💻 computer science

Characterizing Path-Independent Fees: A Route to Zero Impermanent Loss in CPMMs

Dit artikel karakteriseert de specifieke fee-structuren die nodig zijn om padonafhankelijkheid te bereiken in Constant Product Market Makers, leidt de resulterende pool-dynamiek af en toont aan dat hoewel nul Impermanent Loss voor specifieke beginstaten haalbaar is via op maat gemaakte fee-functies, geen universele fee deze in alle scenario's kan elimineren.

Oorspronkelijke auteurs: Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

Gepubliceerd 2026-05-01

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je een digitale markt voor waar mensen tokens verhandelen zonder centrale baas. Deze markt wordt beheerd door een slim contract genaamd een Constant Product Market Maker (CPMM). Denk aan dit contract als een enorme, zelfbalancerende wip. Aan de ene kant zit Token A, en aan de andere kant zit Token B. De regel van de wip is simpel: het product van beide kanten moet altijd hetzelfde getal blijven. Als je meer Token A toevoegt, verwijdert het contract automatisch wat Token B om het evenwicht te behouden.

Mensen die hun tokens in deze wip steken, worden Liquiditeitsverschaffers (LP's) genoemd. Ze hopen geld te verdienen aan handelskosten. Ze lopen echter een lastig risico, genaamd Impermanent Loss. Stel je voor dat de prijs van Token A plotseling de lucht in schiet. De wip schuift automatisch om je Token A te verkopen en meer Token B te kopen om het evenwicht te behouden. Wanneer je uiteindelijk je geld terugneemt, heb je minder van de dure Token A en meer van de goedkope Token B dan wanneer je ze gewoon in je zak had gehouden. Dat verschil is je "verlies".

Dit artikel behandelt twee grote problemen met de manier waarop deze markten momenteel omgaan met kosten en risico's.

1. Het "Splitsings"-Probleem (Padafhankelijkheid)

Momenteel rekent het contract bij een handel een kleine kosten (zoals een tol) in rekening. Meestal is deze kosten een vast percentage. Het artikel wijst op een verborgen gebrek: het maakt uit hoe je je handel splitst.

De Analogie: Stel je voor dat je over een brug loopt waar tol wordt geheven. Als je in één grote stap overloopt, betaal je één tol. Maar als je 100 kleine stapjes neemt, kan het huidige systeem je tol laten betalen voor elk individueel stapje. Zelfs als de totale afstand hetzelfde is, verandert de uiteindelijke kosten (en je uiteindelijke positie) afhankelijk van hoe je de reis hebt opgedeeld.
De Oplossing uit het Artikel: De auteurs hebben de exacte wiskundige regel gevonden voor een kostensysteem waarbij het niet uitmaakt hoe je de handel splitst. Of je nu in één grote kluit handelt of in een miljoen kleine kruimels, het resultaat is precies hetzelfde. Ze noemen dit Padonafhankelijkheid.
De Geheime Regel: Om dit te laten werken, mag de kosten niet zomaar een willekeurig getal zijn. Het moet strikt gekoppeld zijn aan de "grootte" van de wip (de totale waarde van de pool). Als de pool groeit, kan het kostentarief veranderen, maar het moet op een zeer specifieke, voorspelbare manier veranderen, uitsluitend gebaseerd op die totale grootte, en niet op de specifieke mix van tokens.

2. De "Nul Verlies"-Droom

De tweede vraag die het artikel stelt is: Kunnen we een kostensysteem ontwerpen dat Impermanent Loss volledig elimineert voor de mensen die het geld verschaffen?

Het Goede Nieuws: Ja, maar met een addertje onder het gras. De auteurs hebben een speciaal "magisch kosten"-formule ontwikkeld. Als de pool begint met een specifieke grootte, past deze kosten zich dynamisch aan.
- De Analogie: Denk aan deze kosten als een slim verzekeringsbeleid. Als de markt iets beweegt, zijn de kosten minimaal (bijna gratis). Maar naarmate de markt verder weg beweegt van het startpunt, worden de kosten steeds hoger. Dit extra geld dat van handelaren wordt geïnd, wordt gebruikt om de Liquiditeitsverschaffers perfect terug te betalen voor hun "verliezen".
- Het Resultaat: Voor een pool die start op een specifiek punt, kan dit systeem wiskundig garanderen dat de Liquiditeitsverschaffer uiteindelijk precies dezelfde waarde overhoudt als wanneer ze hun tokens gewoon in hun zak hadden gehouden, ongeacht hoe sterk de prijs schommelt.
Het Slechte Nieuws (De "Geen Gratis Lunch"-Stelling): Het artikel bewijst dat je geen universele magische kosten kunt hebben die voor elk startpunt tegelijkertijd werken.
- De Analogie: Je kunt een paar schoenen ontwerpen dat perfect past bij de voet van één persoon. Maar je kunt niet één enkel paar schoenen ontwerpen dat voor elk menselijk voet perfect past, tegelijkertijd.
- De Conclusie: Als je nul verlies wilt, moet het kostensysteem "bewust zijn van de staat". Het moet precies weten waar de pool begon. Als de pool te ver afwijkt van dat startpunt, breekt de "nul verlies"-garantie en moet je het systeem resetten of een bepaald verlies accepteren.

Waarom Is Dit Belangrijk?

Het artikel biedt een blauwdruk voor het bouwen van betere digitale markten:

Voorspelbaarheid: Door "Padonafhankelijke" kosten te gebruiken, kunnen ontwikkelaars ervoor zorgen dat de uitkomst van een handel hetzelfde blijft, ongeacht hoe complex de transactie is. Dit maakt het systeem veiliger en makkelijker om andere apps bovenop te bouwen (een concept dat "composability" wordt genoemd).
Eerlijkheid: Het "Nul Impermanent Loss"-ontwerp biedt een manier om investeerders te beschermen, maar vereist een dynamische kosten die slimmer wordt naarmate de markt beweegt.
Realiteitscheck: Het bewijst dat we, hoewel we investeerders in specifieke scenario's kunnen beschermen, niet één perfect kostensysteem kunnen creëren dat voor elke mogelijke marktomstandigheid tegelijkertijd werkt.

Kortom, de auteurs hebben de wiskundige regels in kaart gebracht voor een eerlijker, voorspelbaarder transactiesysteem, en laten precies zien hoe we kosten moeten heffen zodat de wiskunde voor iedereen perfect uitkomt, mits we accepteren dat de regels zich moeten aanpassen aan de specifieke situatie.

1. Probleemstelling

Het artikel behandelt twee kritieke problemen bij Constant Product Market Makers (CPMM's) zoals Uniswap V2:

Padafhankelijkheid: Bij standaard CPMM's met fee-reinvestering hangt de eindtoestand van de pool (reserves en invariant $k=xy$) na een transactie af van hoe de transactie is gefragmenteerd (opgesplitst in kleinere transacties). Dit bemoeilijkt de risicobeoordeling voor Liquiditeitsverschaffers (LP's), creëert arbitragemogelijkheden voor strategische fragmentatie en ondermijnt de composability-garanties in DeFi.
Impermanent Loss (IL): LP's lijden verliezen wanneer de tokenprijzen afwijken van de initiële stortingsverhouding. Hoewel fees dit compenseren, compenseren standaard vaste fee-modellen IL niet perfect, en is de relatie tussen fee-structuur en IL niet volledig gekarakteriseerd.

De auteurs vragen: Welke functionele vorm van fees garandeert padonafhankelijkheid, en binnen die klasse kunnen we fees ontwerpen die Impermanent Loss elimineren?

2. Methodologie

De auteurs hanteren een rigoureuze wiskundige aanpak die de volgende elementen combineert:

Differentiaalmeetkunde en Calculus: Het modelleren van pool-dynamiek als een systeem van Gewone Differentiaalvergelijkingen (ODE's) waarbij de transactiegrootte de onafhankelijke variabele is.
Integreerbaarheidsvoorwaarden: Het analyseren van de exactheid van differentiaalvormen om noodzakelijke en toereikende voorwaarden voor padonafhankelijkheid af te leiden.
Parametrische Constructie: Het afleiden van specifieke fee-functies die voldoen aan de voorwaarde voor nul-IL voor een gegeven initiële toestand.
Numerieke Simulatie: Het valideren van theoretische afleidingen via gecontroleerde experimenten waarbij padonafhankelijke ontwerpen worden vergeleken met standaard Uniswap V2-implementaties.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. Karakterisering van Padonafhankelijke Fees (Stelling 1)

Het artikel bewijst dat een fee-structuur padonafhankelijk is dan en slechts dan als de gecombineerde fee-factor $\alpha = 1 - \gamma_1\gamma_2$ (waarbij $\gamma_1, \gamma_2$ input/output fee-fracties zijn) uitsluitend afhankelijk is van de huidige pool-invariant $k = xy$.

Wiskundige Vorm: $\alpha(x, y) = \Phi(xy) = \Phi(k)$ .
Implicatie: Het fee-tarief moet constant zijn langs de hyperbolen van de invariant-curve. Als de fee afhangt van de prijsverhouding ( $y/x$ ) of individuele reserves, wordt de uitkomst padafhankelijk.
Flexibiliteit: Protocolontwerpers kunnen nog steeds variëren in de verdeling tussen input- en output-fee's ( $\gamma_1$ versus $\gamma_2$ ), zolang hun product aan de voorwaarde voldoet.

B. Gesloten-Formule Uitwisselingsformule (Stelling 2)

Voor elke padonafhankelijke fee-functie $\Phi(k)$ leiden de auteurs een systeem van ODE's af dat de pool-dynamiek regelt. Ze lossen dit op om een gesloten-formule integraalformule te verkrijgen:
$G(k_f) - G(k_0) = \ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x_0}\right)$
Waarbij $G(k) = \int \frac{dk}{\Phi(k)k}$ .

Betekenis: Dit stelt protocolontwerpers in staat om de eindtoestand van de pool en de groei van de invariant te berekenen zonder elke micro-stap van een transactie te simuleren, mits de fee-functie bekend is.

C. Constructie van Nul Impermanent Loss (Stelling 3)

De auteurs construeren een parametrische familie van fee-functies, $\Phi_{k_0}(k)$ , ontworpen om nul absolute Impermanent Loss te bereiken voor een specifieke initiële invariant-toestand $k_0$ .

Mechanisme: De fee is nul bij de referentietoestand ( $k=k_0$ ) en neemt monotoon toe naarmate de invariant $k$ afwijkt van $k_0$ .
Resultaat: De geaccumuleerde fee-omzet compenseert precies het verlies door herberekening voor elke transactiegrootte $\Delta x$ die start vanaf $k_0$ .
Gedrag: Voor kleine afwijkingen geldt $\Phi_{k_0}(k) \approx 2\sqrt{k/k_0 - 1}$ .

D. Onmogelijkheid van Universele Nul-IL Fees (Stelling 4)

Het artikel bewijst een negatief resultaat: Geen enkele fee-functie $\Phi(k)$ kan Impermanent Loss elimineren voor alle mogelijke initiële staten $k_0$ tegelijkertijd.

Redenering: De fee die nodig is om IL voor een specifieke $k_0$ tot nul te reduceren, is een strikt dalende functie van $k_0$ . Daarom zal een fee-functie die voor de ene initiële toestand werkt, falen voor een andere.
Conclusie: Nul-IL-mechanismen moeten toestandsbewust zijn (opnieuw berekend wanneer liquiditeit wordt toegevoegd/verwijderd) of een specifieke referentierange targeten.

4. Experimentele Validatie

De auteurs hebben hun theorie gevalideerd via numerieke experimenten:

Padonafhankelijkheid: Simulaties toonden aan dat padonafhankelijke ontwerpen ( $\Phi(k)$ ) machinenvoldoende precisie bereiken ( $\epsilon \approx 10^{-16}$ ), ongeacht transactie-fragmentatie ( $N$ ). Daarentegen vertoonde standaard Uniswap V2 (discrete fee-compounding) kleine fouten ( $\sim 10^{-5}$ ) die schaalden met fragmentatie, wat de theoretische noodzaak van de continue integraalformulering bevestigt.
Nul-IL Prestaties: De toestandsbewuste fee-functie slaagde erin nul IL te handhaven voor transacties die uitgingen van $k_0$ . Het brengt echter aanzienlijk hogere fees in rekening voor grote afwijkingen in vergelijking met een constante fee van 0,3%, wat effectief een afweging is tussen trader-kosten en LP-bescherming.
Slippage: Nul-IL fees veroorzaken iets hogere slippage voor grote transacties, wat de noodzakelijke kosten zijn om LP's volledig te compenseren.

5. Betekenis en Implicaties

Composability: Door padonafhankelijkheid te waarborgen, herstellen deze fee-structuren deterministische uitkomsten voor smart contracts die met de pool interageren, een cruciale vereiste voor complexe DeFi-composability.
Risicomodellering: LP's kunnen nu rendementen modelleren op basis van het totale volume in plaats van zich zorgen te maken over strategieën voor transactie-fragmentatie.
Protocolontwerp: Het artikel biedt een blauwdruk voor "Nul-IL" pools. Hoewel een universele oplossing onmogelijk is, kunnen protocollen toestandsbewuste fees implementeren (bijvoorbeeld via Uniswap V4 hooks) om specifieke liquiditeitsranges te targeten, waardoor LP's perfecte bescherming bieden binnen die ranges.
Afwegingen: Het werk benadrukt een fundamentele afweging: het elimineren van IL vereist dynamische, toestandsafhankelijke fees die meer in rekening brengen voor grotere transacties, wat mogelijk de liquiditeitsdiepte voor grote traders kan verminderen.

Kortom, dit artikel biedt de eerste rigoureuze wiskundige karakterisering van padonafhankelijke fees in CPMM's en toont aan dat hoewel universele nul-IL onmogelijk is, toestands-specifieke nul-IL haalbaar is via zorgvuldig ontworpen, adaptieve fee-functies.