Missing digits and sums of two prime squares

기술 요약: 누락된 자릿수와 두 소수의 제곱의 합

문제 정의
본 논문은 진법-$g$ 전개에서 특정 자릿수가 누락된 정수와 두 소수의 제곱의 합으로 표현되는 정수라는, 해석적 정수론의 두 가지 서로 다른 영역의 교차점을 조사한다. 구체적으로, 저자는 고정된 자릿수 $b$ ($0 \le b < g$)를 제외하는 밑수 $g$의 전개를 가진 $X = g^k$까지의 정수 집합 $A(X)$를 연구한다. 주요 목적은 $n = p^2 + q^2$ (여기서 $p, q$는 소수)로 쓰일 수 있는 $A(X)$의 부분집합의 점근적 거동과 카디널리티(cardinality)를 결정하는 것이다.

연구는 다음 두 가지 주요 양에 집중한다:

1. 표현의 가중치 계수(weighted count): 폰 망골트 함수(von Mangoldt function)를 이용한 표현의 합: $r_2(n) = \sum_{a^2+b^2=n} \Lambda(a)\Lambda(b)$.
2. 표현의 비가중치 계수(unweighted count): 소수 쌍의 개수: $r^*(n) = \#\{(p, q) \in \mathbb{P}^2 : p^2 + q^2 = n\}$.

방법론
본 논문은 하디-리틀우드 원법(Hardy–Littlewood circle method)과 체 이론(sieve theory)의 결합을 사용하며, 누락된 자릿수를 가진 소수에 대해 Maynard [14]가 사용한 기법과 두 소수의 제곱의 합에 대해 저자 [17]가 사용한 기법을 응용한다.

1. 가중치 합을 위한 원법 (정리 1.1):
   누락된 자릿수 집합에 대한 $r_2(n)$의 평균에 대한 증명은 원법을 활용한다. 단위 구간은 주요 호(major arcs, 작은 분모를 가진 유리수 근처)와 부수 호(minor arcs)로 나뉜다.

   • 주요 호 (Major Arcs): 분석은 특이 급수(singular series)를 평가하는 것을 포함하며, 이는 $u, v$가 모듈러스와 서로소인 $u^2 + v^2 \equiv a \pmod q$의 해의 국소 밀도를 이해하는 것을 요구한다. 핵심적인 참신함은 누락된 자릿수 $b$와 밑수 $g$의 소인수 분해에 의존하는 국소 인자(local factor) $S(b, g)$를 유도하는 데 있다.
   • 부수 호 (Minor Arcs): 저자는 누락된 자릿수의 지시 함수(indicator function)가 갖는 강력한 푸리에 감쇠 성질(Maynard [14]에서 확립됨)과 소수에 대한 지수 합 추정치(보조 정리 2.4)를 결합하여 부수 호의 기여를 제한한다.

2. 이차 모멘트 및 체 방법 (정리 1.4):
   $r^*(n)$을 연구하기 위해, 본 논문은 $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$를 만족하는 비대각 해(off-diagonal solutions)를 세는 이차 모멘트 $\sum (r^*(n)^2 - 2r^*(n))$를 분석한다.

   • $\mathbb{Z}[i]$에서의 인수분해: 저자는 $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$를 가우스 정수에서 $(a+ib)(c+id) = (a-ib)(c-id)$(단위 제외)로 인수분해하는 [17]의 아이디어를 응용한다. 이는 문제를$a, b, c, d$에 대한 선형 형식이 소수인 해를 세는 문제로 변환한다.
   • 체와 원법의 혼합: 소수 조건은 "거친(rough)" 정수를 허용하기 위해 상한 체(upper bound sieve, 보조 정리 2.11)를 사용하여 완화된다. 결과적으로 도출된 합은 원법을 사용하여 분석된다. 결정적으로, 이 이차 모멘트 문제의 주요 호는 첫 번째 부분보다 훨씬 더 얇은 폭($\exp(O(\log X)^{1/2})$)으로 정의되며, 이는 부수 호를 다루기 위해 정교한 지수 합 추정치(보조 정리 2.10)를 필요로 한다.

주요 결과

• 정리 1.1 (가중치 평균): 충분히 큰 밑수 $g$에 대하여, 표현의 가중치 합은 다음을 만족한다:
  $$\sum_{n \in A(X)} r_2(n) = S(b, g) \cdot \frac{\pi}{4} \#A(X) + O_A\left(\frac{\#A(X)}{(\log X)^A}\right)$$
  여기서 국소 인자 $S(b, g) = \frac{g}{g-1}\left(1 - \frac{\rho(b; g)}{\phi^2(g)}\right)$는 누락된 자릿수 $b$에 의존한다. 논문은 흥미로운 편향(bias)을 언급하는데, $S(b, g)$는 $b=0$이고 $g$가 $p \equiv 3 \pmod 4$인 소인수를 가질 때 최대화되며, $b=0$이고 $g$의 모든 소인수가 $\equiv 1 \pmod 4$일 때 최소화된다.

• 따름정리 1.3: 정리 1.1과 부분 합산(partial summation)을 사용하여, 본 논문은 비가중치 합에 대한 하한을 설정한다:
  $$\sum_{n \in A(X)} r^*(n) \asymp \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

• 정리 1.4 (이차 모멘트 상한): 본 논문은 비대각 기여에 대한 상한을 설정한다:
  $$\sum_{n \in A(X)} (r^*(n)^2 - 2r^*(n)) \ll \frac{\#A(X)(\log \log X)^4}{\log X}$$
  저자는 오차 항에서 $(\log X)^2$ 인자의 손실이 발생하는 이유를 누락된 자릿수 지시 함수의 푸리에 변환에 대한 $L^\infty$ 유계(bounds)를 확보할 수 없기 때문이라고 명시적으로 밝힌다.

• 정리 1.6 (표현 가능한 정수의 카디널리티): 코시-슈바르츠(Cauchy-Schwarz)와 마르코프 부등식(Markov's inequality)을 통해 일차 모멘트(따름정리 1.3)와 이차 모멘트(정리 1.4)를 결합함으로써, 본 논문은 두 소수의 제곱의 합으로 표현 가능한 누락된 자릿수 정수의 수에 대한 유의미한 하한을 도출한다:
  $$\frac{\#A(X)}{(\log X)^3 (\log \log X)^4} \ll \#\{n \in A(X) : r^*(n) > 0\} \ll \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

의의 및 주장
본 논문은 "누락된 자릿수" 문제에 관한 문헌의 범위를 단일 소수(Maynard [14])와 세 개의 소수(Maier–Rassias [12], Leng–Sawhney [10])에서 소수의 제곱의 합을 포함하는 가법 문제(additive problems)로 확장함으로써 기여한다.

저자는 다음과 같은 의의를 주장한다:

1. 편향 발견: 국소 인자 $S(b, g)$의 유도는 누락된 자릿수와 밑수의 소인수에 따라 이러한 수들의 분포에 존재하는 특정한 산술적 편향을 드러낸다.
2. 유의미한 존재성: 정리 1.6은 누락된 자릿수를 가진 정수 중 두 소수의 제곱의 합인 것이 무수히 많음을 증명하며, 비록 점근적이지는 않지만 자명한 하한보다는 훨씬 나은 하한을 제공한다.
3. 방법론적 합성: 이 연구는 자릿수 제한에 의해 정의된 희소 집합(sparse sets) 위에서 표현 함수의 이차 모멘트를 다루기 위해 원법과 체 추정치를 결합하는 방식의 타당성을 입증한다.

본 논문은 정리 1.6의 하한이 얼마나 날카로운지에 대해서는 신중한 태도를 유지한다. 저자는 기대되는 점근적 값인 $\sim \frac{\pi}{2} S(b, g) \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$을 얻는 것이 현재 이차 모멘트 추정치에서의 $(\log X)^2$ 인자 손실에 의해 가로막혀 있다고 명시적으로 밝히며, 이는 누락된 자릿수 집합의 푸리에 변환에 대한 $L^\infty$ 유계를 이해하는 데 한계가 있기 때문이라고 설명한다. 또한, 결과는 누락된 자릿수의 수가 밑수 $g$에 비해 충분히 적다면 여러 개의 자릿수가 누락되는 경우로도 확장될 수 있음을 언급한다.