Missing digits and sums of two prime squares

技术摘要：缺失数字与两个素数平方之和

问题陈述
本文研究了解析数论中两个不同领域的交集：在基数 $g$ 展开中具有缺失数字的整数，以及可表示为两个素数平方之和的整数。具体而言，作者研究了集合 $A(X)$，其中 $X = g^k$，该集合包含在基数 $g$ 展开中省略了一个固定数字 $b$（$0 \le b < g$）的至多 $X$ 的整数。主要目标是确定 $A(X)$ 的子集中能够写成 $n = p^2 + q^2$（其中 $p, q$ 为素数）的元素的渐近行为和基数。

研究聚焦于两个主要量：

1. 加权表示计数，定义为对表示形式的冯·芒戈尔特函数（von Mangoldt function）求和：$r_2(n) = \sum_{a^2+b^2=n} \Lambda(a)\Lambda(b)$。
2. 非加权表示计数，定义为素数对的数量：$r^*(n) = \#\{(p, q) \in \mathbb{P}^2 : p^2 + q^2 = n\}$。

方法论
本文结合了哈代-李特尔伍德圆法（Hardy–Littlewood circle method）和筛法，并借鉴了此前用于缺失数字素数的研究（Maynard [14]）以及作者本人关于两个素数平方之和的研究（[17]）中的技术。

1. 用于加权和的圆法（定理 1.1）：
   针对 $r_2(n)$ 在缺失数字集上的平均值的证明采用了圆法。单位区间被划分为大弧（靠近小分母的有理数）和小弧。

   • 大弧： 分析涉及评估奇异级数（singular series），这需要理解解 $u^2 + v^2 \equiv a \pmod q$ 的局部密度，其中 $u, v$ 与模数互素。一项关键的新颖之处在于导出了一个取决于缺失数字 $b$ 和基数 $g$ 素因数分解的局部因子 $S(b, g)$。
   • 小弧： 作者利用了缺失数字指示函数的强傅里叶衰减性质（由 Maynard [14] 建立）结合素数的指数和估计（引理 2.4）来控制来自小弧的贡献。

2. 二阶矩与筛法（定理 1.4）：
   为了研究非加权函数 $r^*(n)$，本文分析了二阶矩 $\sum (r^*(n)^2 - 2r^*(n))$，该项统计了满足 $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$ 的非对角解。

   • 在 $\mathbb{Z}[i]$ 中的分解： 作者改编了 [17] 中的思想，通过在高斯整数中对方程 $p_1^2 + q_1^2 = p_2^2 + q_2^2$ 进行分解，即 $(a+ib)(c+id) = (a-ib)(c-id)$（在差一个单位的情况下）。这使得问题转化为统计线性形式在素数意义下的解。
   • 筛法与圆法的混合： 通过使用上界筛法（引理 2.11）放宽了素数条件，允许使用“粗”整数。随后使用圆法对该二阶矩和进行分析。至关重要的是，该二阶矩问题的大弧宽度比第一部分要薄得多（$\exp(O(\log X)^{1/2})$），这要求使用更精细的指数和估计（引理 2.10）来处理小弧。

核心结果

• 定理 1.1（加权平均）： 对于足够大的基数 $g$，加权表示之和满足：
  $$\sum_{n \in A(X)} r_2(n) = S(b, g) \cdot \frac{\pi}{4} \#A(X) + O_A\left(\frac{\#A(X)}{(\log X)^A}\right)$$
  其中局部因子 $S(b, g) = \frac{g}{g-1}\left(1 - \frac{\rho(b; g)}{\phi^2(g)}\right)$ 取决于缺失数字 $b$。论文指出了一种有趣的偏差：当 $b=0$ 且 $g$ 拥有一个满足 $p \equiv 3 \pmod 4$ 的素因子时，$S(b, g)$ 达到最大；而当 $b=0$ 且 $g$ 的所有素因子都满足 $\equiv 1 \pmod 4$ 时，$S(b, g)$ 达到最小。

• 推论 1.3： 利用定理 1.1 和部分求和法，本文确立了非加权和的一个下界：
  $$\sum_{n \in A(X)} r^*(n) \asymp \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

• 定理 1.4（二阶矩界限）： 本文确立了非对角项的上界：
  $$\sum_{n \in A(X)} (r^*(n)^2 - 2r^*(n)) \ll \frac{\#A(X)(\log \log X)^4}{\log X}$$
  作者明确将误差项中丢失的 $(\log X)^2$ 因子归因于无法将大弧取得足够薄，这是由于缺乏缺失数字指示函数傅里叶变换的 $L^\infty$ 界限所导致的限制。

• 定理 1.6（可表示整数的基数）： 通过结合第一项矩（推论 1.3）和第二项矩（定理 1.4），利用柯西-施瓦茨不等式和马尔可夫不等式，本文导出了缺失数字整数作为两个素数平方之和的可表示性的非平凡下界：
  $$\frac{\#A(X)}{(\log X)^3 (\log \log X)^4} \ll \#\{n \in A(X) : r^*(n) > 0\} \ll \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$$

意义与主张
本文通过将研究范围从单素数（Maynard [14]）和三素数（Maier–Rassias [12], Leng–Sawhney [10]）扩展到涉及素数平方的加法问题，为“缺失数字”问题的文献做出了贡献。

作者提出了以下意义主张：

1. 偏差发现： 对局部因子 $S(b, g)$ 的推导揭示了此类数字分布中取决于缺失数字及其基数素因子的特定算术偏差。
2. 非平凡存在性： 定理 1.6 证明了存在无穷多个具有缺失数字且为两个素数平方之和的整数，其提供的下界虽然不是渐近的，但显著优于平凡界限。
3. 方法论综合： 该工作展示了结合圆法与筛法估计来处理由数字限制定义的稀疏集上表示函数的二阶矩的可行性。

本文对于定理 1.6 中下界的锐度保持了谦逊的态度。作者明确指出，由于无法理解缺失数字集的傅里叶变换的 $L^\infty$ 界限，目前仍难以获得预期的渐近值 $\sim \frac{\pi}{2} S(b, g) \frac{\#A(X)}{(\log X)^2}$，这直接导致了在二阶矩估计中丢失了 $(\log X)^2$ 因子。同时指出，只要缺失的数字数量相对于基数足够小，这些结果也可推广到多个数字缺失的情况。