The Moroccan Public Procurement Game

यहाँ "द मोरक्कन पब्लिक प्रोक्योरमेंट गेम" (The Moroccan Public Procurement Game) के पेपर का सरल भाषा और रोज़मर्रा के उदाहरणों का उपयोग करते हुए स्पष्टीकरण दिया गया है।

बड़ी तस्वीर: औसत का अनुमान लगाने का खेल

कल्पना कीजिए कि लोगों का एक समूह एक पुल बनाने के अनुबंध (कॉन्ट्रैक्ट) के लिए बोली लगा रहा है। पुराने दिनों में, नियम सरल था: "जो सबसे कम कीमत देगा, वह जीतेगा।" लेकिन 2023 में, मोरक्को ने नियम बदल दिए। अब, विजेता केवल सबसे सस्ता बोली लगाने वाला नहीं है।

इसके बजाय, सरकार एक "संदर्भ मूल्य" (Reference Price) निर्धारित करती है (इसे लक्ष्य मान लें)। यह लक्ष्य सभी की बोलियों के औसत को लेकर और उसमें सरकार की अपनी अनुमानित लागत को जोड़कर निकाला जाता है।

• लक्ष्य: आप चाहते हैं कि आपकी बोली उस लक्ष्य के सबसे करीब हो, लेकिन उससे अधिक न हो।
• ट्विस्ट: यदि आप बहुत अधिक बोली लगाते हैं, तो आप हार जाते हैं। यदि आप बहुत कम बोली लगाते हैं, तो भी आप हार जाते हैं। आपको यह अनुमान लगाना होगा कि बाकी सब क्या बोली लगाएंगे, औसत की गणना करनी होगी, और फिर उस औसत से ठीक नीचे रहने का लक्ष्य रखना होगा।

यह बोली लगाने की प्रक्रिया को एक "ब्यूटी कॉन्टेस्ट" (एक प्रसिद्ध आर्थिक अवधारणा) में बदल देता है। आप सबसे कुशल होने की कोशिश नहीं कर रहे हैं; आप यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि समूह क्या औसत मानेगा, ताकि आप खुद को उस औसत से ठीक नीचे रख सकें।

समस्या: कोई "परफेक्ट" चाल मौजूद नहीं है

लेखक, निज़ार रियाने (Nizar Riane), इस नए नियम का विश्लेषण करने के लिए गेम थ्योरी (रणनीति का गणित) का उपयोग करते हैं।

प्योर स्ट्रैटेजी (शुद्ध रणनीति) की समस्या:
कल्प imagine करें कि आप अपने दोस्तों के साथ यह खेल खेल रहे हैं। आप एक विशिष्ट संख्या खोजने की कोशिश करते हैं जिसे आप हमेशा बोली के रूप में इस्तेमाल करेंगे, चाहे आपके दोस्त कुछ भी करें।

• यदि हर कोई समान राशि की बोली लगाता है, तो आप जीतने के लिए अपनी बोली थोड़ी कम कर सकते हैं।
• यदि हर कोई अलग-अलग राशि की बोली लगाता है, तो आप औसत से थोड़ा नीचे रहने के लिए सटीक स्थान की गणना कर सकते हैं।
• पकड़: जैसे ही आप एक "परफेक्ट" नंबर चुनते हैं, आपके दोस्त अपने नंबर बदल सकते हैं ताकि आपका "परफेक्ट" स्थान हारने वाला स्थान बन जाए।

पेपर यह सिद्ध करता है कि इस खेल में, बोली लगाने के लिए कोई एक "सर्वश्रेष्ठ" संख्या मौजूद नहीं है। यदि आप एक विशिष्ट संख्या पर टिके रहने की कोशिश करते हैं, तो अंततः आप हार जाएंगे। गणितीय शब्दों में, यहाँ कोई "प्योर स्ट्रैटेजी नैश इक्विलिब्रियम" (Pure Strategy Nash Equilibrium) नहीं है (ऐसी स्थिर स्थिति जहाँ कोई भी अपनी चाल बदलना नहीं चाहता)।

समाधान: यादृच्छिकता (Randomness) की कला

चूंकि आप एक जीतने वाली संख्या नहीं चुन सकते, इसलिए पेपर सुझाव देता है कि खेलने का एकमात्र तरीका रैंडमाइजेशन (यादृच्छिक चयन) है। इसे मिक्स्ड स्ट्रैटेजी (Mixed Strategy) कहा जाता है।

यह कहने के बजाय कि, "मैं $100 की बोली लगाऊंगा," आप कहते हैं, "मैं$90 और $110 के बीच बेतरतीब ढंग से (randomly) एक बोली चुनूंगा, जो एक विशिष्ट पैटर्न का पालन करती है।"

पेपर दो खिलाड़ियों वाले खेल के लिए रैंडमाइजेशन के दो अलग-अलग तरीके बताता है:

1. द यूनिफॉर्म मिक्स (The Uniform Mix): कल्पना करें कि आप दो विशिष्ट अंतरालों (intervals) पर टोस्ट पर मक्खन फैलाकर अपनी बोलियों को फैला रहे हैं। आप एक स्थान नहीं चुनते; आप अपने अवसरों को दो श्रेणियों में समान रूप से फैला देते हैं।
2. द फंक्शनल मिक्स (The Functional Mix): एक वक्र (curve) की कल्पना करें जहाँ आप कुछ संख्याओं पर अधिक बोली लगाते हैं और कुछ पर कम, जो एक विशिष्ट गणितीय सूत्र का पालन करता है (जैसे बेल कर्व, लेकिन अलग आकार का)।

दोनों विधियाँ एक "निष्पक्ष" खेल का परिणाम देती हैं जहाँ, औसतन, आप आधी बार (या एक विशिष्ट अंश बार) जीतते हैं, और कोई भी खिलाड़ी अपने रैंडम पैटर्न को बदलकर अपने जीतने के अवसर में सुधार नहीं कर सकता।

क्या होता है जब नियम असमान होते हैं?

पेपर यह भी देखता है कि क्या होता है यदि खेल निष्पक्ष नहीं है। क्या होगा यदि खिलाड़ी 1 की बोली औसत के 60% के लिए गिनी जाती है, लेकिन खिलाड़ी 2 की बोली केवल 40% के लिए?

• रूपक (Metaphor): कल्पना करें कि रस्साकशी (tug-of-war) का खेल है जहाँ एक टीम के पास बहुत लंबी रस्सी है। उस टीम का "लक्ष्य" पर अधिक प्रभाव पड़ता है।
• परिणाम: पेपर सटीक रूप से गणना करता है कि इस असंतुलन के आधार पर "जीतने की संभावना" कैसे बदलती है। यह दिखाता है कि जैसे- ही एक खिलाड़ी को औसत को प्रभावित करने की अधिक शक्ति मिलती है, खेल बदल जाता है, और जीतने की संभावनाएं गणितीय तरीकों से अनुमानित रूप से बदल जाती हैं।

बड़ा समूह वाला मामला (N खिलाड़ी)

अंत में, पेपर पूछता है: "क्या होता है यदि 10, 20 या 100 बोली लगाने वाले हों?"

• अराजकता (The Chaos): अधिक लोगों के साथ, गणित अविश्वसनीय रूप से जटिल हो जाता है। "लक्ष्य" सभी के औसत पर निर्भर करता है, और "जीतने वाला क्षेत्र" एक जटिल, टेढ़ा-मेढ़ा आकार बन जाता है जिसे समझाना कठिन है।
• गणितीय प्रमाण: लेखक 2 खिलाड़ियों के लिए किए गए काम की तरह 100 खिलाड़ियों के लिए एक सरल सूत्र नहीं लिख सके। हालाँकि, उन्होंने एक प्रसिद्ध प्रमेय (Dasgupta and Maskin द्वारा विस्तारित) का उपयोग करके यह सिद्ध किया कि एक समाधान अभी भी मौजूद है।
• मुख्य बात: भले ही खेल अराजक और "टेढ़ा-मेढ़ा" (discontinuous) हो, फिर भी एक स्थिर, निष्पक्ष तरीका मौजूद है जिससे सभी लोग रैंडम रणनीतियों का उपयोग करके खेल सकते हैं। पेपर सिद्ध करता है कि एक "मिक्स्ड स्ट्रैटेजी इक्विलिब्रियम" मौजूद है, भले ही हम सामान्य मामले में सटीक पैटर्न को आसानी से नहीं लिख सकते।

सारांश

• खेल: मोरक्को का एक बोली लगाने वाला नियम जहाँ आपको समूह के औसत का अनुमान लगाना होता है और उससे ठीक नीचे बोली लगानी होती है।
• खोज: आप एक विशिष्ट संख्या चुनकर नहीं जीत सकते। आपको अपनी बोलियों को रैंडमाइज (यादृच्छिक) करना होगा।
• गणित: पेपर सिद्ध करता है कि भले ही कोई एक "परफेक्ट" चाल मौजूद नहीं है, लेकिन रैंडम चालों के विशिष्ट पैटर्न मौजूद हैं जो 2 खिलाड़ियों के लिए एक स्थिर, निष्पक्ष खेल बनाते हैं, और यह सिद्ध करता है कि बड़े समूहों के लिए भी ऐसा एक स्थिर खेल मौजूद है, भले ही हम बड़े समूहों के लिए सटीक पैटर्न को आसानी से नहीं निकाल सकते।

यह पेपर मूल रूप से एक गणितीय जासूसी कहानी है जो दिखाती है कि अराजक, नियम तोड़ने वाले खेल में भी, प्रायिकता (probability) की शक्ति के माध्यम से व्यवस्था और निष्पक्षता पाई जा सकती है।