On a conjecture of Goldmakher

Technische Samenvatting: Over een Vermoeden van Goldmakher

Probleemstelling
Het artikel behandelt een vermoeden dat Goldmakher in 2009 formuleerde met betrekking tot het gedrag van logaritmisch gemiddelde partiële sommen van 1-grens, volledig multiplicatieve functies. Laat $\mathcal{F}$ de verzameling aanduiden van dergelijke functies $f: \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ met $|f(n)| \le 1$. Voor $f \in \mathcal{F}$ wordt de logaritmische partiële som gedefinieerd als $L_f(x) = \sum_{n \le x} f(n)/n$.

Goldmakhers vermoeden stelt dat de grootte van $L_f(x)$ wordt beheerst door de "pretentieuze afstand" van $f$ tot de constante functie $1$. Specifiek wordt er beweerd dat voor elke $1 \le y \le x$:
$$\sum_{n \le x, p|n \implies p \le y} \frac{f(n)}{n} \ll 1 + (\log y) e^{-D(f, 1; y)^2},$$
waarbij $D(f, g; z) = \left( \sum_{p \le z} \frac{1 - \text{Re}(f(p)\overline{g(p)})}{p} \right)^{1/2}$.

Moreel gezien suggereert dit vermoeden dat $L_f(x)$ alleen groot (of onbegrensd) kan zijn als $f$ "pretentieus" de constante functie $1$ nabootst (d.w.z. als $D(f, 1; x)^2$ langzaam groeit). Dit staat in contrast met gewone partiële sommen, waarbij bekend is dat grote waarden optreden wanneer $f$ $n^{it}$ nabootst voor zekere $t \in \mathbb{R}$. Hoewel eerdere werken van Granville en Soundararajan een zwakkere schatting vestigden met een exponent van $1/2$ in de exponentiële term, en latere werken van Granville en de auteur een optimale exponent van $\lambda \approx 0.8221$ toonden voor bepaalde constructies, bleef de specifieke vorm van Goldmakhers vermoeden (met exponent $1$) weerlegd.

Methodologie
Het artikel construeert een tegenvoorbeeld door de relatie tussen de logaritmische sommen $L_f(x)$ en de Dirichlet-reeks $L(s, f) = \sum f(n)n^{-s}$ te analyseren. De kernstrategie omvat de volgende stappen:

1. Perrons Formule en Piekanalyse: De auteur relateert de partiële sommen aan het gedrag van de functie $L(\sigma + it, f)\zeta(\sigma + it)$ in de buurt van de lijn $\sigma = 1 + 1/\log x$. Goldmakhers vermoeden impliceert dat de dominante bijdrage aan het integraal afkomstig is van de piek bij $t=0$ (corresponderend met $f$ dat $1$ nabootst).
2. Constructie van een "Concurrerende" Pieken: De auteur construeert een specifieke functie $f$ die is ontworpen om een dominante piek te creëren bij een niet-nul frequentie $t = \xi$ (waarbij $\xi \to 0$ als $x \to \infty$). Dit wordt bereikt door $f(p)$ op priemgetallen te definiëren zodanig dat het reële deel van de logaritmische afgeleide wordt geoptimaliseerd bij $\sigma + i\xi$ in plaats van bij $\sigma$.
3. Definiëren van de Tegenvoorbeeldfunctie: Voor een grote schaal $x$ kiest de auteur een parameter $\xi = (\log x)^{-\alpha}$ en definieert $f(p) = R(p) + iI(p)$ op basis van de waarden van $\cos(\xi \log p)$ en $\sin(\xi \log p)$. Het reële deel $R(p)$ wordt zodanig gekozen dat het iets kleiner is dan $\cos(\xi \log p)$ in specifieke intervallen, om te waarborgen dat de som $\sum_{p \le x} \text{Re}((1-f(p))(1-p^{-i\xi}))/p$ negatief is, waardoor $|L(\sigma + i\xi, f)|$ aanzienlijk groter wordt dan $|L(\sigma, f)|$.
4. Afleiding van Ongelijkheid: De constructie waarborgt dat:
   $$|L(\sigma + i\xi, f)\zeta(\sigma + i\xi)| \gg (\sigma - 1)^{-c} |L(\sigma, f)\zeta(\sigma)|$$
   voor zekere constante $c > 0$. Deze extra factor $(\sigma - 1)^{-c}$ is cruciaal, omdat deze toelaat dat de piek bij $\xi$ de integraalrepresentatie van de partiële sommen domineert, waardoor de door het vermoeden voorspelde schatting wordt geschonden.
5. Inductief Patchen: Om het bestaan van één enkele functie $f$ te bewijzen die de schatting oneindig vaak schendt (in plaats van slechts bij één schaal), gebruikt de auteur een inductief argument. Zij construeren een rij functies $f_k$ en schalen $x_k^*$, waarbij elke $f_{k+1}$ overeenkomt met $f_k$ tot een bepaald punt, maar wordt gemodificeerd voor grotere priemgetallen om een nieuwe schending te creëren bij een grotere schaal.

Belangrijkste Resultaten
Het artikel vestigt twee hoofdtheorema's:

• Theorema 1.3 (Tegenvoorbeeld op Eindige Schaal): Voor elke constante $C > 0$ bestaat er een drempel $x_0(C)$ zodanig dat voor elke $x \ge x_0(C)$ er een functie $f \in \mathcal{F}$ bestaat die voldoet aan:
  $$L_f(x) \ge C \left( 1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2} \right).$$
  Dit toont aan dat de schatting in Goldmakhers vermoeden faalt voor elke vaste constante $C$ bij voldoende grote schalen.

• Theorema 1.2 (Globaal Tegenvoorbeeld): Er bestaat één enkele functie $f \in \mathcal{F}$ zodanig dat:
  $$\limsup_{x \to \infty} \frac{|L_f(x)|}{1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2}} = \infty.$$
  Dit weerlegt Goldmakhers vermoeden definitief.

Betekenis
Het artikel lost een specifiek open probleem op in de theorie van multiplicatieve functies door aan te tonen dat de grootte van logaritmische partiële sommen niet uitsluitend kan worden begrensd door de pretentieuze afstand tot de constante functie $1$ met een exponent van $1$.

De auteur merkt op dat hoewel eerdere resultaten (zoals die van Granville en de auteur) suggereerden dat het vermoeden onwaar zou kunnen zijn vanwege de optimaliteit van de exponent $\lambda \approx 0.8221$, die specifieke tegenvoorbeelden voldeden aan $L_f(x) \ll 1$ en dus het vermoeden niet direct weerlegden. De betekenis van dit werk ligt in het construeren van een functie waarbij de logaritmische sommen oprecht onbegrensd zijn ten opzichte van de voorspelde schatting, wat aantoont dat "pretentieus" $n^{i\xi}$ nabootsen voor kleine $\xi$ de logaritmische sommen inderdaad willekeurig groot kan maken, zelfs wanneer de afstand tot $1$ groot is.

Het werk vertrouwt op standaardtools in de analytische getaltheorie, waaronder Mertens' stelling, Perrons formule en de Halberstam-Richert-schattingen, maar past deze toe in een nieuwe constructie om het gedrag van logaritmische sommen te scheiden van de standaard pretentieuze afstand-heuristiek.