Missing digits and sums of two prime squares

Resumo Técnico: Dígitos Ausentes e Somas de Dois Quadrados de Primos

Enunciado do Problema
Este artigo investiga a interseção de duas áreas distintas da teoria analítica dos números: inteiros com dígitos ausentes em sua expansão na base-$g$ e a representação de inteiros como somas de dois quadrados de primos. Especificamente, o autor estuda o conjunto $A(X)$ de inteiros até $X = g^k$ cuja expansão na base-$g$ omite um dígito fixo $b$ ($0 \le b < g$). O objetivo principal é determinar o comportamento assintótico e a cardinalidade do subconjunto de $A(X)$ que pode ser escrito como $n = p^2 + q^2$ para primos $p, q$.

O estudo foca em duas quantidades principais:

1. A contagem ponderada de representações, definida pela soma da função de von Mangoldt sobre as representações: $r_2(n) = \sum_{a^2+b^2=n} \Lambda(a)\Lambda(b)$.
2. A contagem não ponderada de representações, definida pelo número de pares de primos: $r^*(n) = \#\{(p, q) \in \mathbb{P}^2 : p^2 + q^2 = n\}$.

Metodologia
O artigo emprega uma combinação do método do círculo de Hardy–Littlewood e da teoria de peneiras (sieve theory), adaptando técnicas anteriormente utilizadas por Maynard [14] para primos com dígitos ausentes e pelo próprio autor [17] para somas de dois quadrados de primos.

1. Método do Círculo para Somas Ponderadas (Teorema 1.1):
   A prova para a média de $r_2(n)$ sobre o conjunto de dígitos ausentes utiliza o método do círculo. O intervalo unitário é dividido em arcos maiores (próximos a racionais com denominadores pequenos) e arcos menores.

   • Arcos Maiores: A análise envolve a avaliação da série singular, o que requer a compreensão da densidade local de soluções para $u^2 + v^2 \equiv a \pmod q$ onde $u, v$ são coprimos ao módulo. Uma novidade fundamental é a derivação de um fator local $S(b, g)$ que depende do dígito ausente $b$ e da fatoração de primos da base $g$.
   • Arcos Menores: O autor aproveita as fortes propriedades de decaimento de Fourier da função indicadora do conjunto de dígitos ausentes (estabelecidas em Maynard [14]) combinadas com estimativas de somas exponenciais para primos (Lema 2.4) para limitar a contribuição dos arcos menores.

2. Segundo Momento e Métodos de Peneira (Teorema 1.4):
   Para estudar a função não ponderada $r^*(n)$, o artigo analisa o segundo momento $\sum (r^*(n)^2 - 2r^*(n))$, que conta soluções fora da diagonal para $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$.

   • Fatoração em $\mathbb{Z}[i]$: O autor adapta uma ideia de [17] ao fatorar a equação $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$ nos inteiros gaussianos como $(a+ib)(c+id) = (a-ib)(c-id)$ (salvo unidades). Isso transforma o problema na contagem de soluções onde formas lineares em $a, b, c, d$ são primas.
   • Híbrido de Peneira e Método do Círculo: A condição de primalidade é relaxada usando uma peneira superior (Lema 2.11) para permitir inteiros "grossos" (rough integers). A soma resultante é então analisada usando o método do círculo. Crucialmente, os arcos maiores para este problema do segundo momento são definidos com uma largura muito mais fina ($\exp(O(\log X)^{1/2})$) comparada à primeira parte, necessitando de estimativas de somas exponenciais refinadas (Lema 2.10) para lidar com os arcos menores.

Resultados Principais

• Teorema 1.1 (Média Ponderada): Para uma base $g$ suficientemente grande, a soma ponderada das representações satisfaz:
  $$\sum_{n \in A(X)} r_2(n) = S(b, g) \cdot \frac{\pi}{4} \#A(X) + O_A\left(\frac{\#A(X)}{(\log X)^A}\right)$$
  onde o fator local $S(b, g) = \frac{g}{g-1}\left(1 - \frac{\rho(b; g)}{\phi^2(g)}\right)$ depende do dígito ausente $b$. O artigo observa um viés interessante: $S(b, g)$ é maximizado quando $b=0$ e $g$ possui um fator primo $p \equiv 3 \pmod 4$, e minimizado quando $b=0$ e todos os fatores primos de $g$ são $\equiv 1 \pmod 4$.

• Corolário 1.3: Usando o Teorema 1.1 e somatório por partes, o artigo estabelece um limite inferior para a soma não ponderada:
  $$\sum_{n \in A(X)} r^*(n) \asymp \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

• Teorema 1.4 (Limite do Segundo Momento): O artigo estabelece um limite superior para a contribuição fora da diagonal:
  $$\sum_{n \in A(X)} (r^*(n)^2 - 2r^*(n)) \ll \frac{\#A(X)(\log \log X)^4}{\log X}$$
  O autor atribui explicitamente a perda de um fator $(\log X)^2$ no termo de erro à incapacidade de tornar os arcos maiores suficientemente finos, uma limitação decorrente da falta de limites $L^\infty$ para a transformada de Fourier da função indicadora do conjunto de dígitos ausentes.

• Teorema 1.6 (Cardinalidade de Inteiros Representáveis): Ao combinar o primeiro momento (Corolário 1.3) e o segundo momento (Teorema 1.4) via desigualdades de Cauchy-Schwarz e de Markov, o artigo deriva um limite inferior não trivial para o número de inteiros com dígitos ausentes que são somas de dois quadrados de primos:
  $$\frac{\#A(X)}{(\log X)^3 (\log \log X)^4} \ll \#\{n \in A(X) : r^*(n) > 0\} \ll \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

Significância e Alegações
O artigo contribui para o crescente corpo de literatura sobre problemas de "dígitos ausentes" ao estender o escopo de primos únicos (Maynard [14]) e três primos (Maier–Rassias [12], Leng–Sawhney [10]) para problemas aditivos envolvendo quadrados de primos.

O autor alega a seguinte significância:

1. Descoberta de Viés: A derivação do fator local $S(b, g)$ revela um viés aritmético específico na distribuição de tais números dependendo do dígito ausente e dos fatores primos da base.
2. Existência Não Trivial: O Teorema 1.6 prova que existem infinitos inteiros com dígitos ausentes que são somas de dois quadrados de primos, fornecendo um limite inferior que, embora não seja assintótico, é significativamente melhor que limites triviais.
3. Síntese Metodológica: O trabalho demonstra a viabilidade de combinar o método do círculo com estimativas de peneira para lidar com o segundo momento de funções de representação sobre conjuntos esparsos definidos por restrições de dígitos.

O artigo permanece modesto quanto à precisão do limite inferior no Teorema 1.6. O autor afirma explicitamente que obter a assíntota esperada $\sim \frac{\pi}{2} S(b, g) \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$ é atualmente obstruído pela perda do fator $(\log X)^2$ na estimativa do segundo momento, o que é uma consequência direta das limitações no entendimento dos limites $L^\infty$ da transformada de Fourier do conjunto de dígitos ausentes. Nota-se também que os resultados se estendem para casos onde múltiplos dígitos estão ausentes, desde que o número de dígitos ausentes seja suficientemente pequeno em relação à base.