On a conjecture of Goldmakher

기술적 요약: Goldmakher 의 추측에 관하여

문제 제기
본 논문은 2009 년 Goldmakher 가 제안한 추측에 대해 다루며, 이는 1-유계(completely multiplicative) 완전 곱셈 함수들의 로그 가중 부분합의 거동에 관한 것이다. $\mathcal{F}$를 $|f(n)| \le 1$을 만족하는 그러한 함수들 $f: \mathbb{N} \to \mathbb{C}$의 집합이라 하자. $f \in \mathcal{F}$에 대하여, 로그 부분합은 $L_f(x) = \sum_{n \le x} f(n)/n$으로 정의된다.

Goldmakher 의 추측은 $L_f(x)$의 크기가 상수 함수 $1$로부터의$f$의 "가식적 거리 (pretentious distance)"에 의해 제어된다고 주장한다. 구체적으로, 임의의 $1 \le y \le x$에 대하여 다음이 성립한다고 주장한다:
$$\sum_{n \le x, p|n \implies p \le y} \frac{f(n)}{n} \ll 1 + (\log y) e^{-D(f, 1; y)^2},$$
여기서 $D(f, g; z) = \left( \sum_{p \le z} \frac{1 - \text{Re}(f(p)\overline{g(p)})}{p} \right)^{1/2}$이다.

도덕적으로 (Morally), 이 추측은 $f$가 상수 함수 $1$을 "가식 (pretend)"하는 경우 (즉, $D(f, 1; x)^2$가 느리게 증가하는 경우) 에만 $L_f(x)$가 크거나 (또는 무계) 될 수 있음을 시사한다. 이는 일반적인 부분합과 대조적인데, 일반적인 부분합에서는 $f$가 어떤 $t \in \mathbb{R}$에 대하여 $n^{it}$를 가식할 때 큰 값이 발생하는 것으로 알려져 있다. Granville 과 Soundararajan 의 이전 연구는 지수 항에서 지수가 $1/2$인 더 약한 상계를 확립했으며, 이후 Granville 과 저자의 연구는 특정 구성에 대해 최적의 지수 $\lambda \approx 0.8221$을 보였으나, Goldmakher 의 추측의 구체적인 형태 (지수 $1$을 갖는) 는 반증되지 않은 채 남아 있었다.

방법론
본 논문은 로그 합 $L_f(x)$와 디리클레 급수 $L(s, f) = \sum f(n)n^{-s}$ 사이의 관계를 분석함으로써 반례를 구성한다. 핵심 전략은 다음과 같은 단계들을 포함한다:

1. 페론의 공식과 피크 분석: 저자는 부분합을 직선 $\sigma = 1 + 1/\log x$ 근처에서의 함수 $L(\sigma + it, f)\zeta(\sigma + it)$의 거동과 연관시킨다. Goldmakher 의 추측은 적분에서의 지배적인 기여가 $t=0$ (이는 $f$가 $1$을 가식하는 것에 해당) 에서의 피크에서 비롯된다고 암묵적으로 가정한다.
2. "경쟁" 피크의 구성: 저자는 $x \to \infty$일 때 $\xi \to 0$이 되는 비영 주파수 $t = \xi$에서 지배적인 피크를 생성하도록 설계된 특정 함수 $f$를 구성한다. 이는 소수 $p$에 대하여 $f(p)$를 정의하여 로그 도함수의 실수부가 $\sigma$가 아닌 $\sigma + i\xi$에서 최적화되도록 함으로써 달성된다.
3. 반례 함수의 정의: 큰 규모 $x$에 대하여, 저자는 매개변수 $\xi = (\log x)^{-\alpha}$를 선택하고, $\cos(\xi \log p)$와 $\sin(\xi \log p)$의 값에 기반하여 $f(p) = R(p) + iI(p)$를 정의한다. 실수부$R(p)$는 특정 구간에서$\cos(\xi \log p)$보다 약간 작게 선택되어 합$\sum_{p \le x} \text{Re}((1-f(p))(1-p^{-i\xi}))/p$가 음수가 되도록 하여, 결과적으로$|L(\sigma + i\xi, f)|$가$|L(\sigma, f)|$보다 현저히 크도록 만든다.
4. 부등식 유도: 이 구성은 다음과 같은 부등식을 보장한다:
   $$|L(\sigma + i\xi, f)\zeta(\sigma + i\xi)| \gg (\sigma - 1)^{-c} |L(\sigma, f)\zeta(\sigma)|$$
   여기서 $c > 0$인 어떤 상수가 존재한다. 이 추가 인자 $(\sigma - 1)^{-c}$는 결정적인데, 이는 $\xi$에서의 피크가 부분합의 적분 표현을 지배하여 추측이 예측한 상계를 위반할 수 있게 한다.
5. 귀납적 패치 (Inductive Patching): 단일 규모가 아닌 무한히 많은 규모에서 상계를 위반하는 단일 함수 $f$의 존재를 증명하기 위해, 저자는 귀납적 논증을 사용한다. 그들은 함수열 $f_k$와 규모 $x_k^*$를 구성하는데, 각 $f_{k+1}$은 특정 지점까지 $f_k$와 일치하지만 더 큰 소수들에 대해 수정되어 더 큰 규모에서 새로운 위배를 생성한다.

주요 결과
본 논문은 두 가지 주요 정리를 확립한다:

• 정리 1.3 (유한 규모 반례): 임의의 상수 $C > 0$에 대하여, 임의의 $x \ge x_0(C)$에 대해 다음을 만족하는 함수 $f \in \mathcal{F}$가 존재하는 임계값 $x_0(C)$가 존재한다:
  $$L_f(x) \ge C \left( 1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2} \right).$$
  이는 Goldmakher 의 추측에 있는 상계가 충분히 큰 규모에서 임의의 고정된 상수 $C$에 대하여 실패함을 보여준다.

• 정리 1.2 (전역 반례): 다음을 만족하는 단일 함수 $f \in \mathcal{F}$가 존재한다:
  $$\limsup_{x \to \infty} \frac{|L_f(x)|}{1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2}} = \infty.$$
  이는 Goldmakher 의 추측을 결정적으로 반증한다.

의의
본 논문은 로그 부분합의 크기가 지수 $1$을 갖는 상수 함수$1$에 대한 가식적 거리만으로 유계될 수 없음을 보여줌으로써, 곱셈 함수 이론의 특정 미해결 문제를 해결한다.

저자는 Granville 과 저자 등의 이전 결과들이 최적의 지수 $\lambda \approx 0.8221$로 인해 추측이 거짓일 가능성을 시사했으나, 그러한 특정 반례들은 $L_f(x) \ll 1$을 만족했으므로 추측을 직접적으로 반증하지는 않았다고 지적한다. 이 연구의 의의는 예측된 상계에 관해 로그 합이 진정으로 무계가 되는 함수를 구성하는 데 있으며, 이는 $1$과의 거리가 크더라도 작은$\xi$에 대하여$n^{i\xi}$를 "가식"하는 것이 실제로 로그 합을 임의로 크게 만들 수 있음을 보여준다.

이 연구는 Mertens 정리, 페론의 공식, Halberstam-Richert 상계 등 해석적 수론의 표준 도구에 의존하지만, 로그 합과 표준 가식적 거리 휴리스틱의 거동을 분리하는 새로운 구성에 이를 적용한다.