feste Ziffer $b$ ($0 \le b < g$) auslässt. Das primäre Ziel ist es, das asymptotische Verhalten und die Kardinalität der Teilmenge von $A(X)$ zu bestimmen, die als $n = p^2 + q^2$ für Primzahlen $p, q$ geschrieben werden kann.

Die Studie konzentriert sich auf zwei Hauptgrößen:

1. Die gewichtete Anzahl der Darstellungen, definiert durch die Summe der von Mangoldt-Funktion über die Darstellungen: $r_2(n) = \sum_{a^2+b^2=n} \Lambda(a)\Lambda(b)$.
2. Die ungewichtete Anzahl der Darstellungen, definiert als die Anzahl der Primpaare: $r^*(n) = \#\{(p, q) \in \mathbb{P}^2 : p^2 + q^2 = n\}$.

Methodik
Die Arbeit verwendet eine Kombination aus der Hardy-Littlewood-Kreismethode und der Siebtheorie und adaptiert Techniken, die zuvor von Maynard [14] für Primzahlen mit fehlenden Ziffern und vom Autor [17] für Summen zweier Primquadrate verwendet wurden.

1. Kreismethode für gewichtete Summen (Theorem 1.1):
   Der Beweis für den Durchschnitt von $r_2(n)$ über die Menge der fehlenden Ziffern nutzt die Kreismethode. Das Einheitsintervall wird in Major-Bögen (nahe rationalen Zahlen mit kleinen Nennern) und Minor-Bögen unterteilt.

   • Major-Bögen: Die Analyse beinhaltet die Auswertung der singulären Reihe, was das Verständnis der lokalen Dichte von Lösungen zu $u^2 + v^2 \equiv a \pmod q$ erfordert, wobei $u, v$ teilerfremd zum Modulus sind. Eine wesentliche Neuheit ist die Ableitung eines lokalen Faktors $S(b, g)$, der von der fehlenden Ziffer $b$ und der Primfaktorzerlegung der Basis $g$ abhängt.
   • Minor-Bögen: Der Autor nutzt die starken Fourier-Zerfallseigenschaften der Indikatorfunktion der Menge der fehlenden Ziffern (etabliert in Maynard [14]) in Kombination mit Exponentialsummen-Abschätzungen für Primzahlen (Lemma 2.4), um den Beitrag der Minor-Bögen zu beschränken.

2. Zweites Moment und Siebmethoden (Theorem 1.4):
   Um die ungewichtete Funktion $r^*(n)$ zu untersuchen, analysiert die Arbeit das zweite Moment $\sum (r^*(n)^2 - 2r^*(n))$, welches die Off-Diagonal-Lösungen $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$ zählt.

   • Faktorisierung in $\mathbb{Z}[i]$: Der Autor adaptiert eine Idee aus [17], indem er die Gleichung $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$ in den Gaußschen ganzen Zahlen als $(a+ib)(c+id) = (a-ib)(c-id)$ (bis auf Einheiten) faktorisiert. Dies transformiert das Problem in das Zählen von Lösungen, bei denen lineare Formen in $a, b, c, d$ Primzahlen sind.
   • Hybrid aus Sieb und Kreismethode: Die Primzahlsbedingung wird mittels eines oberen Siebs (Lemma 2.11) gelockert, um "grobe" ganze Zahlen zuzulassen. Die resultierende Summe wird dann mit der Kreismethode analysiert. Entscheidend ist, dass die Major-Bögen für dieses Zweitmoment-Problem mit einer wesentlich dünneren Breite ($\exp(O(\log X)^{1/2})$) definiert sind als im ersten Teil, was raffinierte Exponentialsummen-Abschätzungen (Lemma 2.10) erforderlich macht, um die Minor-Bögen zu handhaben.

Wesentliche Ergebnisse

• Theorem 1.1 (Gewichteter Durchschnitt): Für eine ausreichend große Basis $g$ erfüllt die gewichtete Summe der Darstellungen:
  $$\sum_{n \in A(X)} r_2(n) = S(b, g) \cdot \frac{\pi}{4} \#A(X) + O_A\left(\frac{\#A(X)}{(\log X)^A}\right)$$
  wobei der lokale Faktor $S(b, g) = \frac{g}{g-1}\left(1 - \frac{\rho(b; g)}{\phi^2(g)}\right)$ von der fehlenden Ziffer $b$ abhängt. Die Arbeit stellt eine interessante Verzerrung (Bias) fest: $S(b, g)$ wird maximiert, wenn $b=0$ und $g$ einen Primfaktor $p \equiv 3 \pmod 4$ besitzt, und minimiert, wenn $b=0$ und alle Primfaktoren von $g \equiv 1 \pmod 4$ sind.

• Korollar 1.3: Unter Verwendung von Theorem 1.1 und partieller Summation etabliert die Arbeit eine untere Schranke für die ungewichtete Summe:
  $$\sum_{n \in A(X)} r^*(n) \asymp \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

• Theorem 1.4 (Abschätzung des zweiten Moments): Die Arbeit stellt eine obere Schranke für den Off-Diagonal-Beitrag auf:
  $$\sum_{n \in A(X)} (r^*(n)^2 - 2r^*(n)) \ll \frac{\#A(X)(\log \log X)^4}{\log X}$$
  Der Autor schreibt den Verlust eines $(\log X)^2$-Faktors im Fehlerterm explizit der Unfähigkeit zu, die Major-Bögen dünn genug zu wählen zu, was eine Einschränkung darstellt, die aus dem Mangel an $L^\infty$-Schranken für die Fourier-Transformierte der Indikatorfunktion der fehlenden Ziffern resultiert.

• Theorem 1.6 (Kardinalität der darstellbaren ganzen Zahlen): Durch Kombination des ersten Moments (Korollar 1.3) und des zweiten Moments (Theorem 1.4) via Cauchy-Schwarz und Markov-Ungleichungen leitet die Arbeit eine nicht-triviale untere Schranke für die Anzahl der mit fehlenden Ziffern versehenen ganzen Zahlen ab, die Summen zweier Primquadrate sind:
  $$\frac{\#A(X)}{(\log X)^3 (\log \log X)^4} \ll \#\{n \in A(X) : r^*(n) > 0\} \ll \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

Bedeutung und Ansprüche
Die Arbeit trägt zur wachsenden Literatur über "fehlende Ziffern"-Probleme bei, indem sie den Umfang von einzelnen Primzahlen (Maynard [14]) und drei Primzahlen (Maier–Rassias [12], Leng–Sawhney [10]) auf additive Probleme mit Primquadraten erweitert.

Der Autor führt folgende Bedeutungen an:

1. Entdeckung eines Bias: Die Ableitung des lokalen Faktors $S(b, g)$ offenbart eine spezifische arithmetische Verzerrung in der Verteilung dieser Zahlen, abhängig von der fehlenden Ziffer und den Primfaktoren der Basis.
2. Nicht-triviale Existenz: Theorem 1.6 beweist, dass es unendlich viele ganze Zahlen mit fehlenden Ziffern gibt, die Summen zweier Primquadrate sind, wobei eine untere Schranke geliefert wird, die zwar nicht asymptotisch, aber signifikant besser als triviale Schranken ist.
3. Methodische Synthese: Die Arbeit zeigt die Durchführbarkeit der Kombination der Kreismethode mit Siebschätzungen auf, um das zweite Moment von Darstellungsfunktionen über spärlichen Mengen, die durch Ziffernbeschränkungen definiert sind, zu behanden.

Die Arbeit bleibt hinsichtlich der Schärfe der unteren Schranke in Theorem 1.6 bescheiden. Der Autor stellt explizit fest, dass das Erreichen der erwarteten Asymptote $\sim \frac{\pi}{2} S(b, g) \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$ derzeit durch den Verlust des $(\log X)^2$-Faktors in der Zweitmoment-Abschätzung behindert wird, was eine direkte Folge der Limitationen beim Verständnis der $L^\infty$-Schranken der Fourier-Transformierten der Menge der fehlenden Ziffern ist. Es wird zudem angemerkt, dass sich die Ergebnisse auf Fälle mit mehreren fehlenden Ziffern erstrecken lassen, sofern die Anzahl der fehlenden Ziffern im Verhältnis zur Basis hinreichend klein ist.