The Moroccan Public Procurement Game

Sintesi Tecnica: Il Gioco degli Appalti Pubblici Marocchini

Definizione del Problema
Questo documento analizza il mercato degli appalti pubblici marocchini a seguito di una riforma del marzo 2023. Secondo le nuove regole, gli appalti non vengono assegnati all'offerente con la proposta più bassa, ma a quella più vicina a un prezzo di riferimento $P$, definito come $P = E + \bar{x}/2$, dove $E$ è il costo stimato e $\bar{x}$ è la media di tutte le offerte presentate. Le offerte devono rientrare in un intervallo ammissibile $[A, B]$. Se nessuna offerta è inferiore a $P$, il vincitore è l'offerta più vicina da sopra; in caso di parità, la decisione viene presa a sorte.

L'autore modella questo meccanismo come un gioco non cooperativo a $N$ giocatori. La sfida centrale identificata è che le funzioni di payoff sono discontinue e non quasiconcave. L'esito dipende in modo discontinuo dalle posizioni relative delle offerte rispetto alla media aggregata, violando le ipotesi di semicontinuità e convessità richieste dai teoremi classici di esistenza dell'equilibrio (ad es. Nash, Glicksberg). Il gioco è caratterizzato come un gioco aggregativo in cui i payoff dipendono dall'intero profilo di strategie, non solo dalla strategia individuale e da un aggregatore.

Metodologia
Il documento utilizza strumenti della teoria dei giochi specificamente progettati per giochi discontinui per stabilire l'esistenza e la forma esplicita degli equilibri. La metodologia procede in tre fasi:

1. Analisi delle Strategie Pure: L'autore dimostra innanzitutto che non esiste alcun equilibrio di Nash in strategie pure. Ciò è provato dimostrando che, per qualsiasi profilo, un giocatore può sempre deviare verso un'offerta specifica (calcolata in base alle offerte degli avversari e a $E$) per assicurarsi la vittoria, sfruttando la sensibilità della media alle offerte individuali.
2. Costruzione Esplicita (Caso a Due Giocatori): Per il caso simmetrico a due giocatori, il documento deriva due distinti equilibri di Nash in strategie miste utilizzando metodi costruttivi:
   • Strategia Basata sull'Uniforme: Ispirata a Sion e Wolfe (1958), questo approccio costruisce un valore di $1/2$ utilizzando una miscela di distribuzioni uniformi su specifici sottointervalli di $[A, B]$.
   • Soluzione dell'Equazione Funzionale: Seguendo Dresher (1961), l'autore imposta un sistema di equazioni funzionali basato sulle condizioni di ottimalità. Ciò produce un secondo equilibrio caratterizzato da una funzione di densità proporzionale a $1/(x-E)$ su un supporto specifico, distinto dalla soluzione basata sull'uniforme.
3. Caso Generale a $N$ Giocatori: Per $N \geq 3$, la costruzione esplicita diventa impraticabile a causa della complessità degli insiemi di discontinuità. L'autore applica invece una versione estesa del quadro teorico di Dasgupta e Maskin (1986). Ciò comporta:
   • Definire gli insiemi di discontinuità (parità, punti fissi e punti di transizione) e dimostrare che hanno misura di Lebesgue nulla.
   • Verificare che il gioco soddisfi la semicontinuità inferiore debole e che la somma dei payoff sia semicontinua superiore.
   • Stabilire la sicurezza del payoff nell'estensione mista verificando la condizione di corrispondenza dei payoff disgiunti (Allison e Lepore, 2014), che supera il fallimento della sicurezza uniforme del payoff in questa specifica struttura di gioco.
   • Dimostrare che una sequenza di equilibri di giochi finiti converge a un equilibrio in strategie miste nel gioco continuo.

Risultati Chiave

• Non Esistenza in Strategie Pure: Il gioco non ammette equilibrio di Nash in strategie pure per alcun $N \geq 2$.
• Equilibri a Due Giocatori: Vengono derivati due espliciti equilibri di Nash in strategie miste simmetrici:
  1. Una strategia che coinvolge una miscela di distribuzioni uniformi sugli intervalli $[A, A_1]$ e $[A_1, A_2]$, che produce un valore di gioco di $1/2$.
  2. Una strategia con densità $f(x) \propto 1/(x-E)$ su $[A, A_2]$, che produce anch'essa un valore di $1/2$.
• Caso Asimmetrico a Due Giocatori: Il documento generalizza il modello a un prezzo di riferimento ponderato $P = (px + (1-p)y + E)/2$. Vengono identificati diversi regimi basati sul parametro di peso $p$ (simmetrico, intermedio, critico e a basso $p$). Vengono derivati valori di gioco espliciti, come $1/3$ nel regime critico e $2/5$ nel regime intermedio, con funzioni di densità esplicite fornite per il caso generale.
• Esistenza nel Caso Generale a $N$ Giocatori: Il documento stabilisce l'esistenza di un equilibrio di Nash in strategie miste simmetrico per qualsiasi $N \geq 3$. Ciò è ottenuto estendendo il risultato di Dasgupta-Maskin per gestire la specifica struttura di discontinuità del gioco degli appalti, dimostrando che l'estensione mista è "better-reply secure" (sicura rispetto alla migliore risposta).

Significato e Affermazioni
Il documento afferma di fornire una fondazione teorica rigorosa per comprendere il nuovo meccanismo di appalto marocchino, che trasforma il mercato in un "concorso di bellezza keynesiano" in cui gli offerenti anticipano il comportamento collettivo piuttosto che minimizzare i costi.

Il contributo principale è la derivazione costruttiva di strategie di equilibrio esplicite per il caso a due giocatori, una rarità nella letteratura sui giochi discontinui che spesso si affida a prove di esistenza non costruttive. Inoltre, il documento estende il teorema di esistenza di Dasgupta-Maskin (1986) a una specifica classe di giochi aggregativi con discontinuità non standard (dipendenti dall'intero profilo e non solo dall'aggregatore), stabilendo così l'esistenza di equilibri misti simmetrici per il caso generale a $N$ giocatori. Il lavoro colma il divario tra la teoria astratta dei giochi discontinui e una concreta riforma della politica economica reale.