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Characterizing Path-Independent Fees: A Route to Zero Impermanent Loss in CPMMs

Dieser Beitrag charakterisiert die spezifischen Gebührenstrukturen, die zur Erreichung der Pfadunabhängigkeit bei Constant-Product-Market-Makern erforderlich sind, leitet die daraus resultierenden Pool-Dynamiken ab und zeigt, dass zwar für bestimmte Anfangszustände durch maßgeschneiderte Gebührenfunktionen ein impermanenter Verlust von null erreichbar ist, jedoch keine universelle Gebühr ihn über alle Szenarien hinweg eliminieren kann.

Ursprüngliche Autoren: Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

Veröffentlicht 2026-05-01

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich einen digitalen Marktplatz vor, auf dem Menschen Token ohne zentrale Autorität handeln. Dieser Marktplatz wird durch einen Smart Contract betrieben, der als Konstanter Produkt-Market-Maker (CPMM) bezeichnet wird. Betrachten Sie diesen Vertrag als eine riesige, sich selbst ausgleichende Wippe. Auf der einen Seite sitzt Token A, auf der anderen Token B. Die Regel der Wippe ist einfach: Das Produkt der beiden Seiten muss immer dieselbe Zahl bleiben. Wenn Sie mehr Token A hinzufügen, entfernt der Vertrag automatisch einige Token B, um das Gleichgewicht zu wahren.

Personen, die ihre Token in diese Wippe einbringen, werden als Liquiditätsanbieter (LPs) bezeichnet. Sie hoffen, durch Handelsgebühren Geld zu verdienen. Allerdings sind sie einem tückischen Risiko ausgesetzt, das als Impermanenter Verlust bekannt ist. Stellen Sie sich vor, der Preis von Token A schießt plötzlich in die Höhe. Die Wippe verschiebt sich automatisch, um Ihre Token A zu verkaufen und mehr Token B zu kaufen, um das Gleichgewicht zu halten. Wenn Sie Ihr Geld schließlich wieder herausnehmen, haben Sie weniger von dem teuren Token A und mehr von dem billigen Token B, als wenn Sie sie einfach in Ihrer Tasche behalten hätten. Dieser Unterschied ist Ihr „Verlust".

Dieses Papier behandelt zwei große Probleme damit, wie diese Marktplätze derzeit Gebühren und Risiken handhaben.

1. Das „Aufteilungs"-Problem (Pfadabhängigkeit)

Derzeit berechnet der Vertrag bei einem Handel eine kleine Gebühr (wie eine Maut). Normalerweise ist diese Gebühr ein fester Prozentsatz. Das Papier weist auf einen versteckten Mangel hin: Es kommt darauf an, wie Sie Ihren Handel aufteilen.

Die Analogie: Stellen Sie sich vor, Sie gehen über eine Brücke, die eine Maut erhebt. Wenn Sie in einem großen Schritt über die Brücke gehen, zahlen Sie eine Maut. Wenn Sie jedoch 100 winzige Schritte machen, könnte das aktuelle System Ihnen eine Maut für jeden einzelnen Schritt berechnen. Selbst wenn die Gesamtstrecke gleich ist, ändern sich die Endkosten (und Ihre Endposition) je nachdem, wie Sie die Reise aufgeteilt haben.
Die Lösung des Papiers: Die Autoren haben die exakte mathematische Regel für ein Gebührensystem ermittelt, bei dem es keine Rolle spielt, wie Sie den Handel aufteilen. Ob Sie in einem riesigen Haufen oder in einer Million winziger Krümel handeln, das Ergebnis ist exakt dasselbe. Sie nennen dies Pfadunabhängigkeit.
Die geheime Regel: Damit dies funktioniert, darf die Gebühr nicht einfach eine willkürliche Zahl sein. Sie muss streng an die „Größe" der Wippe (den Gesamtwert des Pools) gekoppelt sein. Wenn der Pool wächst, kann sich der Gebührensatz ändern, aber er muss sich auf sehr spezifische, vorhersagbare Weise ändern, die nur von dieser Gesamtgröße abhängt, nicht von der spezifischen Mischung der Token.

2. Der Traum vom „Null-Verlust"**

Die zweite Frage, die das Papier stellt, lautet: Können wir ein Gebührensystem entwerfen, das den impermanenten Verlust für die Geldgeber vollständig eliminiert?

Die gute Nachricht: Ja, aber mit einem Haken. Die Autoren haben eine spezielle „magische Gebühr"-Formel entwickelt. Wenn der Pool bei einer bestimmten Größe startet, passt sich diese Gebühr dynamisch an.
- Die Analogie: Betrachten Sie diese Gebühr als eine intelligente Versicherungspolice. Wenn sich der Markt leicht bewegt, ist die Gebühr winzig (fast kostenlos). Doch je weiter sich der Markt vom Startpunkt entfernt, desto höher wird die Gebühr. Dieses zusätzliche Geld, das von Händlern gesammelt wird, dient dazu, die Liquiditätsanbieter perfekt für ihre „Verluste" zu entschädigen.
- Das Ergebnis: Für einen Pool, der bei einem bestimmten Punkt startet, kann dieses System mathematisch garantieren, dass der Liquiditätsanbieter am Ende genau denselben Wert hat, als hätte er seine Token einfach in seiner Tasche behalten, egal wie stark die Preise schwanken.
Die schlechte Nachricht (Das „Kein kostenloses Mittagessen"-Theorem): Das Papier beweist, dass es keine universelle magische Gebühr geben kann, die für jeden Startpunkt gleichzeitig funktioniert.
- Die Analogie: Sie können ein Paar Schuhe entwerfen, das perfekt auf den Fuß einer Person passt. Aber Sie können nicht ein einziges Paar Schuhe entwerfen, das jedem menschlichen Fuß gleichzeitig perfekt passt.
- Die Schlussfolgerung: Wenn Sie einen Verlust von Null wollen, muss das Gebührensystem „zustandsbewusst" sein. Es muss genau wissen, wo der Pool gestartet ist. Wenn der Pool zu weit von diesem Startpunkt abweicht, bricht die „Null-Verlust"-Garantie zusammen, und Sie müssen das System zurücksetzen oder einen gewissen Verlust akzeptieren.

Warum ist das wichtig?

Das Papier liefert einen Bauplan für den Aufbau besserer digitaler Marktplätze:

Vorhersehbarkeit: Durch die Verwendung von „pfadunabhängigen" Gebühren können Entwickler sicherstellen, dass das Ergebnis eines Handels unabhängig davon gleich ist, wie komplex die Transaktion ist. Dies macht das System sicherer und erleichtert den Aufbau weiterer Anwendungen darauf (ein Konzept, das als „Komponierbarkeit" bezeichnet wird).
Fairness: Das Design des „Null-Impermanenten-Verlusts" bietet einen Weg, Anleger zu schützen, erfordert jedoch eine dynamische Gebühr, die mit den Marktbewegungen intelligenter wird.
Realitätscheck: Es beweist, dass wir zwar Anleger in bestimmten Szenarien schützen können, aber kein einzelnes, perfektes Gebührensystem schaffen können, das gleichzeitig für jede mögliche Marktbedingung funktioniert.

Kurz gesagt haben die Autoren die mathematischen Regeln für ein faireres, vorhersehbareres Handelssystem kartiert und uns genau gezeigt, wie Gebühren zu erheben sind, damit die Mathematik für alle Beteiligten perfekt aufgeht – vorausgesetzt, wir akzeptieren, dass sich die Regeln an die jeweilige Situation anpassen müssen.

1. Problemstellung

Das Papier adressiert zwei kritische Probleme bei Constant Product Market Makers (CPMMs) wie Uniswap V2:

Pfadabhängigkeit: Bei Standard-CPMMs mit Fee-Reinvestition hängt der Endzustand des Pools (Reserven und Invariante $k=xy$) nach einem Trade davon ab, wie der Trade fragmentiert (in kleinere Transaktionen aufgeteilt) wird. Dies erschwert die Risikobewertung für Liquiditätsanbieter (LPs), schafft Arbitragemöglichkeiten für strategische Fragmentierung und untergräbt die Komposabilitätsgarantien in DeFi.
Impermanenter Verlust (IL): LPs erleiden Verluste, wenn sich die Tokenpreise vom anfänglichen Einzahlungsverhältnis entfernen. Zwar kompensieren Fees diesen Verlust teilweise, doch Standard-Fee-Modelle mit festen Sätzen gleichen den IL nicht perfekt aus, und der Zusammenhang zwischen Fee-Struktur und IL ist nicht vollständig charakterisiert.

Die Autoren fragen: Welche funktionale Form von Fees garantiert Pfadunabhängigkeit, und kann innerhalb dieser Klasse eine Fee-Struktur entworfen werden, die den Impermanenten Verlust eliminiert?

2. Methodik

Die Autoren wenden einen rigorosen mathematischen Ansatz an, der Folgendes kombiniert:

Differentialgeometrie & Analysis: Modellierung der Pool-Dynamik als System gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs), wobei die Trade-Größe die unabhängige Variable ist.
Integrabilitätsbedingungen: Analyse der Exaktheit von Differentialformen, um notwendige und hinreichende Bedingungen für Pfadunabhängigkeit abzuleiten.
Parametrische Konstruktion: Herleitung spezifischer Fee-Funktionen, die die Null-IL-Bedingung für einen gegebenen Anfangszustand erfüllen.
Numerische Simulation: Validierung der theoretischen Herleitungen durch kontrollierte Experimente, die pfadunabhängige Designs mit Standard-Implementierungen von Uniswap V2 vergleichen.

3. Hauptbeiträge und Ergebnisse

A. Charakterisierung pfadunabhängiger Fees (Theorem 1)

Das Papier beweist, dass eine Fee-Struktur genau dann pfadunabhängig ist, wenn und nur wenn der kombinierte Fee-Faktor $\alpha = 1 - \gamma_1\gamma_2$ (wobei $\gamma_1, \gamma_2$ die Input-/Output-Fee-Anteile sind) ausschließlich von der aktuellen Pool-Invariante $k = xy$ abhängt.

Mathematische Form: $\alpha(x, y) = \Phi(xy) = \Phi(k)$ .
Implikation: Der Fee-Satz muss entlang der Hyperbeln der Invariantenkurve konstant sein. Wenn der Fee vom Preisverhältnis ( $y/x$ ) oder von einzelnen Reserven abhängt, wird das Ergebnis pfadabhängig.
Flexibilität: Protokoll-Designer können den Aufteilungsspielraum zwischen Input- und Output-Fees ( $\gamma_1$ vs. $\gamma_2$ ) weiterhin variieren, solange ihr Produkt die Bedingung erfüllt.

B. Geschlossene Austauschformel (Theorem 2)

Für jede pfadunabhängige Fee-Funktion $\Phi(k)$ leiten die Autoren ein System von ODEs ab, das die Pool-Dynamik steuert. Sie lösen dieses, um eine geschlossene Integralformel zu erhalten:
$G(k_f) - G(k_0) = \ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x_0}\right)$
Wobei $G(k) = \int \frac{dk}{\Phi(k)k}$ .

Bedeutung: Dies ermöglicht es Protokoll-Designern, den Endzustand des Pools und das Wachstum der Invariante zu berechnen, ohne jeden Mikroschritt eines Trades zu simulieren, sofern die Fee-Funktion bekannt ist.

C. Konstruktion eines Null-Impermanent-Loss (Theorem 3)

Die Autoren konstruieren eine parametrische Familie von Fee-Funktionen, $\Phi_{k_0}(k)$ , die darauf ausgelegt ist, einen absoluten impermanenten Verlust von null für einen spezifischen Anfangsinvarianten-Zustand $k_0$ zu erreichen.

Mechanismus: Der Fee ist im Referenzzustand ( $k=k_0$ ) null und steigt monoton an, sobald die Invariante $k$ von $k_0$ abweicht.
Ergebnis: Die kumulierten Fee-Einnahmen gleichen den Verlust aus der Rebalancierung für jede Trade-Größe $\Delta x$ , die von $k_0$ ausgeht, exakt aus.
Verhalten: Für kleine Abweichungen gilt $\Phi_{k_0}(k) \approx 2\sqrt{k/k_0 - 1}$ .

D. Unmöglichkeit universeller Null-IL-Fees (Theorem 4)

Das Papier beweist ein negatives Ergebnis: Keine einzelne Fee-Funktion $\Phi(k)$ kann den Impermanenten Verlust für alle möglichen Anfangszustände $k_0$ gleichzeitig eliminieren.

Begründung: Der Fee, der erforderlich ist, um den IL für einen spezifischen $k_0$ auf null zu setzen, ist eine streng monoton fallende Funktion von $k_0$ . Daher wird eine Fee-Funktion, die für einen Anfangszustand funktioniert, für einen anderen versagen.
Fazit: Null-IL-Mechanismen müssen zustandsbewusst sein (bei Hinzufügung oder Entnahme von Liquidität neu berechnet) oder einen spezifischen Referenzbereich anvisieren.

4. Experimentelle Validierung

Die Autoren validierten ihre Theorie durch numerische Experimente:

Pfadunabhängigkeit: Simulationen zeigten, dass pfadunabhängige Designs ( $\Phi(k)$ ) eine Maschinengenauigkeit ( $\epsilon \approx 10^{-16}$ ) unabhängig von der Trade-Fragmentierung ( $N$ ) erreichen. Im Gegensatz dazu wies Standard-Uniswap V2 (diskrete Fee-Zusammensetzung) kleine Fehler ( $\sim 10^{-5}$ ) auf, die mit der Fragmentierung skalierten, was die theoretische Notwendigkeit der kontinuierlichen Integralformulierung bestätigt.
Null-IL-Leistung: Die zustandsbewusste Fee-Funktion hielt den IL für Trades, die von $k_0$ ausgingen, erfolgreich bei null. Allerdings verlangt sie für große Abweichungen deutlich höhere Fees als eine konstante Fee von 0,3 %, was effektiv die Kosten für Trader gegen den Schutz für LPs abwägt.
Slippage: Null-IL-Fees induzieren bei großen Trades einen leicht höheren Slippage, was die notwendige Kostenkomponente ist, um LPs vollständig zu kompensieren.

5. Bedeutung und Implikationen

Komposabilität: Durch die Sicherstellung von Pfadunabhängigkeit stellen diese Fee-Strukturen deterministische Ergebnisse für Smart Contracts wieder her, die mit dem Pool interagieren – eine entscheidende Voraussetzung für komplexe DeFi-Komposabilität.
Risikomodellierung: LPs können Erträge nun auf Basis des aggregierten Volumens modellieren, ohne sich um Strategien zur Trade-Fragmentierung sorgen zu müssen.
Protokoll-Design: Das Papier liefert einen Bauplan für „Null-IL"-Pools. Obwohl eine universelle Lösung unmöglich ist, können Protokolle zustandsbewusste Fees implementieren (z. B. über Uniswap V4 Hooks), um spezifische Liquiditätsbereiche anzusteuern und LPs innerhalb dieser Bereiche einen perfekten Schutz zu bieten.
Zielkonflikte: Die Arbeit hebt einen fundamentalen Zielkonflikt hervor: Die Eliminierung von IL erfordert dynamische, zustandsabhängige Fees, die für größere Trades mehr verlangen, was potenziell die Liquiditätstiefe für große Trader verringert.

Zusammenfassend liefert dieses Papier die erste rigorose mathematische Charakterisierung pfadunabhängiger Fees in CPMMs und zeigt, dass zwar ein universeller Null-IL unmöglich ist, ein zustandsspezifischer Null-IL jedoch durch sorgfältig entworfene, adaptive Fee-Funktionen erreichbar ist.