Missing digits and sums of two prime squares

Technische Samenvatting: Ontbrekende Cijfers en Sommen van Twee Priemkwadraten

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt de intersectie van twee afzonderlijke gebieden binnen de analytische getaltheorie: gehele getallen met ontbrekende cijfers in hun base-$g$ expansie en de representatie van gehele getallen als sommen van twee priemkwadraten. Specifiek bestudeert de auteur de verzameling $A(X)$ van gehele getallen tot $X = g^k$ waarvan de base-$g$ expansie een vast cijfer $b$ ($0 \le b < g$) weglaat. Het primaire doel is om het asymptotisch gedrag en de kardinaliteit te bepalen van de deelverzameling van $A(X)$ die geschreven kan worden als $n = p^2 + q^2$ voor priemgetallen $p, q$.

De studie richt zich op twee hoofdhoeveelheden:

1. De gewogen telling van representaties, gedefinieerd door de som van de von Mangoldt-functie over representaties: $r_2(n) = \sum_{a^2+b^2=n} \Lambda(a)\Lambda(b)$.
2. De ongewogen telling van representaties, gedefinieerd door het aantal priemparen: $r^*(n) = \#\{(p, q) \in \mathbb{P}^2 : p^2 + q^2 = n\}$.

Methodologie
Het artikel maakt gebruik van een combinatie van de Hardy–Littlewood cirkelmethode en zeefmethode, waarbij technieken worden aangepast die eerder zijn gebruikt door Maynard [14] voor priemgetallen met ontbrekende cijfers en door de auteur zelf [17] voor sommen van twee priemkwadraten.

1. Cirkelmethode voor Gewogen Sommen (Theorem 1.1):
   Het bewijs voor het gemiddelde van $r_2(n)$ over de verzameling met ontbrekende cijfers maakt gebruik van de cirkelmethode. Het eenheidsinterval wordt opgesplitst in major arcs (nabij rationale breuken met kleine noemers) en minor arcs.

• Major Arcs: De analyse omvat het evalueren van de singuliere reeks, wat vereist dat de lokale dichtheid van oplossingen voor $u^2 + v^2 \equiv a \pmod q$ wordt begrepen, waarbij $u, v$ copriem zijn met de modulus. Een cruciale vernieuwing is de afleiding van een lokale factor $S(b, g)$ die afhankelijk is van het ontbrekende cijfer $b$ en de priemfactorisatie van de base $g$.
• Minor Arcs: De auteur maakt gebruik van de sterke Fourier-vervaleigenschappen van de indicatorfunctie van de verzameling met ontbrekende cijfers (vastgesteld in Maynard [14]) in combinatie met exponentiële som-schattingen voor priemgetallen (Lemma 2.4) om de bijdrage van de minor arcs te begrenzen.

2. Tweede Moment en Zeefmethoden (Theorem 1.4):
   Om de ongewogen functie $r^*(n)$ te bestuderen, analyseert het artikel het tweede moment $\sum (r^*(n)^2 - 2r^*(n))$, wat de off-diagonal oplossingen telt waarvoor $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$.

• Factorisatie in $\mathbb{Z}[i]$: De auteur past een idee uit [17] toe door de vergelijking $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$ te factoriseren in de Gaussische integers als $(a+ib)(c+id) = (a-ib)(c-id)$ (op eenheden na). Dit transformeert het probleem naar het tellen van oplossingen waarbij lineaire vormen in $a, b, c, d$ priem zijn.
• Hybride van Zeef en Cirkelmethode: De primality-conditie wordt versoepeld met behulp van een boven-zeef (Lemma 2.11) om te werken met "ruwe" gehele getallen. De resulterende som wordt vervolgens geanalyseerd met de cirkelmethode. Cruciaal is dat de major arcs voor dit tweede momentprobleem gedefinieerd zijn met een veel dunnere breedte ($\exp(O(\log X)^{1/2})$) vergeleken met het eerste deel, wat verfijnde exponentiële som-schattingen (Lemma 2.10) noodzakelijk maakt om de minor arcs te behandelen.

Belangrijkste Resultaten

• Theorem 1.1 (Gewogen Gemiddelde): Voor een voldoende grote base $g$ voldoet de gewogen som van representaties aan:
  $$\sum_{n \in A(X)} r_2(n) = S(b, g) \cdot \frac{\pi}{4} \#A(X) + O_A\left(\frac{\#A(X)}{(\log X)^A}\right)$$
  waarbij de lokale factor $S(b, g) = \frac{g}{g-1}\left(1 - \frac{\rho(b; g)}{\phi^2(g)}\right)$ afhankelijk is van het ontbrekende cijfer $b$. Het artikel merkt een interessante bias op: $S(b, g)$ is gemaximaliseerd wanneer $b=0$ en $g$ een priemfactor $p \equiv 3 \pmod 4$ heeft, en geminimaliseerd wanneer $b=0$ en alle priemfactoren van $g \equiv 1 \pmod 4$ zijn.

• Corollary 1.3: Gebruikmakend van Theorem 1.1 en partiële sommatie, stelt het artikel een ondergrens vast voor de ongewogen som:
  $$\sum_{n \in A(X)} r^*(n) \asymp \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

• Theorem 1.4 (Tweede Moment Begrenzing): Het artikel stelt een bovengrens vast voor de off-diagonal bijdrage:
  $$\sum_{n \in A(X)} (r^*(n)^2 - 2r^*(n)) \ll \frac{\#A(X)(\log \log X)^4}{\log X}$$
  De auteur schrijft het verlies van een $(\log X)^2$ factor in de foutterm expliciet toe aan het onvermogen om de major arcs dun genoeg te maken, een beperking die voortvloeit uit het gebrek aan $L^\infty$-bounds voor de Fourier-transformatie van de indicatorfunctie van de verzameling met ontbrekende cijfers.

• Theorem 1.6 (Kardinaliteit van Representeerbare Getallen): Door de eerste moment (Corollary 1.3) en het tweede moment (Theorem 1.4) te combineren via de Cauchy-Schwarz- en Markov-ongelijkheden, leidt het artikel een niet-triviale ondergrens af voor het aantal ontbrekende-cijfer getallen dat representeerbaar is als een som van twee priemkwadraten:
  $$\frac{\#A(X)}{(\log X)^3 (\log \log X)^4} \ll \#\{n \in A(X) : r^*(n) > 0\} \ll \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

Betekenis en Claims
Het artikel draagt bij aan de groeiende literatuur over "ontbrekende cijfer" problemen door de reikwijdte uit te breiden van enkelvoudige priemgetallen (Maynard [14]) en drie priemgetallen (Maier–Rassias [12], Leng–Sawhney [10]) naar additieve problemen met kwadraten van priemgetallen.

De auteur claimt de volgende betekenis:

1. Ontdekking van Bias: De afleiding van de lokale factor $S(b, g)$ onthult een specifieke aritmetische bias in de distributie van deze getallen, afhankelijk van het ontbrekende cijfer en de priemfactoren van de base.
2. Niet-triviale Existentie: Theorem 1.6 bewijst dat er oneindig veel gehele getallen met ontbrekende cijfers zijn die een som van twee priemkwadraten zijn, waarbij de geleverde ondergrens, hoewel niet asymptotisch, aanzienlijk beter is dan triviale grenzen.
3. Methodologische Synthese: Het werk demonstreert de levensvatbaarheid van het combineren van de cirkelmethode met zeefschattingen om het tweede moment van representatiefuncties over ijle verzamelingen gedefinieerd door cijferrestricties te behandelen.

Het artikel blijft bescheiden over de scherpte van de ondergrens in Theorem 1.6. De auteur stelt expliciet dat het verkrijgen van de verwachte asymptoot $\sim \frac{\pi}{2} S(b, g) \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$ momenteel wordt belemmerd door het verlies van de $(\log X)^2$ factor in de tweede moment-schatting, wat een direct gevolg is van de beperkingen in het begrijpen van de $L^\infty$-bounds van de Fourier-transformatie van de verzameling met ontbrekende cijfers. De resultaten zijn ook merkbaar uitgebreid naar gevallen waarin meerdere cijfers ontbreken, mits het aantal ontbrekende cijfers voldoende klein is ten opzichte van de base.