On a conjecture of Goldmakher

Resumo Técnico: Sobre uma Conjectura de Goldmakher

Enunciado do Problema
O artigo aborda uma conjectura proposta por Goldmakher em 2009 relativa ao comportamento de somas parciais com média logarítmica de funções completamente multiplicativas limitadas por 1. Seja $\mathcal{F}$ a coleção de tais funções $f: \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ com $|f(n)| \le 1$. Para $f \in \mathcal{F}$, a soma parcial logarítmica é definida como $L_f(x) = \sum_{n \le x} f(n)/n$.

A conjectura de Goldmakher postula que a magnitude de $L_f(x)$ é controlada pela "distância pretensiosa" de $f$ em relação à função constante $1$. Especificamente, afirma que para qualquer $1 \le y \le x$:
$$\sum_{n \le x, p|n \implies p \le y} \frac{f(n)}{n} \ll 1 + (\log y) e^{-D(f, 1; y)^2},$$
onde $D(f, g; z) = \left( \sum_{p \le z} \frac{1 - \text{Re}(f(p)\overline{g(p)})}{p} \right)^{1/2}$.

Moralmente, esta conjectura sugere que $L_f(x)$ só pode ser grande (ou ilimitada) se $f$ "pretender" ser a função constante $1$ (ou seja, se $D(f, 1; x)^2$ crescer lentamente). Isso contrasta com as somas parciais ordinárias, onde é conhecido que valores grandes ocorrem quando $f$ pretende ser $n^{it}$ para algum $t \in \mathbb{R}$. Embora trabalhos anteriores de Granville e Soundararajan estabelecem uma cota mais fraca com um expoente de $1/2$ no termo exponencial, e trabalhos posteriores de Granville e do autor tenham mostrado um expoente ótimo de $\lambda \approx 0,8221$ para certas construções, a forma específica da conjectura de Goldmakher (com expoente $1$) permanecia não refutada.

Metodologia
O artigo constrói um contraexemplo analisando a relação entre as somas logarítmicas $L_f(x)$ e as séries de Dirichlet $L(s, f) = \sum f(n)n^{-s}$. A estratégia central envolve as seguintes etapas:

1. Fórmula de Perron e Análise de Picos: O autor relaciona as somas parciais ao comportamento da função $L(\sigma + it, f)\zeta(\sigma + it)$ próximo à linha $\sigma = 1 + 1/\log x$. A conjectura de Goldmakher assume implicitamente que a contribuição dominante para a integral provém do pico em $t=0$ (correspondente a $f$ pretendendo ser $1$).
2. Construção de um Pico "Competidor": O autor constrói uma função específica $f$ projetada para criar um pico dominante em uma frequência não nula $t = \xi$ (onde $\xi \to 0$ quando $x \to \infty$). Isso é alcançado definindo $f(p)$ nos primos de modo que a parte real da derivada logarítmica seja otimizada em $\sigma + i\xi$ em vez de $\sigma$.
3. Definição da Função Contraexemplo: Para uma escala grande $x$, o autor seleciona um parâmetro $\xi = (\log x)^{-\alpha}$ e define $f(p) = R(p) + iI(p)$ com base nos valores de $\cos(\xi \log p)$ e $\sin(\xi \log p)$. A parte real $R(p)$ é escolhida para ser ligeiramente menor que $\cos(\xi \log p)$ em intervalos específicos, garantindo que a soma $\sum_{p \le x} \text{Re}((1-f(p))(1-p^{-i\xi}))/p$ seja negativa, tornando assim $|L(\sigma + i\xi, f)|$ significativamente maior que $|L(\sigma, f)|$.
4. Derivação da Desigualdade: A construção garante que:
   $$|L(\sigma + i\xi, f)\zeta(\sigma + i\xi)| \gg (\sigma - 1)^{-c} |L(\sigma, f)\zeta(\sigma)|$$
   para alguma constante $c > 0$. Este fator adicional $(\sigma - 1)^{-c}$ é crucial, pois permite que o pico em $\xi$ domine a representação integral das somas parciais, violando a cota prevista pela conjectura.
5. Remendos Indutivos: Para provar a existência de uma única função $f$ que viola a cota infinitamente muitas vezes (em vez de apenas em uma escala única), o autor utiliza um argumento indutivo. Eles constroem uma sequência de funções $f_k$ e escalas $x_k^*$, onde cada $f_{k+1}$ concorda com $f_k$ até certo ponto, mas é modificada para primos maiores a fim de criar uma nova violação em uma escala maior.

Resultados Chave
O artigo estabelece dois teoremas principais:

• Teorema 1.3 (Contraexemplo em Escala Finita): Para qualquer constante $C > 0$, existe um limiar $x_0(C)$ tal que para todo $x \ge x_0(C)$, existe uma função $f \in \mathcal{F}$ satisfazendo:
  $$L_f(x) \ge C \left( 1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2} \right).$$
  Isso demonstra que a cota na conjectura de Goldmakher falha para qualquer constante fixa $C$ em escalas suficientemente grandes.

• Teorema 1.2 (Contraexemplo Global): Existe uma única função $f \in \mathcal{F}$ tal que:
  $$\limsup_{x \to \infty} \frac{|L_f(x)|}{1 + (\log x) e^{-D(f, 1; x)^2}} = \infty.$$
  Isso refuta definitivamente a conjectura de Goldmakher.

Significado
O artigo resolve um problema aberto específico na teoria das funções multiplicativas, mostrando que o tamanho das somas parciais logarítmicas não pode ser limitado apenas pela distância pretensiosa à função constante $1$ com um expoente de $1$.

O autor observa que, embora resultados anteriores (como os de Granville e do autor) sugerissem que a conjectura poderia ser falsa devido à optimalidade do expoente $\lambda \approx 0,8221$, esses contraexemplos específicos satisfaziam $L_f(x) \ll 1$ e, portanto, não refutavam diretamente a conjectura. O significado deste trabalho reside na construção de uma função onde as somas logarítmicas são genuinamente ilimitadas em relação à cota prevista, demonstrando que "pretender" ser $n^{i\xi}$ para $\xi$ pequeno pode, de fato, levar as somas logarítmicas a serem arbitrariamente grandes, mesmo quando a distância a $1$ é grande.

O trabalho baseia-se em ferramentas padrão da teoria dos números analítica, incluindo o teorema de Mertens, a fórmula de Perron e as cotas de Halberstam-Richert, mas aplica-as em uma construção novel para separar o comportamento das somas logarítmicas da heurística padrão da distância pretensiosa.