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Characterizing Path-Independent Fees: A Route to Zero Impermanent Loss in CPMMs

यह शोध पत्र कॉन्स्टेंट प्रोडक्ट मार्केट मेकर्स में पाथ इंडिपेंडेंस (पथ स्वतंत्रता) प्राप्त करने के लिए आवश्यक विशिष्ट शुल्क संरचनाओं को अभिलक्षणित करता है, परिणामी पूल डायनेमिक्स को व्युत्पन्न करता है, और यह प्रदर्शित करता है कि जबकि अनुकूलित शुल्क फलनों के माध्यम से विशिष्ट प्रारंभिक अवस्थाओं के लिए शून्य इम्परमानेंट लॉस (अस्थायी हानि) प्राप्त करना संभव है, कोई भी सार्वभौमिक शुल्क सभी परिदृश्यों में इसे समाप्त नहीं कर सकता है।

मूल लेखक: Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

प्रकाशित 2026-05-01

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक डिजिटल मार्केटप्लेस की कल्पना करें जहाँ लोग बिना किसी केंद्रीय बॉस के टोकन का व्यापार करते हैं। यह मार्केटप्लेस एक स्मार्ट कॉन्ट्रैक्ट द्वारा संचालित होता है जिसे कांस्टेंट प्रोडक्ट मार्केट मेकर (CPMM) कहा जाता है। इस कॉन्ट्रैक्ट को एक विशाल, खुद को संतुलित करने वाले सी-सॉ (seesaw) के रूप में सोचें। इसके एक तरफ टोकन A बैठा है, और दूसरी तरफ टोकन B। सी-सॉ का नियम सरल है: दोनों तरफ का गुणनफल (product) हमेशा एक ही संख्या रहनी चाहिए। यदि आप अधिक टोकन A जोड़ते हैं, तो संतुलन बनाए रखने के लिए कॉन्ट्रैक्ट स्वचालित रूप से कुछ टोकन B हटा देता है।

जो लोग इस सी-सॉ में अपने टोकन डालते हैं, उन्हें लिक्विडिटी प्रोवाइडर्स (LPs) कहा जाता है। वे ट्रेडिंग फीस से पैसा कमाने की उम्मीद करते हैं। हालाँकि, उन्हें एक पेचीदा जोखिम का सामना करना पड़ता है जिसे इम्परमानेंट लॉस (Impermanent Loss) कहते हैं। कल्पना कीजिए कि टोकन A की कीमत अचानक आसमान छू जाती है। सी-सॉ संतुलन बनाए रखने के लिए स्वचालित रूप से आपके टोकन A को बेचने और अधिक टोकन B खरीदने के लिए शिफ्ट हो जाता है। जब आप अंततः अपना पैसा निकालते हैं, तो आपके पास आपके जेब में रखे टोकने की तुलना में कम महंगे टोकन A और अधिक सस्ते टोकन B होते हैं। यही अंतर आपका "नुकसान" है।

यह शोध पत्र इस बात पर चर्चा करता है कि वर्तमान में ये मार्केटप्लेस अपनी फीस और जोखिमों को कैसे संभालते हैं, जिसमें दो बड़ी समस्याएँ हैं।

1. "स्प्लिटिंग" की समस्या (पाथ डिपेंडेंस)

वर्तमान में, जब आप ट्रेड करते हैं, तो कॉन्ट्रैक्ट एक छोटा सा शुल्क (जैसे टोल) लेता है। आमतौर पर, यह एक निश्चित प्रतिशत होता है। शोध पत्र बताता है कि इसमें एक छिपा हुआ दोष है: यह मायने रखता है कि आप अपने ट्रेड को कैसे विभाजित (split) करते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक पुल पार कर रहे हैं जो टोल वसूलता है। यदि आप एक बड़े कदम में पुल पार करते हैं, तो आप एक टोल देते हैं। लेकिन यदि आप 100 छोटे-छोटे कदम लेते हैं, तो वर्तमान प्रणाली आपको हर एक कदम के लिए टोल वसूल सकती है। भले ही कुल दूरी समान हो, लेकिन लेनदेन के तरीके के आधार पर अंतिम लागत (और आपकी अंतिम स्थिति) बदल जाती है।
शोध पत्र का समाधान: लेखकों ने एक ऐसी फीस प्रणाली के लिए सटीक गणितीय नियम खोज निकाला है जहाँ यह मायने नहीं रखता कि आप ट्रेड को कैसे विभाजित करते हैं। चाहे आप एक बड़े हिस्से में ट्रेड करें या लाखों छोटे टुकड़ों में, परिणाम बिल्कुल समान होगा। वे इसे पाथ इंडिपेंडेंस (Path Independence) कहते हैं।
गुप्त नियम: इसे काम करने के लिए, फीस केवल एक रैंडम नंबर नहीं हो सकती। इसे सख्ती से सी-सॉ के "आकार" (कुल पूल वैल्यू) से जुड़ा होना चाहिए। यदि पूल बढ़ता है, तो फीस दर बदल सकती है, लेकिन इसे केवल उस कुल आकार के आधार पर एक बहुत ही विशिष्ट और अनुमानित तरीके से बदलना चाहिए, न कि टोकन के विशिष्ट मिश्रण के आधार पर।

2. "जीरो लॉस" का सपना

दूसरा प्रश्न जो यह शोध पत्र पूछता है, वह है: क्या हम ऐसा सिस्टम बना सकते हैं जो पैसा लगाने वाले लोगों के लिए इम्परमानेंट लॉस को पूरी तरह से समाप्त कर दे?

अच्छी खबर: हाँ, लेकिन एक शर्त के साथ। लेखकों ने एक विशेष "मैजिक फीस" फॉर्मूला बनाया है। यदि पूल एक विशिष्ट आकार से शुरू होता है, तो यह फीस गतिशील रूप से (dynamically) एडजस्ट होती है।
- उपमा: इस फीस को एक स्मार्ट बीमा पॉलिसी के रूप में सोचें। यदि बाजार थोड़ा हिलता है, तो फीस बहुत कम होती है (लगभग मुफ्त)। लेकिन जैसे-जैसे बाजार शुरुआती बिंदु से दूर जाता है, फीस बढ़ती जाती है। ट्रेडर्स से इकट्ठा किया गया यह अतिरिक्त पैसा लिक्विडिटी प्रोवाइडर्स को उनके "नुकसान" की भरपाई करने के लिए उपयोग किया जाता है।
- परिणाम: एक विशिष्ट बिंदु से शुरू होने वाले पूल के लिए, यह सिस्टम गणितीय रूप से गारंटी दे सकता है कि लिक्विडिटी प्रोवाइडर के पास ठीक उतना ही मूल्य होगा जितना कि उनके पास तब होता यदि उन्होंने अपने टोकन जेब में रखे होते, चाहे कीमतों में कितना भी उतार-चढ़ाव क्यों न आए।
बुरी खबर ("नो फ्री लंच" थ्योरम): शोध पत्र सिद्ध करता है कि आप एक ऐसा यूनिवर्सल मैजिक फीस सिस्टम नहीं बना सकते जो एक ही समय में हर शुरुआती बिंदु के लिए काम करे।
- उपमा: आप ऐसे जूते डिजाइन कर सकते हैं जो एक व्यक्ति के पैर में बिल्कुल फिट आते हों। लेकिन आप एक ही जोड़ी जूते नहीं बना सकते जो एक ही समय में हर इंसान के पैर में बिल्कुल फिट आ जाए।
- निष्कर्ष: यदि आप जीरो लॉस चाहते हैं, तो फीस सिस्टम को "स्टेट-अवेयर" (state-aware) होना चाहिए। इसे पता होना चाहिए कि पूल कहाँ से शुरू हुआ था। यदि पूल अपने शुरुआती बिंदु से बहुत दूर चला जाता है, तो "जीरो लॉस" की गारंटी टूट जाती है, और आपको सिस्टम को रीसेट करना पड़ता है या कुछ नुकसान स्वीकार करना पड़ता है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है?

यह शोध पत्र बेहतर डिजिटल मार्केटप्लेस बनाने के लिए एक ब्लूप्रिंट प्रदान करता है:

अनुमान लगाने की क्षमता (Predictability): "पाथ इंडिपेंडेंट" फीस का उपयोग करके, डेवलपर्स यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि ट्रेड का परिणाम वही रहे चाहे लेनदेन कितना भी जटिल क्यों न हो। यह सिस्टम को सुरक्षित और अन्य ऐप्स बनाने के लिए आसान बनाता है (जिसे "कंपोजेबिलिटी" कहा जाता है)।
निष्पक्षता: "जीरो इम्परमानेंट लॉस" डिजाइन निवेशकों को बचाने का एक तरीका प्रदान करता है, लेकिन इसके लिए एक गतिशील फीस की आवश्यकता होती है जो बाजार के हिलने पर और स्मार्ट हो जाती है।
वास्तविकता की जाँच: यह सिद्ध करता है कि हालांकि हम विशिष्ट परिदृश्यों में निवेशकों की रक्षा कर सकते हैं, हम एक ऐसा एकल, पूर्ण फीस सिस्टम नहीं बना सकते जो एक ही समय में हर संभावित बाजार स्थिति के लिए काम करे।

संक्षेप में, लेखकों ने अधिक निष्पक्ष और अनुमानित ट्रेडिंग सिस्टम के लिए गणितीय नियमों का नक्शा तैयार किया है, जो हमें यह दिखा रहा है कि फीस कैसे वसूलनी है ताकि गणित सभी शामिल पक्षों के लिए बिल्कुल सही रहे—बशर्ते हम यह स्वीकार करें कि नियमों को विशिष्ट स्थिति के अनुसार अनुकूलित होना होगा।

यहाँ शोध पत्र "Characterizing Path-Independent Fees: A Route to Zero Impermanent Loss in CPMMs" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र Uniswap V2 जैसे Constant Product Market Makers (CPMMs) में दो महत्वपूर्ण मुद्दों को संबोधित करता है:

पथ निर्भरता (Path Dependence): शुल्क पुनर्निवेश (fee reinvestment) के साथ मानक CPMMs में, पूल की अंतिम स्थिति (reserves और invariant $k=xy$) ट्रेड के तरीके पर निर्भर करती है कि ट्रेड को कैसे विभाजित (fragmented) किया गया है। यह लिक्विडिटी प्रोवाइडर्स (LPs) के लिए जोखिम मूल्यांकन को जटिल बनाता है, रणनीतिक विखंडन (strategic fragmentation) के लिए आर्बिट्राज के अवसर पैदा करता है, और DeFi में कंपोजेबिलिटी गारंटी को कमजोर करता है।
इम्परमानेंट लॉस (Impermanent Loss - IL): LPs को तब नुकसान होता है जब टोकन की कीमतें प्रारंभिक जमा अनुपात से विचलित हो जाती हैं। हालांकि शुल्क इस IL की भरपाई करते हैं, मानक निश्चित-शुल्क मॉडल (fixed-fee models) IL को पूरी तरह से संतुलित नहीं कर पाते हैं, और शुल्क संरचना और IL के बीच का संबंध पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है।

लेखक पूछते हैं: फीस का कौन सा कार्यात्मक रूप (functional form) पथ-स्वतंत्रता (path independence) की गारंटी देता है, और उस वर्ग के भीतर, क्या हम शून्य-IL प्राप्त करने के लिए फीस डिजाइन कर सकते हैं?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक कठोर गणितीय दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं जो निम्नलिखित को जोड़ता है:

डिफरेंशियल ज्योमेट्री और कैलकुलस (Differential Geometry & Calculus): पूल की गतिशीलता को साधारण अवकल समीकरणों (Ordinary Differential Equations - ODEs) के एक सिस्टम के रूप में मॉडल करना, जहाँ ट्रेड का आकार स्वतंत्र चर (independent variable) है।
इंटीग्रैबिलिटी स्थितियाँ (Integrability Conditions): पथ-स्वतंत्रता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियों को व्युत्पन्न करने के लिए डिफरेंशियल फॉर्म्स की सटीक प्रकृति का विश्लेषण करना।
पैरामीट्रिक निर्माण (Parametric Construction): एक दिए गए प्रारंभिक अवस्था (initial state) के लिए शून्य-IL स्थिति को संतुष्ट करने वाले विशिष्ट फी-फंक्शंस (fee functions) को व्युत्पन्न करना।
संख्यात्मक सिमुलेशन (Numerical Simulation): मानक Uniswap V2 कार्यान्वयन के विरुद्ध अपने सैद्धांतिक व्युत्पत्तियों को सत्यापित करने के लिए नियंत्रित प्रयोगों के माध्यम से सत्यापन करना।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions & Results)

A. पथ-स्वतंत्र फीस का लक्षण वर्णन (Theorem 1)

यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि एक शुल्क संरचना पथ-स्वतंत्र है यदि और केवल यदि संयुक्त शुल्क कारक $\alpha = 1 - \gamma_1\gamma_2$ (जहाँ $\gamma_1, \gamma_2$ इनपुट/आउटपुट शुल्क अंश हैं) केवल वर्तमान पूल इनवेरिएंट $k = xy$ पर निर्भर करता है।

गणितीय रूप: $\alpha(x, y) = \Phi(xy) = \Phi(k)$ ।
निहितार्थ: शुल्क दर इनवेरिएंट वक्र (invariant curve) की हाइपरबोला के साथ स्थिर होनी चाहिए। यदि शुल्क मूल्य अनुपात ( $y/x$ ) या व्यक्तिगत रिजर्व पर निर्भर करता है, तो परिणाम पथ-निर्भर हो जाता है।
लचीलापन: प्रोटोकॉल डिजाइनर इनपुट और आउटपुट शुल्क ( $\gamma_1$ बनाम $\gamma_2$ ) के बीच विभाजन को बदल सकते हैं, जब तक कि उनका गुणनफल इस शर्त को पूरा करता हो।

B. क्लोज्ड-फॉर्म एक्सचेंज फॉर्मूला (Theorem 2)

किसी भी पथ-स्वतंत्र शुल्क फंक्शन $\Phi(k)$ के लिए, लेखक पूल की गतिशीलता को नियंत्रित करने वाले ODEs का एक सिस्टम व्युत्पन्न करते हैं। वे इसे एक क्लोज्ड-फॉर्म इंटीग्रल फॉर्मूला प्राप्त करने के लिए हल करते हैं:
$G(k_f) - G(k_0) = \ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x_0}\right)$
जहाँ $G(k) = \int \frac{dk}{\Phi(k)k}$ ।

महत्व: यह प्रोटोकॉल डिजाइनरों को हर सूक्ष्म-चरण (micro-step) का अनुकरण किए बिना अंतिम पूल स्थिति और इनवेरिएंट वृद्धि की गणना करने की अनुमति देता है, बशर्ते कि शुल्क फंक्शन ज्ञात हो।

C. शून्य इम्परमानेंट लॉस निर्माण (Theorem 3)

लेखक एक पैरामीट्रिक परिवार $\Phi_{k_0}(k)$ का निर्माण करते हैं, जिसे एक विशिष्ट प्रारंभिक इनवेरिएंट अवस्था $k_0$ के लिए शून्य पूर्ण इम्परमानेंट लॉस (zero absolute Impermanent Loss) प्राप्त करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

तंत्र (Mechanism): शुल्क संदर्भ अवस्था ( $k=k_0$ ) पर शून्य होता है और जैसे-जैसे इनवेरिएंट $k$ , $k_0$ से विचलित होता है, यह निरंतर बढ़ता जाता है।
परिणाम: संचित शुल्क राजस्व $k_0$ से शुरू होने वाले किसी भी ट्रेड आकार $\Delta x$ के लिए रीबैलेंसिंग से होने वाले नुकसान की सटीक भरपाई करता है।
व्यवहार: छोटे विचलन के लिए, $\Phi_{k_0}(k) \approx 2\sqrt{k/k_0 - 1}$ ।

D. सार्वभौमिक शून्य-IL फीस की असंभवता (Theorem 4)

यह शोध पत्र एक नकारात्मक परिणाम सिद्ध करता है: कोई भी एकल शुल्क फंक्शन $\Phi(k)$ सभी संभावित प्रारंभिक अवस्थाओं $k_0$ के लिए एक साथ इम्परमानेंट लॉस को समाप्त नहीं कर सकता।

तर्क: एक विशिष्ट $k_0$ के लिए शून्य-आउट IL करने के लिए आवश्यक शुल्क, $k_0$ का एक स्ट्रिक्टली घटता हुआ फलन (strictly decreasing function) है। इसलिए, एक शुल्क फंक्शन जो एक प्रारंभिक अवस्था के लिए काम करता है, वह दूसरी अवस्था के लिए विफल हो जाएगा।
निष्कर्ष: शून्य-IL तंत्र को स्टेट-अवेयर (state-aware) होना चाहिए (लिक्विडिटी जोड़ने/हटाने के समय पुनर्गणना किया जाना चाहिए) या एक विशिष्ट संदर्भ रेंज को लक्षित करना चाहिए।

4. प्रयोगात्मक सत्यापन (Experimental Validation)

लेखकों ने अपने सिद्धांत को संख्यात्मक प्रयोगों के माध्यम से सत्यापित किया:

पथ-स्वतंत्रता (Path Independence): सिमुलेशन ने दिखाया कि पथ-स्वतंत्र डिजाइन ( $\Phi(k)$ ) ट्रेड फ्रैगमेंटेशन ( $N$ ) के बावजूद मशीन प्रिसिजन ( $\epsilon \approx 10^{-16}$ ) प्राप्त करते हैं। इसके विपरीत, मानक Uniswap V2 (डिस्क्रीट शुल्क कंपाउंडिंग) ने छोटी त्रुटियां ( $\sim 10^{-5}$ ) दिखाईं जो फ्रैगमेंटेशन के साथ बढ़ती गईं, जो निरंतर इंटीग्रल फॉर्मूलेशन की सैद्धांतिक आवश्यकता की पुष्टि करती है।
शून्य-IL प्रदर्शन: स्टेट-अवेयर शुल्क फंक्शन ने $k_0$ से शुरू होने वाले ट्रेडों के लिए शून्य IL बनाए रखा। हालांकि, यह बड़े विचलनों के लिए उच्च शुल्क लेता है, जो बड़े ट्रेडों के लिए उच्च शुल्क लेकर LPs की सुरक्षा के लिए ट्रेड-ऑफ करता है।
स्लिपेज (Slippage): शून्य-IL शुल्क बड़े ट्रेडों के लिए थोड़ा अधिक स्लिपेज उत्पन्न करते हैं, जो LPs की पूर्ण भरपाई के लिए आवश्यक लागत है।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

कंपोजेबिलिटी (Composability): पथ-स्वतंत्रता सुनिश्चित करके, ये शुल्क संरचनाएं पूल के साथ इंटरैक्ट करने वाले स्मार्ट कॉन्ट्रैक्ट्स के लिए नियतात्मक परिणामों (deterministic outcomes) को बहाल करती हैं, जो जटिल DeFi कंपोजेबिलिटी के लिए एक महत्वपूर्ण आवश्यकता है।
जोखिम मॉडलिंग (Risk Modeling): LPs अब ट्रेड फ्रैगमेंटेशन रणनीतियों की चिंता किए बिना कुल वॉल्यूम के आधार पर रिटर्न का मॉडल बना सकते हैं।
प्रोटोकॉल डिजाइन: यह शोध पत्र "जीरो-IL" पूल्स के लिए एक ब्लूप्रिंट प्रदान करता है। हालांकि एक सार्वभौमिक समाधान असंभव है, प्रोटोकॉल विशिष्ट लिक्विडिटी रेंज को लक्षित करने के लिए स्टेट-अवेयर फीस (जैसे Uniswap V4 हुक्स के माध्यम से) लागू कर सकते हैं, जिससे LPs को उस रेंज के भीतर पूर्ण सुरक्षा मिल सके।
ट्रेड-ऑफ (Trade-offs): यह कार्य एक मौलिक ट्रेड-ऑफ को उजागर करता है: IL को समाप्त करने के लिए गतिशील, स्टेट-डिपेंडेंट फीस की आवश्यकता होती है जो बड़े ट्रेडों के लिए अधिक शुल्क लेती है, जिससे संभावित रूप से बड़े ट्रेडरों के लिए लिक्विडिटी डेप्थ कम हो सकती है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र CPMMs में पथ-स्वतंत्र फीस का पहला कठोर गणितीय लक्षण वर्णन प्रदान करता है और प्रदर्शित करता है कि जबकि सार्वभौमिक शून्य-IL असंभव है, सावधानीपूर्वक डिज़ाइन किए गए एडेप्टिव (adaptive) शुल्क कार्यों के माध्यम से स्टेट-विशिष्ट शून्य-IL प्राप्त किया जा सकता है।