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Characterizing Path-Independent Fees: A Route to Zero Impermanent Loss in CPMMs

Este artigo caracteriza as estruturas de taxas específicas necessárias para alcançar a independência de caminho nos Constant Product Market Makers, deriva a dinâmica resultante das pools e demonstra que, embora a perda impermanente zero seja alcançável para estados iniciais específicos por meio de funções de taxas personalizadas, nenhuma taxa universal pode eliminá-la em todos os cenários.

Autores originais: Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

Publicado 2026-05-01

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CC BY 4.0

Autores originais: Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

Artigo original sob licença CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta é uma explicação gerada por IA do artigo abaixo. Não foi escrita nem endossada pelos autores. Para precisão técnica, consulte o artigo original. Ler aviso legal completo

Imagine um mercado digital onde as pessoas negociam tokens sem um chefe central. Este mercado é operado por um contrato inteligente chamado Fazedor de Mercado de Produto Constante (CPMM). Pense neste contrato como um enorme gangorra autoequilibrada. De um lado está o Token A, e do outro está o Token B. A regra da gangorra é simples: o produto dos dois lados deve sempre permanecer o mesmo número. Se você adicionar mais Token A, o contrato remove automaticamente algum Token B para manter o equilíbrio.

As pessoas que colocam seus tokens nesta gangorra são chamadas de Provedores de Liquidez (LPs). Elas esperam ganhar dinheiro com as taxas de negociação. No entanto, enfrentam um risco complicado chamado Perda Impermanente. Imagine que o preço do Token A dispare repentinamente. A gangorra se ajusta automaticamente para vender seu Token A e comprar mais Token B para manter o equilíbrio. Quando você finalmente retira seu dinheiro, você tem menos do Token A caro e mais do Token B barato do que se tivesse apenas mantido-os no seu bolso. Essa diferença é a sua "perda".

Este artigo aborda dois grandes problemas na forma como esses mercados lidam atualmente com taxas e riscos.

1. O Problema da "Divisão" (Dependência do Caminho)

Atualmente, quando você negocia, o contrato cobra uma pequena taxa (como um pedágio). Geralmente, essa taxa é uma porcentagem fixa. O artigo aponta uma falha oculta: importa como você divide sua negociação.

A Analogia: Imagine que você está atravessando uma ponte que cobra um pedágio. Se você atravessa em uma única grande passada, paga um pedágio. Mas se der 100 passadas minúsculas, o sistema atual pode cobrar um pedágio por cada única passada. Mesmo que a distância total seja a mesma, o custo final (e sua posição final) muda dependendo de como você dividiu a jornada.
A Solução do Artigo: Os autores descobriram a regra matemática exata para um sistema de taxas onde não importa como você divide a negociação. Se você negociar em um único bloco gigante ou em um milhão de migalhas minúsculas, o resultado é exatamente o mesmo. Eles chamam isso de Independência do Caminho.
A Regra Secreta: Para que isso funcione, a taxa não pode ser apenas um número aleatório. Ela deve estar estritamente ligada ao "tamanho" da gangorra (o valor total do pool). Se o pool cresce, a taxa pode mudar, mas deve mudar de uma maneira muito específica e previsível baseada apenas nesse tamanho total, não na mistura específica de tokens.

2. O Sonho da "Perda Zero"

A segunda questão que o artigo levanta é: Podemos projetar um sistema de taxas que elimine completamente a Perda Impermanente para as pessoas que fornecem o dinheiro?

A Boa Notícia: Sim, mas com uma ressalva. Os autores criaram uma fórmula especial de "taxa mágica". Se o pool começar em um tamanho específico, essa taxa se ajusta dinamicamente.
- A Analogia: Pense nesta taxa como um seguro inteligente. Se o mercado se move ligeiramente, a taxa é minúscula (quase gratuita). Mas à medida que o mercado se afasta mais do ponto de partida, a taxa fica cada vez mais alta. Este dinheiro extra coletado dos negociantes é usado para pagar perfeitamente os Provedores de Liquidez por suas "perdas".
- O Resultado: Para um pool começando em um ponto específico, este sistema pode garantir matematicamente que o Provedor de Liquidez termine com exatamente o mesmo valor que se tivesse apenas mantido seus tokens no bolso, não importa quanto o preço oscile.
A Má Notícia (O Teorema do "Não Há Almoço Grátis"): O artigo prova que você não pode ter uma taxa mágica universal que funcione para todos os pontos de partida ao mesmo tempo.
- A Analogia: Você pode projetar um par de sapatos que se encaixa perfeitamente no pé de uma pessoa. Mas você não pode projetar um único par de sapatos que se encaixe perfeitamente no pé de todos os humanos ao mesmo tempo.
- A Conclusão: Se você quer perda zero, o sistema de taxas deve ser "consciente do estado". Ele precisa saber exatamente onde o pool começou. Se o pool se desviar muito desse ponto de partida, a garantia de "perda zero" quebra, e você precisa redefinir o sistema ou aceitar alguma perda.

Por Que Isso Importa?

O artigo fornece um roteiro para construir mercados digitais melhores:

Previsibilidade: Ao usar taxas "Independentes do Caminho", os desenvolvedores podem garantir que o resultado de uma negociação seja o mesmo, não importa quão complexa seja a transação. Isso torna o sistema mais seguro e mais fácil de construir outros aplicativos em cima dele (um conceito chamado "composabilidade").
Justiça: O design de "Perda Impermanente Zero" oferece uma maneira de proteger os investidores, mas requer uma taxa dinâmica que se torna mais inteligente à medida que o mercado se move.
Verificação da Realidade: Prova que, embora possamos proteger os investidores em cenários específicos, não podemos criar um único sistema de taxas perfeito que funcione para todas as condições de mercado possíveis simultaneamente.

Em resumo, os autores mapearam as regras matemáticas para um sistema de negociação mais justo e previsível, mostrando exatamente como cobrar taxas para que a matemática funcione perfeitamente para todos os envolvidos — desde que aceitemos que as regras devem se adaptar à situação específica.

1. Declaração do Problema

O artigo aborda duas questões críticas em Criadores de Mercado de Produto Constante (CPMMs) como o Uniswap V2:

Dependência de Caminho: Em CPMMs padrão com reinvestimento de taxas, o estado final do pool (reservas e invariante $k=xy$) após uma negociação depende de como a negociação é fragmentada (dividida em transações menores). Isso complica a avaliação de risco para Provedores de Liquidez (LPs), cria oportunidades de arbitragem para fragmentação estratégica e mina as garantias de composabilidade no DeFi.
Perda Impermanente (IL): Os LPs enfrentam perdas quando os preços dos tokens divergem da proporção de depósito inicial. Embora as taxas compensem isso, os modelos de taxa fixa padrão não compensam perfeitamente a IL, e a relação entre a estrutura de taxas e a IL não é totalmente caracterizada.

Os autores perguntam: Qual forma funcional de taxas garante independência de caminho e, dentro dessa classe, podemos projetar taxas que eliminem a Perda Impermanente?

2. Metodologia

Os autores empregam uma abordagem matemática rigorosa combinando:

Geometria Diferencial e Cálculo: Modelagem da dinâmica do pool como um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) onde o tamanho da negociação é a variável independente.
Condições de Integrabilidade: Análise da exatidão das formas diferenciais para derivar condições necessárias e suficientes para a independência de caminho.
Construção Paramétrica: Derivação de funções de taxas específicas que satisfazem a condição de IL zero para um estado inicial dado.
Simulação Numérica: Validação das derivações teóricas através de experimentos controlados comparando designs independentes de caminho contra implementações padrão do Uniswap V2.

3. Principais Contribuições e Resultados

A. Caracterização de Taxas Independentes de Caminho (Teorema 1)

O artigo prova que uma estrutura de taxas é independente de caminho se e somente se o fator de taxa combinado $\alpha = 1 - \gamma_1\gamma_2$ (onde $\gamma_1, \gamma_2$ são frações de taxas de entrada/saída) depender apenas da invariante atual do pool $k = xy$.

Forma Matemática: $\alpha(x, y) = \Phi(xy) = \Phi(k)$ .
Implicação: A taxa de taxa deve ser constante ao longo das hipérboles da curva invariante. Se a taxa depender da razão de preços ( $y/x$ ) ou de reservas individuais, o resultado torna-se dependente do caminho.
Flexibilidade: Os designers de protocolos ainda podem variar a divisão entre taxas de entrada e saída ( $\gamma_1$ vs $\gamma_2$ ) desde que seu produto satisfaça a condição.

B. Fórmula de Troca de Forma Fechada (Teorema 2)

Para qualquer função de taxa independente de caminho $\Phi(k)$ , os autores derivam um sistema de EDOs governando a dinâmica do pool. Eles resolvem isso para obter uma fórmula integral de forma fechada:
$G(k_f) - G(k_0) = \ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x_0}\right)$
Onde $G(k) = \int \frac{dk}{\Phi(k)k}$ .

Significado: Isso permite que os designers de protocolos calculem o estado final do pool e o crescimento invariante sem simular cada micro-passos de uma negociação, desde que a função de taxa seja conhecida.

C. Construção de Perda Impermanente Zero (Teorema 3)

Os autores constroem uma família paramétrica de funções de taxas, $\Phi_{k_0}(k)$ , projetada para alcançar perda impermanente absoluta zero para um estado invariante inicial específico $k_0$ .

Mecanismo: A taxa é zero no estado de referência ( $k=k_0$ ) e aumenta monotonicamente à medida que a invariante $k$ se desvia de $k_0$ .
Resultado: A receita acumulada de taxas compensa exatamente a perda de reequilíbrio para qualquer tamanho de negociação $\Delta x$ partindo de $k_0$ .
Comportamento: Para pequenos desvios, $\Phi_{k_0}(k) \approx 2\sqrt{k/k_0 - 1}$ .

D. Impossibilidade de Taxas Universais de IL Zero (Teorema 4)

O artigo prova um resultado negativo: Nenhuma função de taxa única $\Phi(k)$ pode eliminar a Perda Impermanente para todos os estados iniciais possíveis $k_0$ simultaneamente.

Raciocínio: A taxa necessária para zerar a IL para um $k_0$ específico é uma função estritamente decrescente de $k_0$ . Portanto, uma função de taxa que funciona para um estado inicial falhará para outro.
Conclusão: Mecanismos de IL zero devem ser conscientes do estado (recalculados quando a liquidez é adicionada/removida) ou visar uma faixa de referência específica.

4. Validação Experimental

Os autores validaram sua teoria através de experimentos numéricos:

Independência de Caminho: Simulações mostraram que designs independentes de caminho ( $\Phi(k)$ ) alcançam precisão de máquina ( $\epsilon \approx 10^{-16}$ ) independentemente da fragmentação da negociação ( $N$ ). Em contraste, o Uniswap V2 padrão (composição de taxas discreta) mostrou pequenos erros ( $\sim 10^{-5}$ ) que escalonavam com a fragmentação, confirmando a necessidade teórica da formulação integral contínua.
Desempenho de IL Zero: A função de taxa consciente do estado manteve com sucesso IL zero para negociações originadas em $k_0$ . No entanto, ela cobra taxas significativamente mais altas para grandes desvios em comparação com uma taxa constante de 0,3%, efetivamente trocando custos do trader pela proteção do LP.
Deslizamento (Slippage): Taxas de IL zero induzem um deslizamento ligeiramente maior para negociações grandes, que é o custo necessário para compensar totalmente os LPs.

5. Significado e Implicações

Composabilidade: Ao garantir independência de caminho, essas estruturas de taxas restauram resultados determinísticos para contratos inteligentes interagindo com o pool, um requisito crucial para a composabilidade complexa do DeFi.
Modelagem de Risco: Os LPs agora podem modelar retornos com base no volume agregado, em vez de se preocupar com estratégias de fragmentação de negociação.
Design de Protocolo: O artigo fornece um roteiro para pools "IL Zero". Embora uma solução universal seja impossível, os protocolos podem implementar taxas conscientes do estado (por exemplo, via hooks do Uniswap V4) para visar faixas de liquidez específicas, oferecendo aos LPs proteção perfeita dentro dessas faixas.
Compensações: O trabalho destaca uma compensação fundamental: eliminar a IL requer taxas dinâmicas e dependentes do estado que cobram mais por negociações maiores, potencialmente reduzindo a profundidade de liquidez para grandes traders.

Em resumo, este artigo fornece a primeira caracterização matemática rigorosa de taxas independentes de caminho em CPMMs e demonstra que, embora o IL zero universal seja impossível, o IL zero específico do estado é alcançável através de funções de taxas adaptativas cuidadosamente projetadas.