On a conjecture of Goldmakher

Sintesi Tecnica: Su una Congettura di Goldmakher

Enunciato del Problema
Il lavoro affronta una congettura proposta da Goldmakher nel 2009 riguardante il comportamento delle somme parziali mediate logaritmicamente di funzioni completamente moltiplicative limitate da 1. Sia $\mathcal{F}$ l'insieme di tali funzioni $f: \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ con $|f(n)| \le 1$. Per $f \in \mathcal{F}$, la somma parziale logaritmica è definita come $L_f(x) = \sum_{n \le x} f(n)/n$.

La congettura di Goldmakher ipotizza che il modulo di $L_f(x)$ sia controllato dalla "distanza pretenziosa" di $f$ dalla funzione costante $1$. Nello specifico, asserisce che per ogni $1 \le y \le x$:
$$\sum_{n \le x, p|n \implies p \le y} \frac{f(n)}{n} \ll 1 + (\log y) e^{-D(f, 1; y)^2},$$
dove $D(f, g; z) = \left( \sum_{p \le z} \frac{1 - \text{Re}(f(p)\overline{g(p)})}{p} \right)^{1/2}$.

Moralmente, questa congettura suggerisce che $L_f(x)$ possa essere grande (o illimitata) solo se $f$ "finge" di essere la funzione costante $1$ (cioè se $D(f, 1; x)^2$ cresce lentamente). Ciò sta in contrasto con le somme parziali ordinarie, dove è noto che si verificano valori grandi quando $f$ finge di essere $n^{it}$ per qualche $t \in \mathbb{R}$. Sebbene lavori precedenti di Granville e Soundararajan avessero stabilito un limite più debole con un esponente di $1/2$ nel termine esponenziale, e lavori successivi di Granville e dell'autore avessero mostrato un esponente ottimale di $\lambda \approx 0.8221$ per certe costruzioni, la forma specifica della congettura di Goldmakher (con esponente $1$) era rimasta non smentita.

Metodologia
Il lavoro costruisce un controesempio analizzando la relazione tra le somme logaritmiche $L_f(x)$ e le serie di Dirichlet $L(s, f) = \sum f(n)n^{-s}$. La strategia centrale comporta i seguenti passaggi:

1. Formula di Perron e Analisi del Picco: L'autore mette in relazione le somme parziali con il comportamento della funzione $L(\sigma + it, f)\zeta(\sigma + it)$ vicino alla retta $\sigma = 1 + 1/\log x$. La congettura di Goldmakher assume implicitamente che il contributo dominante all'integrale provenga dal picco in $t=0$ (corrispondente a $f$ che finge di essere $1$).
2. Costruzione di un Picco "Competitivo": L'autore costruisce una specifica funzione $f$ progettata per creare un picco dominante a una frequenza non nulla $t = \xi$ (dove $\xi \to 0$ quando $x \to \infty$). Ciò è ottenuto definendo $f(p)$ sui primi in modo che la parte reale della derivata logaritmica sia ottimizzata in $\sigma + i\xi$ piuttosto che in $\sigma$.
3. Definizione della Funzione Controesempio: Per una scala grande $x$, l'autore seleziona un parametro $\xi = (\log x)^{-\alpha}$ e definisce $f(p) = R(p) + iI(p)$ basandosi sui valori di $\cos(\xi \log p)$ e $\sin(\xi \log p)$. La parte reale $R(p)$ è scelta per essere leggermente inferiore a $\cos(\xi \log p)$ in intervalli specifici per garantire che la somma $\sum_{p \le x} \text{Re}((1-f(p))(1-p^{-i\xi}))/p$ sia negativa, rendendo così $|L(\sigma + i\xi, f)|$ significativamente più grande di $|L(\sigma, f)|$.
4. Derivazione della Disuguaglianza: La costruzione garantisce che:
   $$|L(\sigma + i\xi, f)\zeta(\sigma + i\xi)| \gg (\sigma - 1)^{-c} |L(\sigma, f)\zeta(\sigma)|$$
   per una certa costante $c > 0$. Questo fattore aggiuntivo $(\sigma - 1)^{-c}$ è cruciale, poiché permette al picco in $\xi$ di dominare la rappresentazione integrale delle somme parziali, violando il limite previsto dalla congettura.
5. Riparazione Induttiva: Per dimostrare l'esistenza di una singola funzione $f$ che viola il limite infinite volte (anziché solo a una singola scala), l'autore utilizza un argomento induttivo. Costruisce una successione di funzioni $f_k$ e scale $x_k^*$, dove ogni $f_{k+1}$ coincide con $f_k$ fino a un certo punto ma viene modificata per primi più grandi per creare una nuova violazione a una scala maggiore.

Risultati Chiave
Il lavoro stabilisce due teoremi principali:

• Teorema 1.3 (Controesempio a Scala Finita): Per ogni costante $C > 0$, esiste una soglia $x_0(C)$ tale che per ogni $x \ge x_0(C)$, esiste una funzione $f \in \mathcal{F}$ che soddisfa:
  $$L_f(x) \ge C \left( 1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2} \right).$$
  Ciò dimostra che il limite nella congettura di Goldmakher fallisce per qualsiasi costante fissa $C$ a scale sufficientemente grandi.

• Teorema 1.2 (Controesempio Globale): Esiste una singola funzione $f \in \mathcal{F}$ tale che:
  $$\limsup_{x \to \infty} \frac{|L_f(x)|}{1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2}} = \infty.$$
  Ciò smentisce definitivamente la congettura di Goldmakher.

Significato
Il lavoro risolve un problema aperto specifico nella teoria delle funzioni moltiplicative mostrando che la grandezza delle somme parziali logaritmiche non può essere limitata esclusivamente dalla distanza pretenziosa verso la funzione costante $1$ con un esponente di $1$.

L'autore nota che, sebbene risultati precedenti (come quelli di Granville e dell'autore) avessero suggerito che la congettura potesse essere falsa a causa dell'ottimalità dell'esponente $\lambda \approx 0.8221$, quei specifici controesempi soddisfacevano $L_f(x) \ll 1$ e quindi non smentivano direttamente la congettura. Il significato di questo lavoro risiede nella costruzione di una funzione in cui le somme logaritmiche sono genuinamente illimitate rispetto al limite previsto, dimostrando che "fingere" di essere $n^{i\xi}$ per $\xi$ piccolo può effettivamente spingere le somme logaritmiche ad essere arbitrariamente grandi, anche quando la distanza da $1$ è grande.

Il lavoro si avvale di strumenti standard nella teoria dei numeri analitica, inclusi il teorema di Mertens, la formula di Perron e i limiti di Halberstam-Richert, ma li applica in una costruzione innovativa per separare il comportamento delle somme logaritmiche dall'euristica standard della distanza pretenziosa.