Missing digits and sums of two prime squares

技術的要約：欠落する数字と2つの素数の平方の和

問題設定
本論文は、解析的数論における2つの異なる領域、すなわち、底数$g$における展開において特定の数字が欠落している整数と、2つの素数の平方の和として表される整数の交差領域を調査するものである。具体的には、著者は、底数$g$における展開において固定された数字$b$（$0 \le b < g$）を欠く、$X = g^k$までの整数集合$A(X)$を研究する。主な目的は、集合$A(X)$の部分集合のうち、$n = p^2 + q^2$（$p, q$は素数）と書けるものの漸近的挙動および濃度を決定することである。

本研究では、以下の2つの主要な量に焦点を当てる：

1. 表象の重み付きカウント：表現に関するフォン・マンゴルト関数の和として定義される：$r_2(n) = \sum_{a^2+b^2=n} \Lambda(a)\Lambda(b)$。
2. 表象の非重み付きカウント：素数の組の数として定義される：$r^*(n) = \#\{(p, q) \in \mathbb{P}^2 : p^2 + q^2 = n\}$。

手法
本論文は、ハーディ・リトルウッドの円法と篩法を組み合わせた手法を採用しており、メイナード[14]による欠落する数字を持つ素数の研究、および著者自身による[17]の2つの素数の平方の和に関する手法を適応させている。

1. 重み付き和のための円法 (定理 1.1):
   欠落する数字の集合上の$r_2(n)$の平均に関する証明には、円法を用いる。単位区間は、小数の分母を持つ有理数の近くにある「主要弧（major arcs）」と「小弧（minor arcs）」に分割される。

   • 主要弧: 主要弧の解析には、解の局所的な密度、$u, v$がモジュラスに対して互いに素である場合の解 $u^2 + v^2 \equiv a \pmod q$ の理解を必要とする、解の特異級数の評価が含まれる。ここでの重要な新規性は、欠落する数字$b$と底数$g$の素因数分解に依存する局所因子$S(b, g)$の導出である。
   • 小弧: 著者は、欠落する数字の指示関数の強力なフーリエ減衰特性（メイナード[14]によって確立されたもの）と、素数の指数和の評価（補題 2.4）を組み合わせることで、小弧からの寄与を抑え込む。

2. 二次のモーメントと篩法 (定理 1.4):
   $r^*(n)$を研究するために、本論文は $\sum (r^*(n)^2 - 2r^*(n))$、すなわちオフダイアゴナルな解 $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$ を数える量を解析する。

   • $\mathbb{Z}[i]$における因子分解: 著者は、$p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$ をガウス整数環において $(a+ib)(c+id) = (a-ib)(c-id)$（単元を除いて）と因数分解するアイデアを[17]から適応させている。これにより、問題は線形形式$a, b, c, d$ が素数である解を数える問題へと変換される。
   • 篩と円法のハイブリッド: 素数条件は、上界篩（補題 2.11）を用いて「粗い」整数を許容するように緩和される。得られた和は、その後、円法を用いて解析される。決定的な点として、この二次のモーメント問題における主要弧は、第一の部分と比較して非常に薄い幅（$\exp(O(\log X)^{1/2})$）で定義されており、小弧を扱うために精緻化された指数和の評価（補題 2.10）を必要とする。

主要な結果

• 定理 1.1 (重み付き平均): 十分に大きな底数$g$に対して、表象の重み付き和は以下を満たす：
  $$\sum_{n \in A(X)} r_2(n) = S(b, g) \cdot \frac{\pi}{4} \#A(X) + O_A\left(\frac{\#A(X)}{(\log X)^A}\right)$$
  ここで、局所因子 $S(b, g) = \frac{g}{g-1}\left(1 - \frac{\rho(b; g)}{\phi^2(g)}\right)$ は、欠落する数字$b$と底数$g$の素因数に依存する。論文では、興味深いバイアスが指摘されている。すなわち、$S(b, g)$は、$b=0$かつ$g$が$p \equiv 3 \pmod 4$である素因数を持つときに最大となり、$b=0$かつ$g$のすべての素因数が$\equiv 1 \pmod 4$であるときに最小となる。

• 系 1.3: 定理 1.1と部分和法を用いることで、本論文は非重み付き和の下界を確立する：
  $$\sum_{n \in A(X)} r^*(n) \asymp \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

• 定理 1.4 (二次のモーメントの評価): 本論文は、オフダイアゴナルな寄与に対する上界を確立する：
  $$\sum_{n \in A(X)} (r^*(n)^2 - 2r^*(n)) \ll \frac{\#A(X)(\log \log X)^4}{\log X}$$
  著者は、誤差項における$(\log X)^2$の因子の損失を、主要弧を十分に細かく取ることができなかったこと（欠落する数字の指示関数のフーリエ変換の$L^\infty$束縛の欠如に起因する制限）に明示的に帰せている。

• 定理 1.6 (存在量の濃度): コーシー＝シュワルツの不等式とマルコフの不等式を通じて、第一のモーメント（系 1.3）と第二のモーメント（定理 1.4）を組み合わせることで、本論文は、欠落する数字を持つ整数のうち、2つの素数の平方の和として表されるものの数について、非自明な下界を導出する：
  $$\frac{\#A(X)}{(\log X)^3 (\log \log X)^4} \ll \#\{n \in A(X) : r^*(n) > 0\} \ll \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

意義と主張
本論文は、「欠落する数字」の問題に関する既存の文献に対し、単一の素数（メイナード [14]）や3つの素数（Maier–Rassias [12], Leng–Sawhney [10]）の研究を、素数の平方の加法的問題へと拡張することで貢献している。

著者は以下の意義を主張している：

1. バイアスの発見: 局所因子$S(b, g)$の導出は、欠落する数字と底数の素因数に依存する、そのような数の分布における特定の算術的バイアスを明らかにしている。
2. 非自明な存在性: 定理 1.6は、欠落する数字を持つ整数の中に、2つの素数の平方の和であるものが無限に存在することを証明している。その下界は漸近的ではないものの、自明な境界よりも有意に優れたものである。
3. 手法の統合: 本研究は、桁の制限によって定義される疎な集合上の表現関数の二次のモーメントを扱うために、円法と篩の評価を組み合わせることの妥当性を示している。

本論文は、定理 1.6における下界の鋭さについては控えめな姿勢を保っている。著者は、二次のモーメントの評価における$(\log X)^2$因子の損失が、欠落する数字の集合のフーリエ変換の$L^\infty$束縛に関する理解の限界から直接生じていることを明記しており、期待される漸近的な値 $\sim \frac{\pi}{2} S(b, g) \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$ を得ることは現在困難であるとしている。また、これらの結果は、欠落する数字の数が底数に対して十分に小さい場合には、複数の数字が欠落する場合にも拡張可能であると述べられている。