Missing digits and sums of two prime squares

Résumé technique : Chiffres manquants et sommes de deux carrés de nombres premiers

Énoncé du problème
Cet article étudie l'intersection de deux domaines distincts de la théorie analytique des nombres : les entiers présentant des chiffres manquants dans leur expansion en base-$g$ et la représentation des entiers comme sommes de deux carrés de nombres premiers. Plus précisément, l'auteur étudie l'ensemble $A(X)$ des entiers jusqu'à $X = g^k$ dont l'expansion en base-$g$ omet un chiffre fixé $b$ ($0 \le b < g$). L'objectif principal est de déterminer le comportement asymptotique et la cardinalité du sous-ensemble de $A(X)$ pouvant s'écrire sous la forme $n = p^2 + q^2$ pour des nombres premiers $p, q$.

L'étude se concentre sur deux quantités principales :

1. Le décompte pondéré des représentations, défini par la somme de la fonction de von Mangoldt sur les représentations : $r_2(n) = \sum_{a^2+b^2=n} \Lambda(a)\Lambda(b)$.
2. Le décompte non pondéré des représentations, défini par le nombre de couples de nombres premiers : $r^*(n) = \#\{(p, q) \in \mathbb{P}^2 : p^2 + q^2 = n\}$.

Méthodologie
L'article emploie une combinaison de la méthode du cercle de Hardy–Littlewood et de la théorie du criblage, en adaptant les techniques précédemment utilisées par Maynard [14] pour les nombres premiers avec chiffres manquants et par l'auteur [17] pour les sommes de deux carrés de nombres premiers.

1. Méthode du cercle pour les sommes pondérées (Théorème 1.1) :
   La preuve pour la moyenne de $r_2(n)$ sur l'ensemble des chiffres manquants utilise la méthode du cercle. L'intervalle unité est divisé en arcs majeurs (proches des rationnels à dénominateurs petits) et en arcs mineurs.

• Arcs majeurs : L'analyse implique l'évaluation de la série singulière, ce qui nécessite la compréhension de la densité locale des solutions à $u^2 + v^2 \equiv a \pmod q$ où $u, v$ sont premiers avec le module. Une nouveauté clé est la dérivation d'un facteur local $S(b, g)$ qui dépend du chiffre manquant $b$ et de la décomposition en facteurs premiers de la base $g$.
• Arcs mineurs : L'auteur s'appuie sur les fortes propriétés de décroissance de Fourier de la fonction indicatrice de l'ensemble des chiffres manquants (établies dans Maynard [14]) combinées aux estimations de sommes exponentielles pour les nombres premiers (Lemme 2.4) pour borner la contribution des arcs mineurs.

2. Second moment et méthodes de criblage (Théorème 1.4) :
   Pour étudier la fonction non pondérée $r^*(n)$, l'article analyse le second moment $\sum (r^*(n)^2 - 2r^*(n))$, qui compte les solutions hors-diagonale de $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$.

• Factorisation dans $\mathbb{Z}[i]$ : L'auteur adapte une idée de [17] en factorisant l'équation $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$ dans les entiers de Gauss comme $(a+ib)(c+id) = (a-ib)(c-id)$ (à un facteur unité près). Cela transforme le problème en un comptage de solutions où des formes linéaires en $a, b, c, d$ sont premières.
• Hybride de criblage et de méthode du cercle : La condition de primalité est relaxée en utilisant un criblage supérieur (Lemme 2.11) pour permettre des entiers « grossiers » (rough). La somme résultante est ensuite analysée à l'aide de la méthode du cercle. Crucialement, les arcs majeurs pour ce problème de second moment sont définis avec une largeur beaucoup plus fine ($\exp(O(\log X)^{1/2})$) par rapport à la première partie, nécessitant des estimations de sommes exponentielles raffinées (Lemme 2.10) pour traiter les arcs mineurs.

Résultats clés

• Théorème 1.1 (Moyenne pondérée) : Pour une base $g$ suffisamment grande, la somme pondérée des représentations satisfait :
  $$\sum_{n \in A(X)} r_2(n) = S(b, g) \cdot \frac{\pi}{4} \#A(X) + O_A\left(\frac{\#A(X)}{(\log X)^A}\right)$$
  où le facteur local $S(b, g) = \frac{g}{g-1}\left(1 - \frac{\rho(b; g)}{\phi^2(g)}\right)$ dépend du chiffre manquant $b$. L'article note un biais intéressant : $S(b, g)$ est maximisé quand $b=0$ et que $g$ possède un facteur premier $p \equiv 3 \pmod 4$, et minimisé quand $b=0$ et que tous les facteurs premiers de $g$ sont $\equiv 1 \pmod 4$.

• Corollaire 1.3 : En utilisant le Théorème 1.1 et la sommation partielle, l'article établit une borne inférieure pour la somme non pondérée :
  $$\sum_{n \in A(X)} r^*(n) \asymp \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

• Théorème 1.4 (Borne du second moment) : L'article établit une borne supérieure pour la contribution hors-diagonale :
  $$\sum_{n \in A(X)} (r^*(n)^2 - 2r^*(n)) \ll \frac{\#A(X)(\log \log X)^4}{\log X}$$
  L'auteur attribue explicitement la perte d'un facteur $(\log X)^2$ dans le terme d'erreur à l'impossibilité de rendre les arcs majeurs suffisamment fins, une limitation découlant de l'absence de bornes $L^\infty$ pour la transformée de Fourier de la fonction indicatrice des chiffres manquants.

• Théorème 1.6 (Cardinalité des entiers représentables) : En combinant le premier moment (Corollaire 1.3) et le second moment (Théorème 1.4) via les inégalités de Cauchy-Schwarz et de Markov, l'article dérive une borne inférieure non triviale pour le nombre d'entiers avec des chiffres manquants qui sont des sommes de deux carrés de nombres premiers :
  $$\frac{\#A(X)}{(\log X)^3 (\log \log X)^4} \ll \#\{n \in A(X) : r^*(n) > 0\} \ll \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

Signification et affirmations
L'article contribue au corpus croissant de problèmes de « chiffres manquants » en étendant le champ d'application des nombres premiers seuls (Maynard [14]) et de trois nombres premiers (Maier–Rassias [12], Leng–Sawhney [10]) aux problèmes additifs impliquant des carrés de nombres premiers.

L'auteur revendique la signification suivante :

1. Découverte de biais : La dérivation du facteur local $S(b, g)$ révèle un biais arithmétique spécifique dans la distribution de ces nombres selon le chiffre manquant et les facteurs premiers de la base.
2. Existence non triviale : Le Théorème 1.6 prouve qu'il existe une infinité d'entiers avec des chiffres manquants qui sont des sommes de deux carrés de nombres premiers, fournissant une borne inférieure qui, bien que non asymptotique, est nettement meilleure que les bornes triviales.
3. Synthèse méthodologique : Le travail démontre la viabilité de combiner la méthode du cercle avec des estimations de criblage pour traiter le second moment de fonctions de représentation sur des ensembles creux définis par des restrictions de chiffres.

L'article reste modeste quant à la précision de la borne inférieure dans le Théorème 1.6. L'auteur stipule explicitement que l'obtention de l'asymptotique attendue $\sim \frac{\pi}{2} S(b, g) \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$ est actuellement obstruée par la perte du facteur $(\log X)^2$ dans l'estimation du second moment, ce qui est une conséquence directe des limitations dans la compréhension des bornes $L^\infty$ de la transformée de Fourier de l'ensemble des chiffres manquants. Les résultats sont également notés comme s'étendant aux cas où plusieurs chiffres sont manquants, à condition que le nombre de chiffres manquants soit suffisamment petit par rapport à la base.