Missing digits and sums of two prime squares

Resumen Técnico: Dígitos Faltantes y Sumas de Dos Cuadrados de Primos

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga la intersección de dos áreas distintas de la teoría analítica de números: los enteros con dígitos faltantes en su expansión en base-$g$ y la representación de enteros como sumas de dos cuadrados de primos. Específicamente, el autor estudia el conjunto $A(X)$ de enteros hasta $X = g^k$ cuya expansión en base-$g$ omite un dígito fijo $b$ ($0 \le b < g$). El objetivo principal es determinar el comportamiento asintótico y la cardinalidad del subconjunto de $A(X)$ que puede escribirse como $n = p^2 + q^2$ para primos $p, q$.

El estudio se centra en dos cantidades principales:

1. El conteo ponderado de representaciones, definido por la suma de la función de von Mangoldt sobre las representaciones: $r_2(n) = \sum_{a^2+b^2=n} \Lambda(a)\Lambda(b)$.
2. El conteo no ponderado de representaciones, definido por el número de pares de primos: $r^*(n) = \#\{(p, q) \in \mathbb{P}^2 : p^2 + q^2 = n\}$.

Metodología
El artículo emplea una combinación del método del círculo de Hardy–Littlewood y la teoría de cribas, adaptando técnicas utilizadas previamente por Maynard [14] para primos con dígitos faltantes y por el autor [17] para sumas de dos cuadrados de primos.

1. Método del Círculo para Sumas Ponderadas (Teorema 1.1):
   La demostración para el promedio de $r_2(n)$ sobre el conjunto de dígitos faltantes utiliza el método del círculo. El intervalo unitario se divide en arcos mayores (cerca de racionales con denominadores pequeños) y arcos menores.

   • Arcos Mayores: El análisis implica la evaluación de la serie singular, lo cual requiere comprender la densidad local de soluciones a $u^2 + v^2 \equiv a \pmod q$ donde $u, v$ son coprimos con el módulo. Una novedad clave es la derivación de un factor local $S(b, g)$ que depende del dígito faltante $b$ y la factorización de primos de la base $g$.
   • Arcos Menores: El autor aprovecha las fuertes propiedades de decaimiento de Fourier de la función indicadora del conjunto de dígitos faltantes (establecidas en Maynard [14]) combinadas con estimaciones de sumas exponenciales para primos (Lema 2.4) para acotar la contribución de los arcos menores.

2. Segundo Momento y Métodos de Criba (Teorema 1.4):
   Para estudiar la función no ponderada $r^*(n)$, el artículo analiza el segundo momento $\sum (r^*(n)^2 - 2r^*(n))$, que cuenta soluciones fuera de la diagonal de $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$.

   • Factorización en $\mathbb{Z}[i]$: El autor adapta una idea de [17] factorizando la ecuación $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$ en los enteros gaussianos como $(a+ib)(c+id) = (a-ib)(c-id)$ (salvo unidades). Esto transforma el problema en contar soluciones donde las formas lineales en $a, b, c, d$ son primas.
   • Híbrido de Criba y Método del Círculo: La condición de primalidad se relaja utilizando una criba superior (Lema 2.11) para permitir enteros "gruesos" (rough integers). La suma resultante se analiza entonces mediante el método del círculo. Crucialmente, los arcos mayores para este problema del segundo momento se definen con un ancho mucho más delgado ($\exp(O(\log X)^{1/2})$) en comparación con la primera parte, lo que requiere estimaciones de sumas exponenciales refinadas (Lema 2.10) para manejar los arcos menores.

Resultados Clave

• Teorema 1.1 (Promedio Ponderado): Para una base $g$ suficientemente grande, la suma ponderada de las representaciones satisface:
  $$\sum_{n \in A(X)} r_2(n) = S(b, g) \cdot \frac{\pi}{4} \#A(X) + O_A\left(\frac{\#A(X)}{(\log X)^A}\right)$$
  donde el factor local $S(b, g) = \frac{g}{g-1}\left(1 - \frac{\rho(b; g)}{\phi^2(g)}\right)$ depende del dígito faltante $b$. El artículo señala un sesgo interesante: $S(b, g)$ se maximiza cuando $b=0$ y $g$ tiene un factor primo $p \equiv 3 \pmod 4$, y se minimiza cuando $b=0$ y todos los factores primos de $g$ son $\equiv 1 \pmod 4$.

• Corolario 1.3: Utilizando el Teorema 1.1 y sumación parcial, el artículo establece un límite inferior para la suma no ponderada:
  $$\sum_{n \in A(X)} r^*(n) \asymp \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

• Teorema 1.4 (Límite del Segundo Momento): El artículo establece un límite superior para la contribución fuera de la diagonal:
  $$\sum_{n \in A(X)} (r^*(n)^2 - 2r^*(n)) \ll \frac{\#A(X)(\log \log X)^4}{\log X}$$
  El autor atribuye explícitamente la pérdida de un factor $(\log X)^2$ en el término de error a la incapacidad de tomar los arcos mayores lo suficientemente delgados, una limitación que surge de la falta de cotas $L^\infty$ para la transformada de Fourier de la función indicadora de los dígitos faltantes.

• Teorema 1.6 (Cardinalidad de Enteros Representables): Al combinar el primer momento (Corolario 1.3) y el segundo momento (Teorema 1.4) vía Cauchy-Schwarz e desigualdades de Markov, el artículo deriva un límite inferior no trivial para el número de enteros con dígitos faltantes que son sumas de dos cuadrados de primos:
  $$\frac{\#A(X)}{(\log X)^3 (\log \log X)^4} \ll \#\{n \in A(X) : r^*(n) > 0\} \ll \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

Significancia y Reivindicaciones
El artículo contribuye al creciente cuerpo de literatura sobre problemas de "dígitos faltantes" al extender el alcance desde primos únicos (Maynard [14]) y tres primos (Maier–Rassias [12], Leng–Sawhney [10]) hacia problemas aditivos de cuadrados de primos.

El autor reivindica la siguiente significancia:

1. Descubrimiento de Sesgo: La derivación del factor local $S(b, g)$ revela un sesgo aritmético específico en la distribución de tales números dependiendo del dígito faltante y los factores primos de la base.
2. Existencia No Trivial: El Teorema 1.6 demuestra que existen infinitos enteros con dígitos faltantes que son sumas de dos cuadrados de primos, proporcionando un límite inferior que, aunque no es asintótico, es significativamente mejor que los límites triviales.
3. Síntesis Metodológica: El trabajo demuestra la viabilidad de combinar el método del círculo con estimaciones de criba para manejar el segundo momento de funciones de representación sobre conjuntos dispersos definidos por restricciones de dígitos.

El artículo se mantiene modesto respecto a la agudeza del límite inferior en el Teorema 1.6. El autor establece explícitamente que obtener la asíntota esperada $\sim \frac{\pi}{2} S(b, g) \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$ está actualmente obstruida por la pérdida del factor $(\log X)^2$ en la estimación del segundo momento, lo cual es una consecuencia directa de las limitaciones en la comprensión de las cotas $L^\infty$ de la transformada de Fourier del conjunto de dígitos faltantes. Se señala también que los resultados se extienden a casos donde faltan múltiples dígitos, siempre que el número de dígitos faltantes sea suficientemente pequeño en relación con la base.