On a conjecture of Goldmakher

Resumen Técnico: Sobre una Conjetura de Goldmakher

Enunciado del Problema
El artículo aborda una conjetura propuesta por Goldmakher en 2009 respecto al comportamiento de las sumas parciales promediadas logarítmicamente de funciones completamente multiplicativas acotadas por 1. Sea $\mathcal{F}$ la colección de tales funciones $f: \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ con $|f(n)| \le 1$. Para $f \in \mathcal{F}$, la suma parcial logarítmica se define como $L_f(x) = \sum_{n \le x} f(n)/n$.

La conjetura de Goldmakher postula que la magnitud de $L_f(x)$ está controlada por la "distancia pretenciosa" de $f$ respecto a la función constante $1$. Específicamente, afirma que para cualquier $1 \le y \le x$:
$$\sum_{n \le x, p|n \implies p \le y} \frac{f(n)}{n} \ll 1 + (\log y) e^{-D(f, 1; y)^2},$$
donde $D(f, g; z) = \left( \sum_{p \le z} \frac{1 - \text{Re}(f(p)\overline{g(p)})}{p} \right)^{1/2}$.

Moralmente, esta conjetura sugiere que $L_f(x)$ solo puede ser grande (o no acotada) si $f$ "pretende" ser la función constante $1$ (es decir, si $D(f, 1; x)^2$ crece lentamente). Esto contrasta con las sumas parciales ordinarias, donde se sabe que ocurren valores grandes cuando $f$ pretende ser $n^{it}$ para algún $t \in \mathbb{R}$. Si bien trabajos anteriores de Granville y Soundararajan establecieron un límite más débil con un exponente de $1/2$ en el término exponencial, y trabajos posteriores de Granville y el autor mostraron un exponente óptimo de $\lambda \approx 0.8221$ para ciertas construcciones, la forma específica de la conjetura de Goldmakher (con exponente $1$) permaneció sin refutar.

Metodología
El artículo construye un contraejemplo analizando la relación entre las sumas logarítmicas $L_f(x)$ y las series de Dirichlet $L(s, f) = \sum f(n)n^{-s}$. La estrategia central implica los siguientes pasos:

1. Fórmula de Perron y Análisis de Picos: El autor relaciona las sumas parciales con el comportamiento de la función $L(\sigma + it, f)\zeta(\sigma + it)$ cerca de la línea $\sigma = 1 + 1/\log x$. La conjetura de Goldmakher asume implícitamente que la contribución dominante a la integral proviene del pico en $t=0$ (correspondiente a $f$ pretendiendo ser $1$).
2. Construcción de un Pico "Competidor": El autor construye una función específica $f$ diseñada para crear un pico dominante en una frecuencia no nula $t = \xi$ (donde $\xi \to 0$ cuando $x \to \infty$). Esto se logra definiendo $f(p)$ en los primos de tal manera que la parte real de la derivada logarítmica se optimice en $\sigma + i\xi$ en lugar de en $\sigma$.
3. Definición de la Función Contraejemplo: Para una escala grande $x$, el autor selecciona un parámetro $\xi = (\log x)^{-\alpha}$ y define $f(p) = R(p) + iI(p)$ basándose en los valores de $\cos(\xi \log p)$ y $\sin(\xi \log p)$. La parte real $R(p)$ se elige para ser ligeramente menor que $\cos(\xi \log p)$ en intervalos específicos para asegurar que la suma $\sum_{p \le x} \text{Re}((1-f(p))(1-p^{-i\xi}))/p$ sea negativa, haciendo así que $|L(\sigma + i\xi, f)|$ sea significativamente mayor que $|L(\sigma, f)|$.
4. Derivación de la Desigualdad: La construcción asegura que:
   $$|L(\sigma + i\xi, f)\zeta(\sigma + i\xi)| \gg (\sigma - 1)^{-c} |L(\sigma, f)\zeta(\sigma)|$$
   para alguna constante $c > 0$. Este factor adicional $(\sigma - 1)^{-c}$ es crucial, ya que permite que el pico en $\xi$ domine la representación integral de las sumas parciales, violando el límite predicho por la conjetura.
5. Ajuste Inductivo: Para probar la existencia de una única función $f$ que viole el límite infinitas veces (en lugar de solo en una escala única), el autor utiliza un argumento inductivo. Construyen una secuencia de funciones $f_k$ y escalas $x_k^*$, donde cada $f_{k+1}$ coincide con $f_k$ hasta cierto punto pero se modifica para primos más grandes para crear una nueva violación en una escala mayor.

Resultados Clave
El artículo establece dos teoremas principales:

• Teorema 1.3 (Contraejemplo de Escala Finita): Para cualquier constante $C > 0$, existe un umbral $x_0(C)$ tal que para todo $x \ge x_0(C)$, existe una función $f \in \mathcal{F}$ que satisface:
  $$L_f(x) \ge C \left( 1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2} \right).$$
  Esto demuestra que el límite en la conjetura de Goldmakher falla para cualquier constante fija $C$ en escalas suficientemente grandes.

• Teorema 1.2 (Contraejemplo Global): Existe una única función $f \in \mathcal{F}$ tal que:
  $$\limsup_{x \to \infty} \frac{|L_f(x)|}{1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2}} = \infty.$$
  Esto refuta definitivamente la conjetura de Goldmakher.

Significado
El artículo resuelve un problema abierto específico en la teoría de funciones multiplicativas al mostrar que el tamaño de las sumas parciales logarítmicas no puede acotarse únicamente por la distancia pretenciosa a la función constante $1$ con un exponente de $1$.

El autor señala que, aunque resultados anteriores (como los de Granville y el autor) sugerían que la conjetura podría ser falsa debido a la optimalidad del exponente $\lambda \approx 0.8221$, esos contraejemplos específicos satisfacían $L_f(x) \ll 1$ y por lo tanto no refutaban directamente la conjetura. El significado de este trabajo radica en construir una función donde las sumas logarítmicas son genuinamente no acotadas en relación con el límite predicho, demostrando que "pretender" ser $n^{i\xi}$ para $\xi$ pequeño puede en efecto impulsar las sumas logarítmicas a ser arbitrariamente grandes, incluso cuando la distancia a $1$ es grande.

El trabajo se basa en herramientas estándar de la teoría de números analítica, incluyendo el teorema de Mertens, la fórmula de Perron y los límites de Halberstam-Richert, pero los aplica en una construcción novedosa para separar el comportamiento de las sumas logarítmicas de la heurística estándar de la distancia pretenciosa.