On a conjecture of Goldmakher

Résumé technique : Sur une conjecture de Goldmakher

Énoncé du problème
L'article traite d'une conjecture proposée par Goldmakher en 2009 concernant le comportement des sommes partielles moyennées logarithmiquement de fonctions multiplicatives complètement bornées par 1. Soit $\mathcal{F}$ l'ensemble de telles fonctions $f: \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ avec $|f(n)| \le 1$. Pour $f \in \mathcal{F}$, la somme partielle logarithmique est définie par $L_f(x) = \sum_{n \le x} f(n)/n$.

La conjecture de Goldmakher postule que l'amplitude de $L_f(x)$ est contrôlée par la « distance prétentieuse » de $f$ par rapport à la fonction constante $1$. Plus précisément, elle affirme que pour tout $1 \le y \le x$ :
$$\sum_{n \le x, p|n \implies p \le y} \frac{f(n)}{n} \ll 1 + (\log y) e^{-D(f, 1; y)^2},$$
où $D(f, g; z) = \left( \sum_{p \le z} \frac{1 - \text{Re}(f(p)\overline{g(p)})}{p} \right)^{1/2}$.

Morale, cette conjecture suggère que $L_f(x)$ ne peut être grand (ou non borné) que si $f$ « prétend » être la fonction constante $1$ (c'est-à-dire que $D(f, 1; x)^2$ croît lentement). Cela contraste avec les sommes partielles ordinaires, où l'on sait que de grandes valeurs se produisent lorsque $f$ prétend être $n^{it}$ pour un certain $t \in \mathbb{R}$. Bien que des travaux antérieurs de Granville et Soundararajan aient établi une borne plus faible avec un exposant de $1/2$ dans le terme exponentiel, et que des travaux ultérieurs de Granville et de l'auteur aient montré un exposant optimal de $\lambda \approx 0,8221$ pour certaines constructions, la forme spécifique de la conjecture de Goldmakher (avec un exposant $1$) restait non réfutée.

Méthodologie
L'article construit un contre-exemple en analysant la relation entre les sommes logarithmiques $L_f(x)$ et les séries de Dirichlet $L(s, f) = \sum f(n)n^{-s}$. La stratégie centrale implique les étapes suivantes :

1. Formule de Perron et analyse des pics : L'auteur relie les sommes partielles au comportement de la fonction $L(\sigma + it, f)\zeta(\sigma + it)$ près de la droite $\sigma = 1 + 1/\log x$. La conjecture de Goldmakher suppose implicitement que la contribution dominante à l'intégrale provient du pic en $t=0$ (correspondant à $f$ prétendant être $1$).
2. Construction d'un pic « concurrent » : L'auteur construit une fonction spécifique $f$ conçue pour créer un pic dominant à une fréquence non nulle $t = \xi$ (où $\xi \to 0$ lorsque $x \to \infty$). Cela est réalisé en définissant $f(p)$ sur les nombres premiers de telle sorte que la partie réelle de la dérivée logarithmique soit optimisée en $\sigma + i\xi$ plutôt qu'en $\sigma$.
3. Définition de la fonction contre-exemple : Pour une échelle $x$ grande, l'auteur sélectionne un paramètre $\xi = (\log x)^{-\alpha}$ et définit $f(p) = R(p) + iI(p)$ en fonction des valeurs de $\cos(\xi \log p)$ et $\sin(\xi \log p)$. La partie réelle $R(p)$ est choisie pour être légèrement inférieure à $\cos(\xi \log p)$ dans des intervalles spécifiques afin de s'assurer que la somme $\sum_{p \le x} \text{Re}((1-f(p))(1-p^{-i\xi}))/p$ est négative, rendant ainsi $|L(\sigma + i\xi, f)|$ significativement plus grand que $|L(\sigma, f)|$.
4. Déduction d'une inégalité : La construction garantit que :
   $$|L(\sigma + i\xi, f)\zeta(\sigma + i\xi)| \gg (\sigma - 1)^{-c} |L(\sigma, f)\zeta(\sigma)|$$
   pour une certaine constante $c > 0$. Ce facteur supplémentaire $(\sigma - 1)^{-c}$ est crucial, car il permet au pic en $\xi$ de dominer la représentation intégrale des sommes partielles, violant ainsi la borne prédite par la conjecture.
5. Raccordement inductif : Pour prouver l'existence d'une seule fonction $f$ qui viole la borne infiniment souvent (plutôt que seulement à une échelle unique), l'auteur utilise un argument inductif. Il construit une suite de fonctions $f_k$ et d'échelles $x_k^*$, où chaque $f_{k+1}$ coïncide avec $f_k$ jusqu'à un certain point mais est modifiée pour les plus grands nombres premiers afin de créer une nouvelle violation à une échelle plus grande.

Résultats clés
L'article établit deux théorèmes principaux :

• Théorème 1.3 (Contre-exemple à échelle finie) : Pour toute constante $C > 0$, il existe un seuil $x_0(C)$ tel que pour tout $x \ge x_0(C)$, il existe une fonction $f \in \mathcal{F}$ satisfaisant :
  $$L_f(x) \ge C \left( 1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2} \right).$$
  Cela démontre que la borne de la conjecture de Goldmakher échoue pour toute constante fixe $C$ à des échelles suffisamment grandes.

• Théorème 1.2 (Contre-exemple global) : Il existe une seule fonction $f \in \mathcal{F}$ telle que :
  $$\limsup_{x \to \infty} \frac{|L_f(x)|}{1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2}} = \infty.$$
  Cela réfute définitivement la conjecture de Goldmakher.

Signification
L'article résout un problème ouvert spécifique dans la théorie des fonctions multiplicatives en montrant que la taille des sommes partielles logarithmiques ne peut pas être bornée uniquement par la distance prétentieuse à la fonction constante $1$ avec un exposant de $1$.

L'auteur note que, bien que des résultats antérieurs (tels que ceux de Granville et de l'auteur) aient suggéré que la conjecture pourrait être fausse en raison de l'optimalité de l'exposant $\lambda \approx 0,8221$, ces contre-exemples spécifiques satisfaisaient $L_f(x) \ll 1$ et n'ont donc pas réfuté directement la conjecture. L'importance de ce travail réside dans la construction d'une fonction où les sommes logarithmiques sont véritablement non bornées par rapport à la borne prédite, démontrant que « prétendre » être $n^{i\xi}$ pour un petit $\xi$ peut effectivement entraîner des sommes logarithmiques arbitrairement grandes, même lorsque la distance à $1$ est grande.

Le travail repose sur des outils standards de la théorie analytique des nombres, notamment le théorème de Mertens, la formule de Perron et les bornes de Halberstam-Richert, mais les applique dans une construction novatrice pour séparer le comportement des sommes logarithmiques de l'heuristique standard de la distance prétentieuse.