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Characterizing Path-Independent Fees: A Route to Zero Impermanent Loss in CPMMs

本論文は、定数積型マーケットメーカーにおいて経路独立性を達成するために必要な特定の手数料構造を特徴づけ、その結果として生じるプール動態を導出し、また、特定の初期状態に対してはカスタマイズされた手数料関数を通じて一時的損失をゼロに達成可能であるが、すべてのシナリオにわたってそれを排除する普遍的な手数料は存在しないことを示す。

原著者： Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

公開日 2026-05-01

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CC BY 4.0

原著者： Andrey Voronin, Roman Vlasov, Vladimir Gorgadze, Andrey Seoev, Yury Yanovich

原論文は CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) でライセンスされています。 ✨ これは以下の論文のAI生成解説です。著者が執筆または承認したものではありません。技術的な正確性については原論文を参照してください。免責事項の全文を読む

中央の管理者なしに人々がトークンを取引するデジタル市場を想像してください。この市場は、**定数積マーケットメーカー（CPMM）**と呼ばれるスマートコントラクトによって運営されています。このコントラクトを、巨大で自己平衡するシーソーと想像してください。一方の側にはトークンAが、もう一方の側にはトークンBが置かれています。このシーソーのルールは単純です。両側の積は常に一定の数でなければなりません。トークンAを多く追加すると、バランスを保つためにコントラクトは自動的にトークンBをいくつか取り除きます。

このシーソーにトークンを預ける人々は**流動性プロバイダー（LP）と呼ばれます。彼らは取引手数料から収益を得ることを期待しています。しかし、彼らは不均衡損失（Impermanent Loss）**と呼ばれる厄介なリスクに直面します。トークンAの価格が突然急騰すると想像してください。シーソーは自動的にバランスを保つために、あなたのトークンAを売却し、より多くのトークンBを購入するようにシフトします。最終的に資金を引き出す際、あなたはポケットに持っていた場合よりも、高価なトークンAが少なく、安価なトークンBが多くなります。その差額があなたの「損失」です。

この論文は、これらの市場が現在手数料とリスクを処理する方法における 2 つの大きな問題に取り組んでいます。

1. 「分割」の問題（経路依存性）

現在、取引を行うと、コントラクトは小さな手数料（通行料のようなもの）を請求します。通常、この手数料は固定された割合です。論文は、隠れた欠陥を指摘しています。取引をどのように分割するかによって結果が変わるという点です。

比喩: 通行料を徴収する橋を渡っていると想像してください。一度に大きな一歩で渡れば、通行料は 1 回だけです。しかし、100 の小さな一歩で渡ると、現在のシステムは各一歩ごとに通行料を請求するかもしれません。総距離が同じであっても、最終的なコスト（そして最終的なポジション）は、旅をどのように分割したかによって変化します。
論文の解決策: 著者たちは、取引をどのように分割しても結果が変わらない手数料システムの正確な数学的ルールを突き止めました。1 つの巨大な塊で取引しようが、100 万の小さな破片で取引しようが、結果は完全に同じです。彼らはこれを**経路独立性（Path Independence）**と呼びます。
秘密のルール: これを機能させるために、手数料は単なるランダムな数値であってはなりません。それはシーソーの「サイズ」（プール全体の価値）に厳密に結びついている必要があります。プールが成長すれば手数料率も変化し得ますが、それは特定のトークンの組み合わせではなく、その総サイズのみに基づいて、非常に特定かつ予測可能な方法で変化しなければなりません。

2. 「ゼロ損失」の夢

論文が問う 2 番目の質問は、*資金を提供する人々にとって不均衡損失を完全に排除する手数料システムを設計できるか？*というものです。

良いニュース: はい、ただし条件があります。著者たちは特別な「魔法の手数料」の式を作成しました。プールが特定のサイズで始まれば、この手数料は動的に調整されます。
- 比喩: この手数料を賢い保険契約と想像してください。市場が少し動けば、手数料はごくわずか（ほぼ無料）です。しかし、市場が始点から遠く離れるにつれ、手数料は高くなります。取引者から徴収されたこの追加資金は、流動性プロバイダーの「損失」を完全に補填するために使用されます。
- 結果: 特定の点から始まるプールの場合、このシステムは数学的に、価格がどれだけ変動しても、流動性プロバイダーがポケットにトークンを持っていた場合と全く同じ価値で終わることを保証できます。
悪いニュース（「タダ飯なし」の定理）: 論文は、すべての開始点に対して同時に機能する普遍的な魔法の手数料は存在しないことを証明しています。
- 比喩: 1 人の人の足に完璧に合う靴を設計することはできます。しかし、すべての人間の足に同時に完璧に合う 1 足の靴を設計することはできません。
- 結論: ゼロ損失を望むなら、手数料システムは「状態認識型」でなければなりません。プールがどこから始まったかを正確に知る必要があります。プールがその開始点からあまりにも遠く離れると、「ゼロ損失」の保証は崩れ、システムをリセットするか、ある程度の損失を受け入れる必要があります。

なぜこれが重要なのか

この論文は、より良いデジタル市場を構築するための青図を提供します。

予測可能性: 「経路独立性」のある手数料を使用することで、開発者は取引の複雑さに関わらず、取引の結果が同じであることを保証できます。これによりシステムはより安全になり、その上に他のアプリを構築しやすくなります（これを「構成可能性」と呼びます）。
公平性: 「ゼロ不均衡損失」の設計は投資家を守る方法を提供しますが、市場の動きに合わせて賢くなる動的な手数料を必要とします。
現実的な確認: 特定のシナリオでは投資家を守れる一方で、すべての可能な市場状況を同時に処理する単一の完璧な手数料システムを作成することはできないことを証明しています。

要約すると、著者たちはより公平で予測可能な取引システムの数学的ルールを明らかにし、すべての関係者にとって数学が完璧に合うように手数料を徴収する方法を具体的に示しました。ただし、ルールは特定の状況に適応しなければならないという前提が受け入れられる場合に限ります。

論文「CPMM における経路非依存手数料の特性評価：ゼロ・アンバーマンント・ロスへの道」の詳細な技術的要約を以下に示す。

1. 問題定義

本論文は、Uniswap V2 などの定数積マーケットメーカー（CPMM）における 2 つの重要な課題に取り組んでいる。

経路依存性: 手数料の再投資を伴う標準的な CPMM において、取引後のプール状態（準備金と不変量 $k=xy$）は、取引がどのように分割（より小さなトランザクションに分割されるか）されたかに依存する。これは流動性提供者（LP）のリスク評価を複雑にし、戦略的な分割による裁定機会を生み出し、DeFi における構成可能性の保証を損なう。
アンバーマンント・ロス（IL）: LP は、トークン価格が初期預入比率から乖離した際に損失を被る。手数料はこれを補填するが、標準的な固定手数料モデルは IL を完全に相殺するものではなく、手数料構造と IL の間の関係は完全に特徴付けられていない。

著者らは問いかける：どのような手数料の関数形式が経路非依存を保証し、そのクラスの中で、アンバーマンント・ロスを排除する手数料を設計することは可能か？

2. 手法

著者らは、以下の数学的アプローチを組み合わせる厳密な手法を採用している。

微分幾何学と微分積分学: 取引サイズを独立変数とする常微分方程式（ODE）の系としてプールのダイナミクスをモデル化する。
積分可能性条件: 経路非依存のための必要十分条件を導出するために、微分形式の完全性を分析する。
パラメトリック構成: 特定の初期状態に対してゼロ IL 条件を満たす特定の手数料関数を導出する。
数値シミュレーション: 経路非依存設計と標準的な Uniswap V2 実装を比較する制御実験を通じて、理論的導出を検証する。

3. 主要な貢献と結果

A. 経路非依存手数料の特性評価（定理 1）

本論文は、手数料構造が経路非依存であるための必要十分条件は、結合手数料係数 $\alpha = 1 - \gamma_1\gamma_2$ （ここで $\gamma_1, \gamma_2$ は入力/出力手数料割合）が、現在のプール不変量 $k = xy$ のみに依存することであることを証明している。

数学的形態: $\alpha(x, y) = \Phi(xy) = \Phi(k)$ 。
含意: 手数料率は、不変量曲線の双曲線上で一定でなければならない。手数料が価格比率 ( $y/x$ ) または個々の準備金に依存する場合、結果は経路依存となる。
柔軟性: プロトコル設計者は、その積が条件を満たす限り、入力手数料と出力手数料の分割（ $\gamma_1$ 対 $\gamma_2$ ）を任意に変更できる。

B. 閉形式の交換公式（定理 2）

任意の経路非依存手数料関数 $\Phi(k)$ に対して、著者らはプールのダイナミクスを支配する ODE の系を導出する。これを解くことで、以下の閉形式の積分公式を得る。
$G(k_f) - G(k_0) = \ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x_0}\right)$
ここで、 $G(k) = \int \frac{dk}{\Phi(k)k}$ である。

意義: この公式により、手数料関数が既知であれば、取引のすべてのマイクロステップをシミュレートすることなく、最終的なプール状態と不変量の成長を計算することが可能になる。

C. ゼロ・アンバーマンント・ロスの構成（定理 3）

著者らは、特定の初期不変量状態 $k_0$ に対して絶対的なゼロ・アンバーマンント・ロスを達成するように設計された、パラメトリックな手数料関数の族 $\Phi_{k_0}(k)$ を構成する。

メカニズム: 手数料は基準状態（ $k=k_0$ ）においてゼロとなり、不変量 $k$ が $k_0$ から乖離するにつれて単調に増加する。
結果: 蓄積された手数料収益は、 $k_0$ から始まる任意の取引サイズ $\Delta x$ に対するリバランスによる損失を完全に相殺する。
挙動: 小さな乖離に対しては、 $\Phi_{k_0}(k) \approx 2\sqrt{k/k_0 - 1}$ となる。

D. 普遍的なゼロ IL 手数料の不可能性（定理 4）

本論文は、否定的な結果を証明している：単一の手数料関数 $\Phi(k)$ は、すべての可能な初期状態 $k_0$ に対して同時にアンバーマンント・ロスを排除することはできない。

理由論: 特定の $k_0$ に対して IL をゼロにするために必要な手数料は、 $k_0$ の関数として厳密に単調減少する。したがって、ある初期状態に対して機能する手数料関数は、別の状態に対しては失敗する。
結論: ゼロ IL メカニズムは、状態を認識する（流動性の追加/削除時に再計算される）か、または特定の基準範囲をターゲットとする必要がある。

4. 実験的検証

著者らは数値実験を通じて理論を検証した。

経路非依存性: シミュレーションにより、経路非依存設計（ $\Phi(k)$ ）は、取引の分割（ $N$ ）に関わらず機械精度（ $\epsilon \approx 10^{-16}$ ）を達成することが示された。一方、標準的な Uniswap V2（離散的手数料複利）は、分割に比例して増大する小さな誤差（ $\sim 10^{-5}$ ）を示し、連続的な積分形式の理論的必要性を確認した。
ゼロ IL パフォーマンス: 状態認識型手数料関数は、 $k_0$ から始まる取引に対してゼロ IL を維持することに成功した。しかし、これは一定の 0.3% 手数料と比較して、大きな乖離に対して著しく高い手数料を課すものであり、LP 保護のためにトレーダーのコストとトレードオフされている。
スリッページ: ゼロ IL 手数料は、大規模な取引に対してわずかに高いスリッページを誘発する。これは LP を完全に補償するために必要なコストである。

5. 意義と含意

構成可能性: 経路非依存性を保証することで、これらの手数料構造はプールと相互作用するスマートコントラクトに対して決定論的な結果を回復させ、複雑な DeFi 構成可能性にとって不可欠な要件を満たす。
リスクモデリング: LP は、取引分割戦略を気にすることなく、集計されたボリュームに基づいて収益をモデル化できるようになる。
プロトコル設計: 本論文は「ゼロ IL」プールの青写真を提供する。普遍的な解決策は不可能であるが、プロトコルは（Uniswap V4 のフックを介してなど）状態認識型手数料を実装し、特定の流動性範囲をターゲットにすることで、その範囲内で LP に完璧な保護を提供できる。
トレードオフ: この研究は、根本的なトレードオフを浮き彫りにしている。IL を排除するには、大規模な取引に対してより多くを課す動的で状態依存の手数料が必要であり、これは大規模なトレーダーにとっての流動性の深さを減少させる可能性がある。

要約すると、本論文は CPMM における経路非依存手数料の最初の厳密な数学的特徴付けを提供し、普遍的なゼロ IL は不可能であるが、慎重に設計された適応型手数料関数を通じて、状態固有のゼロ IL は達成可能であることを実証している。