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Characterizing Path-Independent Fees: A Route to Zero Impermanent Loss in CPMMs

Este trabajo caracteriza las estructuras de tarifas específicas requeridas para lograr la independencia de la trayectoria en los Creadores de Mercado de Producto Constante, deriva la dinámica resultante de los pools y demuestra que, aunque la pérdida impermanente nula es alcanzable para estados iniciales específicos mediante funciones de tarifas adaptadas, ninguna tarifa universal puede eliminarla en todos los escenarios.

Autores originales: Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

Publicado 2026-05-01

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CC BY 4.0

Autores originales: Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina un mercado digital donde las personas intercambian tokens sin un jefe central. Este mercado es gestionado por un contrato inteligente llamado Hacedor de Mercado de Producto Constante (CPMM). Imagina este contrato como un gigantesco balancín autoequilibrado. En un lado se sienta el Token A, y en el otro, el Token B. La regla del balancín es simple: el producto de ambos lados debe mantener siempre el mismo número. Si añades más Token A, el contrato elimina automáticamente algo de Token B para mantener el equilibrio.

Las personas que depositan sus tokens en este balancín se llaman Proveedores de Liquidez (LP). Esperan ganar dinero con las tarifas de transacción. Sin embargo, enfrentan un riesgo complicado llamado Pérdida Impermanente. Imagina que el precio del Token A se dispara repentinamente. El balancín se ajusta automáticamente para vender tu Token A y comprar más Token B para mantener el equilibrio. Cuando finalmente retiras tu dinero, tienes menos del costoso Token A y más del barato Token B de lo que tendrías si simplemente los hubieras guardado en tu bolsillo. Esa diferencia es tu "pérdida".

Este artículo aborda dos grandes problemas sobre cómo estos mercados gestionan actualmente las tarifas y los riesgos.

1. El Problema de la "División" (Dependencia de la Ruta)

Actualmente, cuando realizas una transacción, el contrato cobra una pequeña tarifa (como un peaje). Por lo general, esta tarifa es un porcentaje fijo. El artículo señala un defecto oculto: importa cómo divides tu transacción.

La Analogía: Imagina que cruzas un puente que cobra un peaje. Si cruzas en un solo paso grande, pagas un peaje. Pero si das 100 pasos diminutos, el sistema actual podría cobrarte un peaje por cada paso individual. Incluso si la distancia total es la misma, el costo final (y tu posición final) cambia dependiendo de cómo hayas dividido el viaje.
La Solución del Artículo: Los autores descubrieron la regla matemática exacta para un sistema de tarifas donde no importa cómo divides la transacción. Ya sea que operes en un solo bloque gigante o en un millón de migajas diminutas, el resultado es exactamente el mismo. Ellos llaman a esto Independencia de la Ruta.
La Regla Secreta: Para que esto funcione, la tarifa no puede ser simplemente un número aleatorio. Debe estar estrictamente vinculada al "tamaño" del balancín (el valor total del pool). Si el pool crece, la tasa de tarifa puede cambiar, pero debe hacerlo de una manera muy específica y predecible basada solo en ese tamaño total, no en la mezcla específica de tokens.

2. El Sueño de la "Pérdida Cero"

La segunda pregunta que plantea el artículo es: ¿Podemos diseñar un sistema de tarifas que elimine completamente la Pérdida Impermanente para las personas que aportan el dinero?

Las Buenas Noticias: Sí, pero con una trampa. Los autores crearon una fórmula especial de "tarifa mágica". Si el pool comienza en un tamaño específico, esta tarifa se ajusta dinámicamente.
- La Analogía: Imagina esta tarifa como una póliza de seguro inteligente. Si el mercado se mueve ligeramente, la tarifa es minúscula (casi gratis). Pero a medida que el mercado se aleja más del punto de partida, la tarifa aumenta cada vez más. Este dinero extra recolectado de los comerciantes se utiliza para pagar perfectamente a los Proveedores de Liquidez por sus "pérdidas".
- El Resultado: Para un pool que comienza en un punto específico, este sistema puede garantizar matemáticamente que el Proveedor de Liquidez termine con exactamente el mismo valor que si hubiera guardado sus tokens en su bolsillo, sin importar cuánto oscile el precio.
Las Malas Noticias (El Teorema de "No Hay Almuerzo Gratis"): El artículo demuestra que no puedes tener una tarifa mágica universal que funcione para cada punto de partida al mismo tiempo.
- La Analogía: Puedes diseñar un par de zapatos que se ajusten perfectamente al pie de una persona. Pero no puedes diseñar un solo par de zapatos que se ajuste perfectamente al pie de cada ser humano al mismo tiempo.
- La Conclusión: Si quieres pérdida cero, el sistema de tarifas debe ser "consciente del estado". Necesita saber exactamente dónde comenzó el pool. Si el pool se desvía demasiado de ese punto de partida, la garantía de "pérdida cero" se rompe y debes reiniciar el sistema o aceptar alguna pérdida.

¿Por Qué Importa Esto?

El artículo proporciona un plano para construir mejores mercados digitales:

Previsibilidad: Al usar tarifas "Independientes de la Ruta", los desarrolladores pueden asegurar que el resultado de una transacción sea el mismo sin importar cuán compleja sea la operación. Esto hace que el sistema sea más seguro y más fácil de construir otras aplicaciones encima (un concepto llamado "componibilidad").
Justicia: El diseño de "Pérdida Impermanente Cero" ofrece una forma de proteger a los inversores, pero requiere una tarifa dinámica que se vuelva más inteligente a medida que el mercado se mueve.
Realidad: Demuestra que, aunque podemos proteger a los inversores en escenarios específicos, no podemos crear un único sistema de tarifas perfecto que funcione para todas las condiciones de mercado posibles simultáneamente.

En resumen, los autores han trazado las reglas matemáticas para un sistema de comercio más justo y predecible, mostrándonos exactamente cómo cobrar tarifas para que las matemáticas funcionen perfectamente para todos los involucrados, siempre y cuando aceptemos que las reglas deben adaptarse a la situación específica.

A continuación se presenta un resumen técnico detallado del artículo "Caracterización de comisiones independientes de la ruta: Un camino hacia la pérdida impermanente cero en CPMMs".

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda dos problemas críticos en los Creadores de Mercado de Producto Constante (CPMM) como Uniswap V2:

Dependencia de la Ruta: En los CPMM estándar con reinversión de comisiones, el estado final del pool (reservas e invariante $k=xy$) después de una operación depende de cómo se fragmenta la operación (dividida en transacciones más pequeñas). Esto complica la evaluación de riesgos para los Proveedores de Liquidez (LP), crea oportunidades de arbitraje para la fragmentación estratégica y socava las garantías de composabilidad en DeFi.
Pérdida Impermanente (IL): Los LP enfrentan pérdidas cuando los precios de los tokens se desvían de la relación de depósito inicial. Aunque las comisiones compensan esto, los modelos de comisiones fijas estándar no compensan perfectamente la IL, y la relación entre la estructura de comisiones y la IL no está completamente caracterizada.

Los autores preguntan: ¿Qué forma funcional de comisiones garantiza la independencia de la ruta y, dentro de esa clase, podemos diseñar comisiones que eliminen la Pérdida Impermanente?

2. Metodología

Los autores emplean un enfoque matemático riguroso que combina:

Geometría Diferencial y Cálculo: Modelar la dinámica del pool como un sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) donde el tamaño de la operación es la variable independiente.
Condiciones de Integrabilidad: Analizar la exactitud de las formas diferenciales para derivar condiciones necesarias y suficientes para la independencia de la ruta.
Construcción Paramétrica: Derivar funciones de comisiones específicas que satisfagan la condición de IL cero para un estado inicial dado.
Simulación Numérica: Validar las derivaciones teóricas mediante experimentos controlados que comparan diseños independientes de la ruta frente a implementaciones estándar de Uniswap V2.

3. Contribuciones y Resultados Clave

A. Caracterización de Comisiones Independientes de la Ruta (Teorema 1)

El artículo demuestra que una estructura de comisiones es independiente de la ruta si y solo si el factor de comisión combinado $\alpha = 1 - \gamma_1\gamma_2$ (donde $\gamma_1, \gamma_2$ son las fracciones de comisión de entrada/salida) depende exclusivamente de la invariante actual del pool $k = xy$.

Forma Matemática: $\alpha(x, y) = \Phi(xy) = \Phi(k)$ .
Implicación: La tasa de comisión debe ser constante a lo largo de las hipérbolas de la curva invariante. Si la comisión depende de la relación de precios ( $y/x$ ) o de las reservas individuales, el resultado se vuelve dependiente de la ruta.
Flexibilidad: Los diseñadores de protocolos aún pueden variar la división entre comisiones de entrada y salida ( $\gamma_1$ vs $\gamma_2$ ) siempre que su producto satisfaga la condición.

B. Fórmula de Intercambio en Forma Cerrada (Teorema 2)

Para cualquier función de comisión independiente de la ruta $\Phi(k)$ , los autores derivan un sistema de EDO que gobierna la dinámica del pool. Resuelven esto para obtener una fórmula integral en forma cerrada:
$G(k_f) - G(k_0) = \ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x_0}\right)$
Donde $G(k) = \int \frac{dk}{\Phi(k)k}$ .

Significado: Esto permite a los diseñadores de protocolos calcular el estado final del pool y el crecimiento de la invariante sin simular cada micro-paso de una operación, siempre que se conozca la función de comisión.

C. Construcción de Pérdida Impermanente Cero (Teorema 3)

Los autores construyen una familia paramétrica de funciones de comisión, $\Phi_{k_0}(k)$ , diseñada para lograr pérdida impermanente absoluta cero para un estado invariante inicial específico $k_0$ .

Mecanismo: La comisión es cero en el estado de referencia ( $k=k_0$ ) y aumenta monótonamente a medida que la invariante $k$ se desvía de $k_0$ .
Resultado: Los ingresos acumulados por comisiones compensan exactamente la pérdida por reequilibrio para cualquier tamaño de operación $\Delta x$ que comience desde $k_0$ .
Comportamiento: Para desviaciones pequeñas, $\Phi_{k_0}(k) \approx 2\sqrt{k/k_0 - 1}$ .

D. Imposibilidad de Comisiones Universales de IL Cero (Teorema 4)

El artículo demuestra un resultado negativo: Ninguna función de comisión única $\Phi(k)$ puede eliminar la Pérdida Impermanente para todos los estados iniciales posibles $k_0$ simultáneamente.

Razonamiento: La comisión requerida para anular la IL para un $k_0$ específico es una función estrictamente decreciente de $k_0$ . Por lo tanto, una función de comisión que funciona para un estado inicial fallará para otro.
Conclusión: Los mecanismos de IL cero deben ser conscientes del estado (recalculados cuando se añade o retira liquidez) o apuntar a un rango de referencia específico.

4. Validación Experimental

Los autores validaron su teoría mediante experimentos numéricos:

Independencia de la Ruta: Las simulaciones mostraron que los diseños independientes de la ruta ( $\Phi(k)$ ) alcanzan precisión de máquina ( $\epsilon \approx 10^{-16}$ ) independientemente de la fragmentación de la operación ( $N$ ). En contraste, Uniswap V2 estándar (composición de comisiones discreta) mostró pequeños errores ( $\sim 10^{-5}$ ) que escalaban con la fragmentación, confirmando la necesidad teórica de la formulación integral continua.
Rendimiento de IL Cero: La función de comisión consciente del estado mantuvo exitosamente la IL cero para operaciones que se originaban en $k_0$ . Sin embargo, cobra comisiones significativamente más altas para grandes desviaciones en comparación con una comisión constante del 0.3%, intercambiando efectivamente los costos del trader por la protección del LP.
Deslizamiento (Slippage): Las comisiones de IL cero inducen un deslizamiento ligeramente mayor para operaciones grandes, que es el costo necesario para compensar completamente a los LP.

5. Significado e Implicaciones

Composabilidad: Al garantizar la independencia de la ruta, estas estructuras de comisiones restauran resultados deterministas para los contratos inteligentes que interactúan con el pool, un requisito crucial para la composabilidad compleja de DeFi.
Modelado de Riesgos: Los LP ahora pueden modelar los rendimientos basados en el volumen agregado en lugar de preocuparse por las estrategias de fragmentación de operaciones.
Diseño de Protocolos: El artículo proporciona un plano para pools de "IL Cero". Aunque una solución universal es imposible, los protocolos pueden implementar comisiones conscientes del estado (por ejemplo, mediante ganchos de Uniswap V4) para apuntar a rangos de liquidez específicos, ofreciendo a los LP protección perfecta dentro de esos rangos.
Compensaciones: El trabajo destaca una compensación fundamental: eliminar la IL requiere comisiones dinámicas dependientes del estado que cobran más por operaciones más grandes, lo que potencialmente reduce la profundidad de liquidez para los grandes traders.

En resumen, este artículo proporciona la primera caracterización matemática rigurosa de las comisiones independientes de la ruta en CPMMs y demuestra que, aunque la IL cero universal es imposible, la IL cero específica del estado es alcanzable mediante funciones de comisiones adaptativas cuidadosamente diseñadas.