Missing digits and sums of two prime squares

Sintesi Tecnica: Cifre Mancanti e Somme di Due Quadrati di Primi

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga l'intersezione tra due aree distinte della teoria analitica dei numeri: gli interi con cifre mancanti nella loro espansione in base-$g$ e la rappresentazione di interi come somme di due quadrati di primi. Nello specifico, l'autore studia l'insieme $A(X)$ di interi fino a $X = g^k$ la cui espansione in base-$g$ omette una cifra fissa $b$ ($0 \le b < g$). L'obiettivo primario è determinare il comportamento asintotico e la cardinalità del sottoinsieme di $A(X)$ che può essere scritto come $n = p^2 + q^2$ per primi $p, q$.

Lo studio si concentra su due quantità principali:

1. Il conteggio pesato delle rappresentazioni, definito dalla somma della funzione di von Mangoldt sulle rappresentazioni: $r_2(n) = \sum_{a^2+b^2=n} \Lambda(a)\Lambda(b)$.
2. Il conteggio non pesato delle rappresentazioni, definito dal numero di coppie di primi: $r^*(n) = \#\{(p, q) \in \mathbb{P}^2 : p^2 + q^2 = n\}$.

Metodologia
L'articolo impiega una combinazione del metodo del cerchio di Hardy–Littlewood e della teoria del setaccio, adattando le tecniche precedentemente utilizzate da Maynard [14] per i primi con cifre mancanti e dall'autore stesso [17] per le somme di due quadrati di primi.

1. Metodo del Cerchio per le Somme Pesate (Teorema 1.1):
   La dimostrazione della media di $r_2(n)$ sul insieme delle cifre mancanti utilizza il metodo del cerchio. L'intervallo unitario viene diviso in archi maggiori (vicino ai razionali con denominatori piccoli) e archi minori.

   • Archi Maggiori: L'analisi comporta la valutazione della serie singolare, che richiede la comprensione della densità locale delle soluzioni a $u^2 + v^2 \equiv a \pmod q$ dove $u, v$ sono coprimi con il modulo. Una chiave novità è la derivazione di un fattore locale $S(b, g)$ che dipende dalla cifra mancante $b$ e dalla fattorizzazione primi della base $g$.
   • Archi Minori: L'autore sfrutta le forti proprietà di decadimento di Fourier della funzione indicatrice dell'insieme delle cifre mancanti (stabilite in Maynard [14]) combinate con stime di somme esponenziali per i primi (Lemma 2.4) per limitare il contributo proveniente dagli archi minori.

2. Secondo Momento e Metodi del Setaccio (Teorema 1.4):
   Per studiare la funzione non pesata $r^*(n)$, l'articolo analizza il secondo momento $\sum (r^*(n)^2 - 2r^*(n))$, che conta le soluzioni off-diagonal $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$.

   • Fattorizzazione in $\mathbb{Z}[i]$: L'autore adatta un'idea tratta da [17] fattorizzando l'equazione $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$ negli interi gaussiani come $(a+ib)(c+id) = (a-ib)(c-id)$ (a meno di unità). Ciò trasforma il problema nel conteggio di soluzioni dove le forme lineari in $a, b, c, d$ sono primi.
   • Ibrido tra Setaccio e Metodo del Cerchio: La condizione di primalità viene rilassata utilizzando un setaccio superiore (Lemma 2.11) per permettere l'uso di interi "grossolani" (rough integers). La somma risultante viene poi analizzata utilizzando il metodo del cerchio. Fondamentalmente, gli archi maggiori per questo problema del secondo momento sono definiti con una larghezza molto più sottile ($\exp(O(\log X)^{1/2})$) rispetto alla prima parte, rendendo necessari stimi di somme esponenziali più raffinati (Lemma 2.10) per gestire gli archi minori.

Risultati Chiave

• Teorema 1.1 (Media Pesata): Per una base $g$ sufficientemente grande, la somma pesata delle rappresentazioni soddisfa:
  $$\sum_{n \in A(X)} r_2(n) = S(b, g) \cdot \frac{\pi}{4} \#A(X) + O_A\left(\frac{\#A(X)}{(\log X)^A}\right)$$
  dove il fattore locale $S(b, g) = \frac{g}{g-1}\left(1 - \frac{\rho(b; g)}{\phi^2(g)}\right)$ dipende dalla cifra mancante $b$. L'articolo nota un interessante bias: $S(b, g)$ è massimizzato quando $b=0$ e $g$ ha un fattore primo $p \equiv 3 \pmod 4$, e minimizzato quando $b=0$ e tutti i fattori primi di $g$ sono $\equiv 1 \pmod 4$.

• Corollario 1.3: Utilizzando il Teorema 1.1 e la sommatoria parziale, l'articolo stabilisce un limite inferiore per la somma non pesata:
  $$\sum_{n \in A(X)} r^*(n) \asymp \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

• Teorema 1.4 (Limite del Secondo Momento): L'articolo stabilisce un limite superiore per il contributo off-diagonal:
  $$\sum_{n \in A(X)} (r^*(n)^2 - 2r^*(n)) \ll \frac{\#A(X)(\log \log X)^4}{\log X}$$
  L'autore attribuisce esplicitamente la perdita di un fattore $(\log X)^2$ nel termine di errore all'impossibilità di rendere gli archi maggiori sufficientemente sottili, una limitazione derivante dalla mancanza di limiti $L^\infty$ per la trasformata di Fourier della funzione indicatrice del set delle cifre mancanti.

• Teorema 1.6 (Cardinalità degli Interi Rappresentabili): Combinando il primo momento (Corollario 1.3) e il secondo momento (Teorema 1.4) tramite Cauchy-Schwarz e le disuguaglianze di Markov, l'articolo deriva un limite inferiore non banale per il numero di interi con cifre mancanti rappresentabili come somma di due quadrati di primi:
  $$\frac{\#A(X)}{(\log X)^3 (\log \log X)^4} \ll \#\{n \in A(X) : r^*(n) > 0\} \ll \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

Significatività e Rivendicazioni
L'articolo contribuisce al crescente corpo di letteratura sui problemi di "cifre mancanti" estendendo l'ambito dai singoli primi (Maynard [14]) e dai tre primi (Maier–Rassias [12], Leng–Sawhney [10]) ai problemi additivi coinvolgenti quadrati di primi.

L'autore rivendica la seguente significatività:

1. Scoperta del Bias: La derivazione del fattore locale $S(b, g)$ rivela un bias aritmetico specifico nella distribuzione di tali numeri a seconda della cifra mancante e dei fattori primi della base.
2. Esistenza Non Banale: Il Teorema 1.6 dimostra che esistono infiniti interi con cifre mancanti che sono somme di due quadrati di primi: fornisce un limite inferiore che, sebbene non sia asintotico, è significativamente migliore dei limiti banali.
3. Sintesi Metodologica: Il lavoro dimostra la validità della combinazione del metodo del cerchio con le stime del setaccio per gestire il secondo momento delle funzioni di rappresentazione su insiemi sparsi definiti da restrizioni sulle cifre.

L'articolo rimane modesto riguardo alla precisione del limite inferiore nel Teorema 1.6. L'autore afferma esplicitamente che l'ottenimento dell'asintotica attesa $\sim \frac{\pi}{2} S(b, g) \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$ è attualmente ostacolato dalla perdita del fattore $(\log X)^2$ nella stima del secondo momento, una conseguenza diretta delle limitazioni nella comprensione dei limiti $L^\infty$ della trasformata di Fourier del set delle cifre mancanti. Si nota inoltre che i risultati si estendono ai casi in cui mancano più cifre, a patto che il numero di cifre mancanti sia sufficientemente piccolo rispetto alla base.