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Characterizing Path-Independent Fees: A Route to Zero Impermanent Loss in CPMMs

Questo articolo caratterizza le strutture di commissioni specifiche necessarie per raggiungere l'indipendenza dal percorso nei Market Maker a Prodotto Costante, ne deriva le dinamiche risultanti del pool e dimostra che, sebbene una Perdita Impermanente nulla sia ottenibile per specifici stati iniziali attraverso funzioni di commissioni personalizzate, nessuna commissione universale possa eliminarla in tutti gli scenari.

Autori originali: Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

Pubblicato 2026-05-01

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CC BY 4.0

Autori originali: Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

Articolo originale sotto licenza CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Questa è una spiegazione generata dall'IA dell'articolo qui sotto. Non è stata scritta né approvata dagli autori. Per precisione tecnica, consulta l'articolo originale. Leggi il disclaimer completo

Immagina un mercato digitale in cui le persone scambiano token senza un capo centrale. Questo mercato è gestito da uno smart contract chiamato Constant Product Market Maker (CPMM). Pensa a questo contratto come a un gigantesco altalena auto-bilanciante. Da un lato siede il Token A, dall'altro il Token B. La regola dell'altalena è semplice: il prodotto dei due lati deve rimanere sempre lo stesso numero. Se aggiungi più Token A, il contratto rimuove automaticamente una certa quantità di Token B per mantenere l'equilibrio.

Le persone che depositano i propri token in questa altalena sono chiamate Fornitori di Liquidità (LP). Sperano di guadagnare dalle commissioni di scambio. Tuttavia, affrontano un rischio insidioso chiamato Perdita Impermanente. Immagina che il prezzo del Token A schizzi improvvisamente alle stelle. L'altalena si sposta automaticamente per vendere il tuo Token A e acquistare più Token B per mantenere l'equilibrio. Quando alla fine ritiri i tuoi fondi, possiedi meno Token A costosi e più Token B economici rispetto a quanto avresti avuto se li avessi semplicemente tenuti in tasca. Quella differenza è la tua "perdita".

Questo documento affronta due grandi problemi su come questi mercati gestiscono attualmente le commissioni e i rischi.

1. Il Problema della "Divisione" (Dipendenza dal Percorso)

Attualmente, quando effettui uno scambio, il contratto addebita una piccola commissione (come un pedaggio). Di solito, questa commissione è una percentuale fissa. Il documento evidenzia un difetto nascosto: conta come suddividi il tuo scambio.

L'Analogia: Immagina di attraversare un ponte che richiede un pedaggio. Se attraversi in un unico grande passo, paghi un solo pedaggio. Ma se fai 100 piccoli passi, il sistema attuale potrebbe addebitarti un pedaggio per ogni singolo passo. Anche se la distanza totale è la stessa, il costo finale (e la tua posizione finale) cambia a seconda di come hai spezzato il viaggio.
La Soluzione del Documento: Gli autori hanno individuato la regola matematica esatta per un sistema di commissioni in cui non importa come suddividi lo scambio. Che tu scambii in un unico grande blocco o in un milione di briciole minuscole, il risultato è esattamente lo stesso. Lo chiamano Indipendenza dal Percorso.
La Regola Segreta: Per far funzionare questo, la commissione non può essere un numero casuale. Deve essere legata strettamente alla "dimensione" dell'altalena (il valore totale del pool). Se il pool cresce, il tasso di commissione può cambiare, ma deve cambiare in modo molto specifico e prevedibile basandosi solo su quella dimensione totale, non sulla miscela specifica di token.

2. Il Sogno della "Perdita Zero"

La seconda domanda che il documento si pone è: Possiamo progettare un sistema di commissioni che elimini completamente la Perdita Impermanente per le persone che forniscono il denaro?

Le Buone Notizie: Sì, ma con una riserva. Gli autori hanno creato una speciale formula di "commissione magica". Se il pool inizia a una dimensione specifica, questa commissione si adatta dinamicamente.
- L'Analogia: Pensa a questa commissione come a una polizza assicurativa intelligente. Se il mercato si muove leggermente, la commissione è minima (quasi gratuita). Ma man mano che il mercato si allontana sempre più dal punto di partenza, la commissione diventa sempre più alta. Questi soldi extra raccolti dagli scambi vengono utilizzati per rimborsare perfettamente i Fornitori di Liquidità per le loro "perdite".
- Il Risultato: Per un pool che inizia a un punto specifico, questo sistema può garantire matematicamente che il Fornitore di Liquidità si ritrovi con esattamente lo stesso valore che avrebbe avuto se avesse semplicemente tenuto i propri token in tasca, indipendentemente da quanto oscillino i prezzi.
Le Cattive Notizie (Il Teorema del "Niente è Gratis"): Il documento dimostra che non è possibile avere una commissione magica universale che funzioni per ogni punto di partenza contemporaneamente.
- L'Analogia: Puoi progettare un paio di scarpe che calza perfettamente sul piede di una persona. Ma non puoi progettare un unico paio di scarpe che calzi perfettamente su ogni piede umano contemporaneamente.
- La Conclusione: Se vuoi una perdita zero, il sistema di commissioni deve essere "consapevole dello stato". Deve sapere esattamente da dove è partito il pool. Se il pool si allontana troppo da quel punto di partenza, la garanzia di "perdita zero" si rompe e devi resettare il sistema o accettare una certa perdita.

Perché Questo è Importante?

Il documento fornisce una guida per costruire mercati digitali migliori:

Prevedibilità: Utilizzando commissioni "Indipendenti dal Percorso", gli sviluppatori possono garantire che l'esito di uno scambio sia lo stesso indipendentemente dalla complessità della transazione. Questo rende il sistema più sicuro e più facile da utilizzare come base per altre applicazioni (un concetto chiamato "componibilità").
Equità: La progettazione "Zero Perdita Impermanente" offre un modo per proteggere gli investitori, ma richiede una commissione dinamica che diventa più intelligente man mano che il mercato si muove.
Verifica della Realtà: Dimostra che, sebbene possiamo proteggere gli investitori in scenari specifici, non possiamo creare un unico sistema di commissioni perfetto che funzioni per ogni possibile condizione di mercato simultaneamente.

In breve, gli autori hanno mappato le regole matematiche per un sistema di scambio più equo e prevedibile, mostrandoci esattamente come addebitare le commissioni in modo che la matematica torni perfettamente per tutti i partecipanti, a patto che accettiamo che le regole debbano adattarsi alla situazione specifica.

1. Enunciato del Problema

Il paper affronta due questioni critiche nei Market Maker a Prodotto Costante (CPMM) come Uniswap V2:

Dipendenza dal Percorso: Nei CPMM standard con reinvestimento delle commissioni, lo stato finale del pool (riserve e invariante $k=xy$) dopo un trade dipende da come il trade viene frammentato (suddiviso in transazioni più piccole). Ciò complica la valutazione del rischio per i Fornitori di Liquidità (LP), crea opportunità di arbitraggio per la frammentazione strategica e mina le garanzie di composabilità nel DeFi.
Perdita Impermanente (IL): Gli LP subiscono perdite quando i prezzi dei token divergono dal rapporto di deposito iniziale. Sebbene le commissioni compensino questa perdita, i modelli standard a commissione fissa non compensano perfettamente l'IL e la relazione tra struttura delle commissioni e IL non è completamente caratterizzata.

Gli autori chiedono: Quale forma funzionale delle commissioni garantisce l'indipendenza dal percorso e, all'interno di tale classe, possiamo progettare commissioni che eliminino la Perdita Impermanente?

2. Metodologia

Gli autori impiegano un approccio matematico rigoroso che combina:

Geometria Differenziale e Calcolo: Modellazione della dinamica del pool come un sistema di Equazioni Differenziali Ordinarie (ODE) dove la dimensione del trade è la variabile indipendente.
Condizioni di Integrabilità: Analisi dell'esattezza delle forme differenziali per derivare condizioni necessarie e sufficienti per l'indipendenza dal percorso.
Costruzione Parametrica: Derivazione di funzioni di commissione specifiche che soddisfano la condizione di IL zero per uno stato iniziale dato.
Simulazione Numerica: Validazione delle derivazioni teoriche attraverso esperimenti controllati che confrontano design indipendenti dal percorso con implementazioni standard di Uniswap V2.

3. Contributi e Risultati Chiave

A. Caratterizzazione delle Commissioni Indipendenti dal Percorso (Teorema 1)

Il paper dimostra che una struttura di commissioni è indipendente dal percorso se e solo se il fattore di commissione combinato $\alpha = 1 - \gamma_1\gamma_2$ (dove $\gamma_1, \gamma_2$ sono le frazioni di commissione in ingresso/uscita) dipende esclusivamente dall'invariante corrente del pool $k = xy$.

Forma Matematica: $\alpha(x, y) = \Phi(xy) = \Phi(k)$ .
Implicazione: Il tasso di commissione deve essere costante lungo le iperboli della curva dell'invariante. Se la commissione dipende dal rapporto dei prezzi ( $y/x$ ) o dalle singole riserve, il risultato diventa dipendente dal percorso.
Flessibilità: I progettisti del protocollo possono ancora variare la ripartizione tra commissioni in ingresso e in uscita ( $\gamma_1$ vs $\gamma_2$ ) purché il loro prodotto soddisfi la condizione.

B. Formula di Scambio in Forma Chiusa (Teorema 2)

Per qualsiasi funzione di commissione indipendente dal percorso $\Phi(k)$ , gli autori derivano un sistema di ODE che governa la dinamica del pool. Risolvono questo sistema per ottenere una formula integrale in forma chiusa:
$G(k_f) - G(k_0) = \ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x_0}\right)$
Dove $G(k) = \int \frac{dk}{\Phi(k)k}$ .

Significato: Ciò permette ai progettisti del protocollo di calcolare lo stato finale del pool e la crescita dell'invariante senza simulare ogni micro-step di un trade, a condizione che la funzione di commissione sia nota.

C. Costruzione a Perdita Impermanente Zero (Teorema 3)

Gli autori costruiscono una famiglia parametrica di funzioni di commissione, $\Phi_{k_0}(k)$ , progettata per ottenere zero perdita impermanente assoluta per uno specifico stato iniziale dell'invariante $k_0$ .

Meccanismo: La commissione è zero allo stato di riferimento ( $k=k_0$ ) e aumenta monotonicamente man mano che l'invariante $k$ si discosta da $k_0$ .
Risultato: Il ricavo accumulato dalle commissioni compensa esattamente la perdita derivante dal ribilanciamento per qualsiasi dimensione di trade $\Delta x$ partendo da $k_0$ .
Comportamento: Per piccole deviazioni, $\Phi_{k_0}(k) \approx 2\sqrt{k/k_0 - 1}$ .

D. Impossibilità di Commissioni Universali a IL Zero (Teorema 4)

Il paper dimostra un risultato negativo: Nessuna singola funzione di commissione $\Phi(k)$ può eliminare la Perdita Impermanente per tutti i possibili stati iniziali $k_0$ simultaneamente.

Ragionamento: La commissione richiesta per azzerare l'IL per uno specifico $k_0$ è una funzione strettamente decrescente di $k_0$ . Pertanto, una funzione di commissione che funziona per uno stato iniziale fallirà per un altro.
Conclusione: I meccanismi a IL zero devono essere consapevoli dello stato (ricalcolati quando la liquidità viene aggiunta/rimossa) o mirare a un intervallo di riferimento specifico.

4. Validazione Sperimentale

Gli autori hanno validato la loro teoria attraverso esperimenti numerici:

Indipendenza dal Percorso: Le simulazioni hanno mostrato che i design indipendenti dal percorso ( $\Phi(k)$ ) raggiungono la precisione della macchina ( $\epsilon \approx 10^{-16}$ ) indipendentemente dalla frammentazione del trade ( $N$ ). Al contrario, Uniswap V2 standard (compounding discreto delle commissioni) ha mostrato piccoli errori ( $\sim 10^{-5}$ ) che scalavano con la frammentazione, confermando la necessità teorica della formulazione integrale continua.
Prestazioni a IL Zero: La funzione di commissione consapevole dello stato ha mantenuto con successo l'IL zero per trade originati da $k_0$ . Tuttavia, applica commissioni significativamente più elevate per grandi deviazioni rispetto a una commissione fissa dello 0,3%, scambiando efficacemente i costi per i trader con la protezione degli LP.
Slippage: Le commissioni a IL zero inducono uno slippage leggermente più alto per i trade di grandi dimensioni, che è il costo necessario per compensare pienamente gli LP.

5. Significato e Implicazioni

Composabilità: Garantendo l'indipendenza dal percorso, queste strutture di commissioni ripristinano risultati deterministici per gli smart contract che interagiscono con il pool, un requisito cruciale per la complessa composabilità del DeFi.
Modellazione del Rischio: Gli LP possono ora modellare i rendimenti basandosi sul volume aggregato invece di preoccuparsi delle strategie di frammentazione dei trade.
Design del Protocollo: Il paper fornisce una guida per pool "Zero-IL". Sebbene una soluzione universale sia impossibile, i protocolli possono implementare commissioni consapevoli dello stato (ad esempio, tramite hook di Uniswap V4) per mirare a intervalli di liquidità specifici, offrendo agli LP una protezione perfetta entro tali intervalli.
Trade-off: Il lavoro evidenzia un compromesso fondamentale: eliminare l'IL richiede commissioni dinamiche e dipendenti dallo stato che addebitano di più per trade più grandi, potenzialmente riducendo la profondità della liquidità per i trader di grandi dimensioni.

In sintesi, questo paper fornisce la prima caratterizzazione matematica rigorosa delle commissioni indipendenti dal percorso nei CPMM e dimostra che, sebbene lo zero-IL universale sia impossibile, lo zero-IL specifico per lo stato è raggiungibile attraverso funzioni di commissione adattive e attentamente progettate.