On a conjecture of Goldmakher

技术摘要：关于 Goldmakher 猜想

问题陈述
本文探讨了 Goldmakher 于 2009 年提出的一个猜想，该猜想涉及有界完全积性函数的对数平均部分和的行为。令 $\mathcal{F}$ 表示此类函数 $f: \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ 的集合，满足 $|f(n)| \le 1$。对于 $f \in \mathcal{F}$，对数部分和定义为 $L_f(x) = \sum_{n \le x} f(n)/n$。

Goldmakher 猜想断言，$L_f(x)$ 的幅度受 $f$ 与常数函数 $1$ 之间的“伪距离”（pretentious distance）控制。具体而言，它断言对于任意 $1 \le y \le x$：
$$\sum_{n \le x, p|n \implies p \le y} \frac{f(n)}{n} \ll 1 + (\log y) e^{-D(f, 1; y)^2},$$
其中 $D(f, g; z) = \left( \sum_{p \le z} \frac{1 - \text{Re}(f(p)\overline{g(p)})}{p} \right)^{1/2}$。

从本质上讲，该猜想表明，仅当 $f$ “伪装”成常数函数 $1$（即$D(f, 1; x)^2$增长缓慢）时，$L_f(x)$才可能很大（或无界）。这与普通部分和形成对比，因为在普通部分和中，已知当$f$伪装成$n^{it}$（其中$t \in \mathbb{R}$）时会出现大值。虽然 Granville 和 Soundararajan 之前的工作建立了指数项中指数为 $1/2$ 的较弱界限，而 Granville 与作者后来的工作表明针对某些构造存在最优指数 $\lambda \approx 0.8221$，但 Goldmakher 猜想的具体形式（指数为 $1$）此前一直未被证伪。

方法论
本文通过分析对数和 $L_f(x)$ 与狄利克雷级数 $L(s, f) = \sum f(n)n^{-s}$ 之间的关系来构建反例。核心策略包括以下步骤：

1. 佩龙公式与峰值分析：作者将部分和与函数 $L(\sigma + it, f)\zeta(\sigma + it)$ 在直线 $\sigma = 1 + 1/\log x$ 附近的行为联系起来。Goldmakher 猜想隐含地假设积分的主要贡献来自 $t=0$ 处的峰值（对应于 $f$ 伪装成 $1$）。
2. 构建“竞争”峰值：作者构造了一个特定的函数 $f$，旨在在 $t = \xi$ 的非零频率处（其中当 $x \to \infty$ 时 $\xi \to 0$）产生主导峰值。这是通过定义素数上的 $f(p)$ 来实现的，使得对数导数的实部在 $\sigma + i\xi$ 处而非 $\sigma$ 处达到优化。
3. 定义反例函数：对于大尺度 $x$，作者选取参数 $\xi = (\log x)^{-\alpha}$，并根据 $\cos(\xi \log p)$ 和 $\sin(\xi \log p)$ 的值定义 $f(p) = R(p) + iI(p)$。实部$R(p)$被选为在特定区间内略小于$\cos(\xi \log p)$，以确保和式$\sum_{p \le x} \text{Re}((1-f(p))(1-p^{-i\xi}))/p$为负，从而使$|L(\sigma + i\xi, f)|$显著大于$|L(\sigma, f)|$。
4. 不等式推导：该构造确保了：
   $$|L(\sigma + i\xi, f)\zeta(\sigma + i\xi)| \gg (\sigma - 1)^{-c} |L(\sigma, f)\zeta(\sigma)|$$
   对于某个常数 $c > 0$ 成立。这个额外的因子 $(\sigma - 1)^{-c}$ 至关重要，因为它允许 $\xi$ 处的峰值主导部分和的积分表示，从而违反猜想所预测的界限。
5. 归纳修补：为了证明存在单个函数 $f$ 无限次地违反该界限（而不仅仅是在单一尺度上），作者使用了归纳论证。他们构造了一列函数 $f_k$ 和尺度 $x_k^*$，其中每个 $f_{k+1}$ 在某个点之前与 $f_k$ 一致，但在更大的素数上进行了修改，以便在更大的尺度上产生新的违反。

主要结果
本文确立了两个主要定理：

• 定理 1.3（有限尺度反例）：对于任意常数 $C > 0$，存在阈值 $x_0(C)$，使得对于每个 $x \ge x_0(C)$，都存在一个函数 $f \in \mathcal{F}$ 满足：
  $$L_f(x) \ge C \left( 1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2} \right).$$
  这表明 Goldmakher 猜想中的界限在足够大的尺度上对于任何固定常数 $C$ 均失效。

• 定理 1.2（全局反例）：存在单个函数 $f \in \mathcal{F}$ 使得：
  $$\limsup_{x \to \infty} \frac{|L_f(x)|}{1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2}} = \infty.$$
  这彻底证伪了 Goldmakher 猜想。

意义
本文通过证明对数部分和的大小不能仅由伪距离到常数函数 $1$且指数为$1$ 来界定，解决了积性函数理论中的一个特定开放问题。

作者指出，虽然之前的结果（如 Granville 和作者的工作）表明由于最优指数 $\lambda \approx 0.8221$ 的存在，该猜想可能是错误的，但那些特定的反例满足 $L_f(x) \ll 1$，因此并未直接证伪该猜想。这项工作的意义在于构造了一个函数，其对数和相对于预测界限确实是真正无界的，从而证明了即使与 $1$的距离很大，伪装成小$\xi$的$n^{i\xi}$ 确实可以将对数和驱动至任意大。

这项工作依赖于解析数论中的标准工具，包括梅尔滕斯定理、佩龙公式和 Halberstam-Richert 界限，但将其应用于一种新颖的构造中，以将对数和的行为与标准的伪距离启发式方法分离开来。