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On a conjecture of Goldmakher

Diese Arbeit widerlegt eine 2009 von Goldmakher aufgestellte Vermutung durch die Konstruktion einer 1-beschränkten vollständig multiplikativen Funktion, deren logarithmisch gemittelte Partialsummen im Verhältnis zu einem bestimmten exponentiellen Term, der ihre Werte auf den Primzahlen beinhaltet, unbeschränkt wachsen.

Ursprüngliche Autoren: Alexander P. Mangerel

Veröffentlicht 2026-05-29

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Alexander P. Mangerel

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Das große Ganze: Eine Wette über Zahlen

Stellen Sie sich einen riesigen Sack mit Murmeln vor, die jeweils mit einer ganzen Zahl beschriftet sind (1, 2, 3, 4...). Einige dieser Murmeln sind „besonders". Mathematiker haben eine Regel, um zu entscheiden, ob eine Murmel besonders ist, basierend auf ihren Primfaktoren (den Bausteinen der Zahlen). Nennen wir diese Regel $f$ .

Das Paper handelt von einer spezifischen Wette (einer Vermutung), die 2009 von einem Mathematiker namens Goldmakher aufgestellt wurde. Goldmakher wollte wissen: Wie groß kann die „Summe" dieser besonderen Murmeln werden?

Um die Wette zu verstehen, benötigen wir zwei Konzepte:

Die Summe ( $L_f(x)$ ): Stellen Sie sich vor, Sie addieren die Werte der besonderen Murmeln, während Sie von 1 bis zu einer sehr großen Zahl $x$ gehen. Goldmakher interessierte sich für eine spezifische Art, sie zu addieren (genannt „logarithmisch gemittelt"), die kleineren Zahlen mehr Gewicht gibt, aber dennoch den gesamten Bereich berücksichtigt.
Die „Distanz" ( $D$ ): Stellen Sie sich eine „Standard"-Murmeln vor, die einfach eine langweilige 1 ist. Goldmakhers Regel lautete: Wenn Ihre besonderen Murmeln den langweiligen 1er sehr ähnlich sehen (mathematisch gesprochen, wenn sie in einem bestimmten Sinne „weit entfernt" sind), dann sollte Ihre Summe klein bleiben. Wenn Ihre Summe riesig wird, muss es daran liegen, dass Ihre Murmeln heimlich so tun, als wären sie langweilige 1er.

Goldmakhers Vermutung: „Wenn die Summe riesig wird, liegt es nur daran, dass die Zahlen so tun, als wären sie 1er. Wenn sie es nicht so tun, muss die Summe klein sein."

Die Wendung: Das Gegenbeispiel

Alexander Mangerel, der Autor dieses Papers, sagt: „Goldmakher liegt falsch."

Mangerel konstruierte eine sehr spezifische, trickreiche Regel für die Murmeln (eine Funktion $f$ ), die die Wette bricht. Er fand einen Fall, in dem:

Die Murmeln nicht so tun, als wären sie 1er (sie sind „weit entfernt" von den langweiligen 1ern).
Und doch wird die Summe der Murmeln enorm groß.

Es ist wie der Fund eines Magiers, der einen Haufen Goldmünzen aus dem Nichts erscheinen lassen kann, obwohl er eine völlig andere Regel verwendet als der Standard-Zauberkunstgriff, von dem alle dachten, er sei erforderlich.

Wie hat er das gemacht? (Die Konstruktion)

Um dies zu beweisen, musste Mangerel ein mathematisches „Monster" bauen – eine Funktion, die sich auf eine sehr spezifische, chaotische Weise verhält. Hier ist die Analogie seiner Konstruktion:

Das „Vorgebliche" vs. Das „Rebellische"
Normalerweise wächst die Summe langsam, wenn Zahlen wie 1er agieren. Wenn sie wie 1er agieren, sind sie „vorgeblich" (im mathematischen Sinne der „Vorgeblichkeit", wie sie von Granville und Soundararajan eingeführt wurde). Goldmakher dachte, wenn sie nicht vorgeblich wären, würde die Summe gezähmt werden.

Mangerels Trick bestand darin, eine Funktion zu erstellen, die sich auf sehr spezifische Weise rebellisch verhält.

Stellen Sie sich vor, Sie hören einem Radiosender zu. Normalerweise ist das Signal an einer bestimmten Frequenz am stärksten (nennen wir es „Sender 1").
Goldmakher dachte, wenn Sie sich von Sender 1 wegstimmen, würde das Signal (die Summe) zur Stille verhallen.
Mangerel baute ein Radio, bei dem, wenn Sie es leicht vom Sender wegstimmen (auf eine Frequenz $\xi$ ), das Signal tatsächlich in der Lautstärke explodiert.

Er tat dies, indem er die „Werte" der Murmeln bei Primzahlen sorgfältig auswählte. Er ließ sie in einem Muster tanzen, das das „Rauschen" an der Standardfrequenz auslöscht, aber einen massiven „Peak" an einer leicht anderen Frequenz erzeugt. Dieser Peak ist so stark, dass er die erwarteten Grenzen überfordert und beweist, dass die Summe riesig sein kann, selbst wenn die Zahlen nicht so tun, als wären sie 1er.

Das „Unendliche Patchwork"

Das Paper hat zwei Hauptteile:

Der endliche Maßstab (Der Prototyp): Zuerst beweist er, dass er für jede große Zahl $x$ einen vorübergehenden Regelsatz bauen kann, der die Wette bei dieser spezifischen Größe bricht. Es ist wie der Bau einer temporären Brücke, die unter einem bestimmten Gewicht einstürzt.
Der unendliche Maßstab (Das finale Monster): Der schwierige Teil besteht darin, einen einzigen, dauerhaften Regelsatz zu erstellen, der die Wette für immer bricht, nicht nur einmal.
- Mangerel verwendet eine „Patchwork"-Methode. Er baut eine Funktion für einen kleinen Bereich, erweitert sie dann auf einen größeren Bereich und erweitert sie erneut.
- Er näht diese wie einen Quilt zusammen. Jedes neue Stück ist so konzipiert, dass es die Wette in einem neuen, größeren Maßstab bricht, während die vorherigen Stücke intakt bleiben.
- Da er dies unendlich oft tun kann, erstellt er eine einzige, unendliche Funktion, die Goldmakhers Regel unendlich oft bricht.

Das Fazit

Das Paper kommt zu dem Schluss, dass Goldmakhers Formel zur Vorhersage, wie groß diese Summen werden können, falsch ist.

Die Quintessenz:
Mathematiker glaubten, es gäbe eine einfache Beziehung: „Wenn die Zahlen nicht wie 1er agieren, bleibt die Summe klein." Mangerel zeigte, dass das Universum der Zahlen chaotischer ist als das. Man kann Zahlen haben, die völlig anders sind als 1er, und doch kann ihre Summe beliebig groß wachsen. Die „Distanz" von 1 ist nicht das Einzige, was die Größe der Summe steuert.

Kurz gesagt: Goldmakher dachte, er hätte eine Karte, auf der stand: „Wenn Sie weit vom Zuhause (1) weggehen, können Sie nicht sehr weit kommen." Mangerel fand einen geheimen Pfad, der es Ihnen ermöglicht, unendlich weit zu reisen, selbst wenn Sie nie wirklich nach Hause gehen.

Technische Zusammenfassung: Zu einer Vermutung von Goldmakher

Problemstellung
Der Artikel behandelt eine Vermutung, die Goldmakher 2009 bezüglich des Verhaltens logarithmisch gemittelter Partialsummen von 1-beschränkten, vollständig multiplikativen Funktionen aufgestellt hat. Sei $\mathcal{F}$ die Menge solcher Funktionen $f: \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ mit $|f(n)| \le 1$ . Für $f \in \mathcal{F}$ ist die logarithmische Partialsumme definiert als $L_f(x) = \sum_{n \le x} f(n)/n$ .

Goldmakhers Vermutung besagt, dass die Größe von $L_f(x)$ durch den „pretentious distance" (Vorstellungsabstand) von $f$ zur konstanten Funktion $1$ kontrolliert wird. Konkret wird behauptet, dass für jedes $1 \le y \le x$ gilt:
$\sum_{n \le x, p|n \implies p \le y} \frac{f(n)}{n} \ll 1 + (\log y) e^{-D(f, 1; y)^2},$
wobei $D(f, g; z) = \left( \sum_{p \le z} \frac{1 - \text{Re}(f(p)\overline{g(p)})}{p} \right)^{1/2}$ .

Im Kern legt diese Vermutung nahe, dass $L_f(x)$ nur dann groß (oder unbeschränkt) sein kann, wenn $f$ „vortäuscht", die konstante Funktion $1$ zu sein (d. h., wenn $D(f, 1; x)^2$ langsam wächst). Dies steht im Gegensatz zu gewöhnlichen Partialsummen, bei denen große Werte bekanntermaßen auftreten, wenn $f$ $n^{it}$ für ein $t \in \mathbb{R}$ vortäuscht. Während frühere Arbeiten von Granville und Soundararajan eine schwächere Schranke mit einem Exponenten von $1/2$ im Exponentialterm etablierten und spätere Arbeiten von Granville und dem Autor einen optimalen Exponenten von $\lambda \approx 0.8221$ für bestimmte Konstruktionen zeigten, blieb die spezifische Form von Goldmakhers Vermutung (mit Exponent $1$) bisher nicht widerlegt.

Methodik
Der Artikel konstruiert ein Gegenbeispiel durch die Analyse der Beziehung zwischen den logarithmischen Summen $L_f(x)$ und den Dirichlet-Reihen $L(s, f) = \sum f(n)n^{-s}$ . Die Kernstrategie umfasst folgende Schritte:

Perronsche Formel und Peak-Analyse: Der Autor setzt die Partialsummen in Beziehung zum Verhalten der Funktion $L(\sigma + it, f)\zeta(\sigma + it)$ in der Nähe der Linie $\sigma = 1 + 1/\log x$ . Goldmakhers Vermutung implizit vorausgesetzt, dass der dominante Beitrag zum Integral vom Peak bei $t=0$ stammt (entsprechend dem Vortäuschen von $1$ durch $f$ ).
Konstruktion eines „konkurrierenden" Peaks: Der Autor konstruiert eine spezifische Funktion $f$ , die so gestaltet ist, dass sie einen dominanten Peak bei einer nicht-verschwindenden Frequenz $t = \xi$ erzeugt (wobei $\xi \to 0$ für $x \to \infty$ ). Dies wird erreicht, indem $f(p)$ für Primzahlen so definiert wird, dass der Realteil der logarithmischen Ableitung bei $\sigma + i\xi$ optimiert wird und nicht bei $\sigma$ .
Definition der Gegenbeispiel-Funktion: Für einen großen Maßstab $x$ wählt der Autor einen Parameter $\xi = (\log x)^{-\alpha}$ und definiert $f(p) = R(p) + iI(p)$ basierend auf den Werten von $\cos(\xi \log p)$ und $\sin(\xi \log p)$ . Der Realteil $R(p)$ wird in bestimmten Intervallen so gewählt, dass er etwas kleiner ist als $\cos(\xi \log p)$ , um sicherzustellen, dass die Summe $\sum_{p \le x} \text{Re}((1-f(p))(1-p^{-i\xi}))/p$ negativ ist. Dadurch wird $|L(\sigma + i\xi, f)|$ signifikant größer als $|L(\sigma, f)|$ .
Herleitung der Ungleichung: Die Konstruktion stellt sicher, dass:
$|L(\sigma + i\xi, f)\zeta(\sigma + i\xi)| \gg (\sigma - 1)^{-c} |L(\sigma, f)\zeta(\sigma)|$
für eine Konstante $c > 0$ gilt. Dieser zusätzliche Faktor $(\sigma - 1)^{-c}$ ist entscheidend, da er es dem Peak bei $\xi$ ermöglicht, die Integraldarstellung der Partialsummen zu dominieren und damit die von der Vermutung vorhergesagte Schranke zu verletzen.
Induktives Patching: Um die Existenz einer einzigen Funktion $f$ zu beweisen, die die Schranke unendlich oft verletzt (und nicht nur bei einem einzelnen Maßstab), verwendet der Autor ein induktives Argument. Er konstruiert eine Folge von Funktionen $f_k$ und Maßstäben $x_k^*$ , wobei jede $f_{k+1}$ mit $f_k$ bis zu einem bestimmten Punkt übereinstimmt, aber für größere Primzahlen modifiziert wird, um eine neue Verletzung bei einem größeren Maßstab zu erzeugen.

Hauptergebnisse
Der Artikel etabliert zwei Hauptsätze:

Satz 1.3 (Gegenbeispiel für endlichen Maßstab): Für jede Konstante $C > 0$ existiert eine Schwelle $x_0(C)$ , sodass für jedes $x \ge x_0(C)$ eine Funktion $f \in \mathcal{F}$ existiert, die erfüllt:
$L_f(x) \ge C \left( 1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2} \right).$
Dies zeigt, dass die Schranke in Goldmakhers Vermutung für jede feste Konstante $C$ bei hinreichend großen Maßstäben versagt.
Satz 1.2 (Globales Gegenbeispiel): Es existiert eine einzige Funktion $f \in \mathcal{F}$ , sodass:
$\limsup_{x \to \infty} \frac{|L_f(x)|}{1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2}} = \infty.$
Dies widerlegt Goldmakhers Vermutung endgültig.

Bedeutung
Der Artikel löst ein spezifisches offenes Problem in der Theorie der multiplikativen Funktionen, indem er zeigt, dass die Größe logarithmischer Partialsummen nicht allein durch den pretentious distance zur konstanten Funktion $1$ mit einem Exponenten von $1$ beschränkt werden kann.

Der Autor weist darauf hin, dass zwar frühere Ergebnisse (wie die von Granville und dem Autor) aufgrund der Optimalität des Exponenten $\lambda \approx 0.8221$ nahelegten, dass die Vermutung falsch sein könnte, diese spezifischen Gegenbeispiele jedoch $L_f(x) \ll 1$ erfüllten und somit die Vermutung nicht direkt widerlegten. Die Bedeutung dieser Arbeit liegt in der Konstruktion einer Funktion, bei der die logarithmischen Summen im Verhältnis zur vorhergesagten Schranke genuinely unbeschränkt sind. Dies demonstriert, dass das „Vortäuschen" von $n^{i\xi}$ für kleines $\xi$ die logarithmischen Summen tatsächlich beliebig groß treiben kann, selbst wenn der Abstand zu $1$ groß ist.

Die Arbeit stützt sich auf Standardwerkzeuge der analytischen Zahlentheorie, einschließlich des Mertens-Theorems, der Perronschen Formel und der Halberstam-Richert-Schranken, wendet sie jedoch in einer neuartigen Konstruktion an, um das Verhalten logarithmischer Summen von der Standard-Heuristik des pretentious distance zu trennen.

Das große Ganze: Eine Wette über Zahlen

Die Wendung: Das Gegenbeispiel

Wie hat er das gemacht? (Die Konstruktion)

Das „Unendliche Patchwork"

Das Fazit

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