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Characterizing Path-Independent Fees: A Route to Zero Impermanent Loss in CPMMs

Cet article caractérise les structures de frais spécifiques requises pour atteindre l'indépendance du chemin dans les Constant Product Market Makers, dérive la dynamique résultante des pools et démontre que, bien qu'une perte impermanente nulle soit atteignable pour certains états initiaux grâce à des fonctions de frais sur mesure, aucun frais universel ne peut l'éliminer dans tous les scénarios.

Auteurs originaux : Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

Publié 2026-05-01

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez un marché numérique où les gens échangent des jetons sans chef central. Ce marché est géré par un contrat intelligent appelé Constant Product Market Maker (CPMM). Considérez ce contrat comme une immense balançoire auto-équilibrante. D'un côté se trouve le Jeton A, et de l'autre le Jeton B. La règle de la balançoire est simple : le produit des deux côtés doit toujours rester le même nombre. Si vous ajoutez plus de Jeton A, le contrat retire automatiquement une certaine quantité de Jeton B pour maintenir l'équilibre.

Les personnes qui déposent leurs jetons dans cette balançoire sont appelées Fournisseurs de Liquidité (LP). Ils espèrent gagner de l'argent grâce aux frais de transaction. Cependant, ils font face à un risque délicat appelé Perte Impermanente. Imaginez que le prix du Jeton A s'envole soudainement. La balançoire s'ajuste automatiquement pour vendre votre Jeton A et acheter plus de Jeton B afin de maintenir l'équilibre. Lorsque vous retirez finalement vos fonds, vous possédez moins de Jeton A (devenu cher) et plus de Jeton B (devenu bon marché) que si vous les aviez simplement gardés dans votre poche. Cette différence constitue votre « perte ».

Ce document aborde deux grands problèmes liés à la manière dont ces marchés gèrent actuellement les frais et les risques.

1. Le problème de la « Division » (Dépendance au chemin)

Actuellement, lorsque vous effectuez un échange, le contrat prélève un petit frais (comme un péage). Habituellement, ce frais est un pourcentage fixe. Le document souligne un défaut caché : la manière dont vous divisez votre échange a de l'importance.

L'analogie : Imaginez que vous traversez un pont qui facture un péage. Si vous traversez d'un seul grand pas, vous payez un seul péage. Mais si vous faites 100 tout petits pas, le système actuel pourrait vous facturer un péage pour chaque pas individuel. Même si la distance totale est la même, le coût final (et votre position finale) change selon la manière dont vous avez découpé le trajet.
La solution du document : Les auteurs ont déterminé la règle mathématique exacte pour un système de frais où la manière dont vous divisez l'échange n'a pas d'importance. Que vous échangiez en un seul gros bloc ou en un million de miettes minuscules, le résultat est exactement le même. Ils appellent cela l'Indépendance du chemin.
La règle secrète : Pour que cela fonctionne, le frais ne peut pas être un nombre aléatoire. Il doit être strictement lié à la « taille » de la balançoire (la valeur totale du pool). Si le pool grandit, le taux de frais peut changer, mais il doit varier d'une manière très spécifique et prévisible basée uniquement sur cette taille totale, et non sur le mélange spécifique des jetons.

2. Le rêve de la « Perte Zéro »

La deuxième question que pose le document est la suivante : Pouvons-nous concevoir un système de frais qui élimine complètement la Perte Impermanente pour les personnes fournissant l'argent ?

Les bonnes nouvelles : Oui, mais avec une condition. Les auteurs ont créé une formule de « frais magique » spéciale. Si le pool commence à une taille spécifique, ce frais s'ajuste dynamiquement.
- L'analogie : Considérez ce frais comme une assurance intelligente. Si le marché bouge légèrement, le frais est minime (presque gratuit). Mais à mesure que le marché s'éloigne davantage du point de départ, le frais augmente de plus en plus. Cet argent supplémentaire collecté auprès des traders est utilisé pour rembourser parfaitement les Fournisseurs de Liquidité pour leurs « pertes ».
- Le résultat : Pour un pool démarrant à un point spécifique, ce système peut garantir mathématiquement que le Fournisseur de Liquidité se retrouve avec exactement la même valeur que s'il avait simplement gardé ses jetons dans sa poche, peu importe l'ampleur des fluctuations de prix.
Les mauvaises nouvelles (Le théorème du « Pas de déjeuner gratuit ») : Le document prouve qu'il est impossible d'avoir un frais magique universel qui fonctionne pour chaque point de départ en même temps.
- L'analogie : Vous pouvez concevoir une paire de chaussures qui s'adapte parfaitement au pied d'une seule personne. Mais vous ne pouvez pas concevoir une seule paire de chaussures qui s'adapte parfaitement au pied de chaque humain en même temps.
- La conclusion : Si vous voulez une perte nulle, le système de frais doit être « conscient de l'état ». Il doit connaître exactement où le pool a commencé. Si le pool s'éloigne trop de ce point de départ, la garantie de « perte nulle » se brise, et vous devez réinitialiser le système ou accepter une certaine perte.

Pourquoi cela importe-t-il ?

Le document fournit un plan pour construire de meilleurs marchés numériques :

Prévisibilité : En utilisant des frais « Indépendants du chemin », les développeurs peuvent s'assurer que le résultat d'un échange est le même, quelle que soit la complexité de la transaction. Cela rend le système plus sûr et plus facile à utiliser pour construire d'autres applications par-dessus (un concept appelé « compositionnalité »).
Équité : La conception « Perte Impermanente Zéro » offre un moyen de protéger les investisseurs, mais elle nécessite un frais dynamique qui devient plus intelligent à mesure que le marché évolue.
Réalité : Il prouve que bien que nous puissions protéger les investisseurs dans des scénarios spécifiques, nous ne pouvons pas créer un système de frais unique et parfait qui fonctionne pour toutes les conditions de marché possibles simultanément.

En bref, les auteurs ont cartographié les règles mathématiques d'un système d'échange plus équitable et plus prévisible, nous montrant exactement comment facturer des frais pour que les mathématiques fonctionnent parfaitement pour tous les participants — à condition d'accepter que les règles doivent s'adapter à la situation spécifique.

1. Énoncé du problème

L'article aborde deux problèmes critiques dans les Constant Product Market Makers (CPMM) comme Uniswap V2 :

Dépendance au chemin : Dans les CPMM standards avec réinvestissement des frais, l'état final du pool (réserves et invariant $k=xy$) après un échange dépend de la manière dont l'échange est fragmenté (divisé en transactions plus petites). Cela complique l'évaluation des risques pour les fournisseurs de liquidité (LP), crée des opportunités d'arbitrage pour une fragmentation stratégique et compromet les garanties de compositionnalité dans la DeFi.
Perte impermanente (IL) : Les LP subissent des pertes lorsque les prix des tokens divergent du ratio de dépôt initial. Bien que les frais compensent cela, les modèles de frais fixes standards ne compensent pas parfaitement l'IL, et la relation entre la structure des frais et l'IL n'est pas entièrement caractérisée.

Les auteurs demandent : Quelle forme fonctionnelle des frais garantit l'indépendance du chemin, et au sein de cette classe, pouvons-nous concevoir des frais qui éliminent la perte impermanente ?

2. Méthodologie

Les auteurs emploient une approche mathématique rigoureuse combinant :

Géométrie différentielle et calcul : Modélisation de la dynamique du pool comme un système d'équations différentielles ordinaires (EDO) où la taille de l'échange est la variable indépendante.
Conditions d'intégrabilité : Analyse de l'exactitude des formes différentielles pour déduire les conditions nécessaires et suffisantes d'indépendance du chemin.
Construction paramétrique : Déduction de fonctions de frais spécifiques satisfaisant la condition d'IL nulle pour un état initial donné.
Simulation numérique : Validation des déductions théoriques par des expériences contrôlées comparant les conceptions indépendantes du chemin aux implémentations standards d'Uniswap V2.

3. Contributions et résultats clés

A. Caractérisation des frais indépendants du chemin (Théorème 1)

L'article démontre qu'une structure de frais est indépendante du chemin si et seulement si le facteur de frais combiné $\alpha = 1 - \gamma_1\gamma_2$ (où $\gamma_1, \gamma_2$ sont les fractions de frais d'entrée/sortie) dépend uniquement de l'invariant de pool actuel $k = xy$.

Forme mathématique : $\alpha(x, y) = \Phi(xy) = \Phi(k)$ .
Implication : Le taux de frais doit être constant le long des hyperboles de la courbe de l'invariant. Si les frais dépendent du ratio de prix ( $y/x$ ) ou des réserves individuelles, le résultat devient dépendant du chemin.
Flexibilité : Les concepteurs de protocoles peuvent toujours varier la répartition entre les frais d'entrée et de sortie ( $\gamma_1$ vs $\gamma_2$ ) tant que leur produit satisfait la condition.

B. Formule d'échange sous forme close (Théorème 2)

Pour toute fonction de frais indépendante du chemin $\Phi(k)$ , les auteurs dérivent un système d'EDO gouvernant la dynamique du pool. Ils résolvent ce système pour obtenir une formule intégrale sous forme close :
$G(k_f) - G(k_0) = \ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x_0}\right)$
Où $G(k) = \int \frac{dk}{\Phi(k)k}$ .

Signification : Cela permet aux concepteurs de protocoles de calculer l'état final du pool et la croissance de l'invariant sans simuler chaque micro-étape d'un échange, à condition que la fonction de frais soit connue.

C. Construction d'une perte impermanente nulle (Théorème 3)

Les auteurs construisent une famille paramétrique de fonctions de frais, $\Phi_{k_0}(k)$ , conçue pour atteindre une perte impermanente absolue nulle pour un état d'invariant initial spécifique $k_0$ .

Mécanisme : Les frais sont nuls à l'état de référence ( $k=k_0$ ) et augmentent de manière monotone à mesure que l'invariant $k$ s'écarte de $k_0$ .
Résultat : Les revenus de frais accumulés compensent exactement la perte de rééquilibrage pour toute taille d'échange $\Delta x$ partant de $k_0$ .
Comportement : Pour de petites déviations, $\Phi_{k_0}(k) \approx 2\sqrt{k/k_0 - 1}$ .

D. Impossibilité de frais universels à IL nulle (Théorème 4)

L'article démontre un résultat négatif : Aucune fonction de frais unique $\Phi(k)$ ne peut éliminer la perte impermanente pour tous les états initiaux possibles $k_0$ simultanément.

Raisonnement : Le frais requis pour annuler l'IL pour un $k_0$ spécifique est une fonction strictement décroissante de $k_0. Par conséquent, une fonction de frais qui fonctionne pour un état initial donné échouera pour un autre.
Conclusion : Les mécanismes à IL nulle doivent être conscients de l'état (recalculés lorsque la liquidité est ajoutée/supprimée) ou cibler une plage de référence spécifique.

4. Validation expérimentale

Les auteurs ont validé leur théorie par des expériences numériques :

Indépendance du chemin : Les simulations ont montré que les conceptions indépendantes du chemin ( $\Phi(k)$ ) atteignent une précision machine ( $\epsilon \approx 10^{-16}$ ) quelle que soit la fragmentation de l'échange ( $N$ ). En revanche, Uniswap V2 standard (compounding de frais discret) présentait de petites erreurs ( $\sim 10^{-5}$ ) qui s'aggravaient avec la fragmentation, confirmant la nécessité théorique de la formulation intégrale continue.
Performance à IL nulle : La fonction de frais consciente de l'état a maintenu avec succès une IL nulle pour les échanges originaires de $k_0$ . Cependant, elle facture des frais significativement plus élevés pour les grandes déviations par rapport à un frais constant de 0,3 %, échangeant efficacement les coûts des traders contre la protection des LP.
Glissement (Slippage) : Les frais à IL nulle induisent un glissement légèrement plus élevé pour les gros échanges, ce qui est le coût nécessaire pour compenser pleinement les LP.

5. Importance et implications

Compositionnalité : En assurant l'indépendance du chemin, ces structures de frais rétablissent des résultats déterministes pour les contrats intelligents interagissant avec le pool, une exigence cruciale pour la compositionnalité complexe de la DeFi.
Modélisation des risques : Les LP peuvent désormais modéliser les rendements basés sur le volume agrégé plutôt que de s'inquiéter des stratégies de fragmentation des échanges.
Conception de protocoles : L'article fournit un plan pour des pools "à IL nulle". Bien qu'une solution universelle soit impossible, les protocoles peuvent mettre en œuvre des frais conscients de l'état (par exemple, via des hooks Uniswap V4) pour cibler des plages de liquidité spécifiques, offrant aux LP une protection parfaite au sein de ces plages.
Compromis : Le travail met en évidence un compromis fondamental : éliminer l'IL nécessite des frais dynamiques dépendants de l'état qui facturent plus pour les échanges plus importants, réduisant potentiellement la profondeur de liquidité pour les gros traders.

En résumé, cet article fournit la première caractérisation mathématique rigoureuse des frais indépendants du chemin dans les CPMM et démontre que si l'IL nulle universelle est impossible, l'IL nulle spécifique à l'état est réalisable grâce à des fonctions de frais adaptatives soigneusement conçues.