On a conjecture of Goldmakher

技術的概要：Goldmakher の予想について

問題の提示
本論文は、2009 年に Goldmakher が提唱した、1 有界な完全乗法的関数の対数平均部分和の挙動に関する予想を取り扱っている。$\mathcal{F}$ を $|f(n)| \le 1$ なる関数 $f: \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ の集合と表す。$f \in \mathcal{F}$ に対して、対数部分和は $L_f(x) = \sum_{n \le x} f(n)/n$ と定義される。

Goldmakher の予想は、$L_f(x)$ の大きさが、定数関数 $1$ からの「欺瞞的距離（pretentious distance）」によって制御されると主張する。具体的には、任意の $1 \le y \le x$ に対して、
$$\sum_{n \le x, p|n \implies p \le y} \frac{f(n)}{n} \ll 1 + (\log y) e^{-D(f, 1; y)^2},$$
が成り立つとされる。ここで、$D(f, g; z) = \left( \sum_{p \le z} \frac{1 - \text{Re}(f(p)\overline{g(p)})}{p} \right)^{1/2}$ である。

道徳的には、この予想は、$L_f(x)$ が大きく（あるいは有界でない）なるためには、$f$ が定数関数 $1$を「欺く」必要がある（すなわち、$D(f, 1; x)^2$が緩やかに増加する）ことを示唆している。これは、通常の部分和とは対照的である。通常の部分和では、$f$が何らかの$t \in \mathbb{R}$に対して$n^{it}$ を「欺く」場合に大きな値が現れることが知られている。Granville と Soundararajan による先行研究は、指数部において $1/2$ の指数を持つより弱い評価を確立し、その後 Granville と著者による研究は、特定の構成に対して最適指数 $\lambda \approx 0.8221$ を示したが、Goldmakher の予想の具体的な形式（指数 $1$ を持つもの）は、反証されずに残っていた。

手法
本論文は、対数和 $L_f(x)$ とディリクレ級数 $L(s, f) = \sum f(n)n^{-s}$ の間の関係を分析することで反例を構成する。核心的な戦略は以下のステップを含む：

1. ペロンの公式とピーク分析：著者は、部分和を直線 $\sigma = 1 + 1/\log x$ 付近における関数 $L(\sigma + it, f)\zeta(\sigma + it)$ の挙動に関連付ける。Goldmakher の予想は暗黙的に、積分への主要な寄与が $t=0$ におけるピーク（$f$ が $1$ を「欺く」ことに対応）から来ると仮定している。
2. 「競合する」ピークの構築：著者は、$x \to \infty$ に伴い $\xi \to 0$ となる非ゼロ周波数 $t = \xi$ において支配的なピークを生み出すように設計された特定の関数 $f$ を構成する。これは、$\sigma$ ではなく $\sigma + i\xi$ において対数微分の実部が最適化されるように、素数 $p$ における $f(p)$ を定義することで達成される。
3. 反例関数の定義：大きなスケール $x$ に対して、著者はパラメータ $\xi = (\log x)^{-\alpha}$ を選択し、$\cos(\xi \log p)$ と $\sin(\xi \log p)$ の値に基づいて $f(p) = R(p) + iI(p)$を定義する。実部$R(p)$は、特定の区間において$\cos(\xi \log p)$よりわずかに小さくなるように選ばれる。これにより、和$\sum_{p \le x} \text{Re}((1-f(p))(1-p^{-i\xi}))/p$が負となり、$|L(\sigma + i\xi, f)|$が$|L(\sigma, f)|$ よりも著しく大きくなるようにする。
4. 不等式の導出：この構成により、ある定数 $c > 0$ に対して、
   $$|L(\sigma + i\xi, f)\zeta(\sigma + i\xi)| \gg (\sigma - 1)^{-c} |L(\sigma, f)\zeta(\sigma)|$$
   が保証される。この追加因子 $(\sigma - 1)^{-c}$ が決定的である。なぜなら、これにより $\xi$ におけるピークが部分和の積分表現を支配し、予想が予測する評価に違反するからである。
5. 帰納的パッチング：単一のスケールだけでなく、無限に頻繁に評価を破る単一の関数 $f$ の存在を証明するために、著者は帰納的議論を用いる。関数列 $f_k$ とスケール $x_k^*$ を構成し、各 $f_{k+1}$ は $f_k$ とある点まで一致するが、より大きな素数に対して修正され、より大きなスケールで新たな違反を生み出すようにする。

主要な結果
本論文は、以下の 2 つの主要な定理を確立する：

• 定理 1.3（有限スケール反例）：任意の定数 $C > 0$ に対して、閾値 $x_0(C)$ が存在し、すべての $x \ge x_0(C)$ に対して、
  $$L_f(x) \ge C \left( 1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2} \right)$$
  を満たす関数 $f \in \mathcal{F}$ が存在する。これは、Goldmakher の予想の評価が、任意の固定された定数 $C$ に対して、十分に大きなスケールにおいて破綻することを示している。

• 定理 1.2（大域的反例）：
  $$\limsup_{x \to \infty} \frac{|L_f(x)|}{1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2}} = \infty$$
  となる単一の関数 $f \in \mathcal{F}$ が存在する。これは Goldmakher の予想を決定的に否定する。

意義
本論文は、対数部分和の大きさが、指数 $1$を持つ定数関数$1$ への欺瞞的距離のみでは有界にできないことを示すことで、乗法的関数の理論における特定の未解決問題を解決した。

著者は、先行する結果（Granville と著者によるものなど）が指数 $\lambda \approx 0.8221$ の最適性から予想が偽である可能性を示唆していたが、それらの特定の反例は $L_f(x) \ll 1$ を満たしており、直接予想を否定するものではなかったと指摘する。この研究の意義は、予測された評価に対して対数和が真に有界でない関数を構成し、$1$からの距離が大きい場合でも、小さな$\xi$に対して$n^{i\xi}$ を「欺く」ことが対数和を任意に大きく駆動し得ることを実証した点にある。

この研究は、メルテンスの定理、ペロンの公式、ハルベスタム＝リヒャートの上限など、解析的整数論の標準的な道具に依存しているが、対数和の挙動を標準的な欺瞞的距離のヒューリスティックから分離する新たな構成においてそれらを適用している。