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The Moroccan Public Procurement Game

Cet article analyse le marché public marocain des marchés publics comme un jeu stratégique à paiements discontinus et non quasi-concaves, démontrant l'absence d'équilibres de Nash en stratégies pures tout en établissant l'existence d'équilibres en stratégies mixtes pour les cas à deux joueurs et à N joueurs généraux.

Auteurs originaux : Nizar Riane

Publié 2026-05-26

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Nizar Riane

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

La vue d'ensemble : Un jeu de devinette sur la moyenne

Imaginez un groupe de personnes faisant des offres pour un contrat de construction de pont. Autrefois, la règle était simple : « Celui qui offre le prix le plus bas gagne ». Mais en 2023, le Maroc a changé les règles. Désormais, le gagnant n'est pas simplement l'offreur le moins cher.

Au lieu de cela, le gouvernement fixe un « Prix de Référence » (appelons-le Cible). Cette Cible est calculée en prenant la moyenne de toutes les offres et en l'ajoutant au coût estimé par le gouvernement.

L'Objectif : Vous voulez que votre offre soit celle qui est la plus proche de la Cible, mais sans la dépasser.
La Surprise : Si vous proposez un prix trop élevé, vous perdez. Si vous proposez un prix trop bas, vous perdez aussi. Vous devez deviner ce que les autres vont offrir, calculer la moyenne, puis viser votre offre juste en dessous de cette moyenne.

Cela transforme le processus d'appel d'offres en un « Concours de beauté » (un concept économique célèbre). Vous n'essayez pas d'être le plus efficace ; vous essayez de deviner ce que le groupe pense que sera la moyenne, afin de vous positionner juste en dessous.

Le Problème : Aucune « Mouvement Parfait » n'existe

L'auteur, Nizar Riane, utilise la Théorie des Jeux (la mathématique de la stratégie) pour analyser cette nouvelle règle.

Le Problème de la Stratégie Pure :
Imaginez que vous jouez à ce jeu avec des amis. Vous essayez de trouver un nombre spécifique à offrir qui gagnera toujours, peu importe ce que font vos amis.

Si tout le monde offre le même montant, vous pouvez légèrement baisser votre offre pour gagner.
Si tout le monde offre des montants différents, vous pouvez calculer l'endroit parfait pour sous-coter la moyenne.
Le Piège : Dès que vous choisissez un nombre « parfait », vos amis peuvent changer leurs nombres pour transformer votre « endroit parfait » en une position perdante.

Le document prouve que dans ce jeu, il n'existe aucun nombre unique « meilleur » à offrir. Si vous essayez de vous en tenir à un nombre spécifique, vous finirez par perdre. En termes mathématiques, il n'y a pas d'Équilibre de Nash en « Stratégie Pure » (un état stable où personne ne souhaite changer son mouvement).

La Solution : L'Art du Hasard

Puisque vous ne pouvez pas choisir un seul nombre gagnant, le document suggère que la seule façon de jouer est de randomiser. Cela s'appelle une Stratégie Mixte.

Au lieu de dire : « Je vais offrir 100 $ », vous dites : « Je vais choisir au hasard une offre entre 90 $ et 110 $, en suivant un motif spécifique. »

Le document trouve deux façons différentes de réaliser cette randomisation pour un jeu à deux joueurs :

Le Mélange Uniforme : Imaginez étaler vos offres comme du beurre sur du pain grillé sur deux intervalles spécifiques. Vous ne choisissez pas un seul endroit ; vous répartissez vos chances uniformément sur deux plages.
Le Mélange Fonctionnel : Imaginez une courbe où vous êtes plus susceptible d'offrir certains nombres et moins susceptible d'en offrir d'autres, en suivant une formule mathématique spécifique (comme une courbe en cloche, mais d'une forme différente).

Les deux méthodes aboutissent à un jeu « équitable » où, en moyenne, vous gagnez la moitié du temps (ou une fraction spécifique du temps), et aucun joueur ne peut améliorer ses chances en changeant son motif aléatoire.

Ce qui se passe lorsque les règles deviennent inégales

Le document examine également ce qui se passe si le jeu n'est pas équitable. Et si l'offre du Joueur 1 comptait pour 60 % de la moyenne, mais que celle du Joueur 2 ne comptait que pour 40 % ?

La Métaphore : Imaginez une partie de tir à la corde où une équipe a une corde beaucoup plus longue. Cette équipe a plus d'influence sur la « Cible ».
Le Résultat : Le document calcule exactement comment la « probabilité de gagner » change en fonction de ce déséquilibre. Il montre que lorsqu'un joueur obtient plus de pouvoir pour influencer la moyenne, le jeu se déplace et les chances de gagner changent de manière prévisible et mathématique.

Le Problème du Grand Groupe (N Joueurs)

Enfin, le document se demande : « Que se passe-t-il s'il y a 10, 20 ou 100 offreurs ? »

Le Chaos : Avec plus de personnes, les mathématiques deviennent incroyablement compliquées. La « Cible » dépend de la moyenne de tout le monde, et la « zone de victoire » devient une forme complexe et irrégulière difficile à décrire.
La Preuve Mathématique : L'auteur n'a pas pu écrire une formule simple pour 100 joueurs comme il l'a fait pour 2. Cependant, il a utilisé des mathématiques avancées (spécifiquement en étendant un théorème célèbre de Dasgupta et Maskin) pour prouver qu'une solution existe toujours.
L'Essentiel : Même si le jeu est chaotique et que les règles sont « irrégulières » (discontinues), il existe toujours un moyen stable et équitable pour tout le monde de jouer en utilisant des stratégies aléatoires. Le document prouve qu'un « Équilibre en Stratégie Mixte » existe, même si nous ne pouvons pas écrire la formule exacte pour celui-ci dans le cas général.

Résumé

Le Jeu : Une règle d'appel d'offres marocaine où vous devez deviner la moyenne du groupe et offrir juste en dessous.
La Découverte : Vous ne pouvez pas gagner en choisissant un nombre spécifique. Vous devez randomiser vos offres.
Les Mathématiques : Le document prouve que bien qu'aucun mouvement unique « parfait » n'existe, il existe des motifs spécifiques de mouvements aléatoires qui créent un jeu stable et équitable pour 2 joueurs, et prouve qu'un tel jeu stable existe même pour de grands groupes, même si nous ne pouvons pas facilement calculer le motif exact pour les grands groupes.

Le document est essentiellement une histoire de détective mathématique montrant que même dans un jeu chaotique et brisant les règles, l'ordre et l'équité peuvent être trouvés grâce au pouvoir de la probabilité.

Résumé technique : Le jeu des marchés publics marocains

Définition du problème
Ce papier analyse le marché des marchés publics marocain suite à une réforme de mars 2023. Selon les nouvelles règles, les contrats sont attribués non pas à l'offre la plus basse, mais à l'offre la plus proche d'un prix de référence $P$ , défini par $P = E + \bar{x}/2$ , où $E$ est le coût estimé et $\bar{x}$ la moyenne de toutes les offres soumises. Les offres doivent se situer dans un intervalle admissible $[A, B]$ . Si aucune offre n'est inférieure à $P$ , le gagnant est l'offre la plus proche venant de dessus ; les égalités sont départagées par tirage au sort.

L'auteur modélise ce mécanisme comme un jeu non coopératif à $N$ joueurs. Le défi central identifié est que les fonctions de gain sont discontinues et non quasi-concaves. Le résultat dépend de manière discontinue des positions relatives des offres par rapport à la moyenne agrégée, violant les hypothèses de semi-continuité et de convexité requises pour les théorèmes classiques d'existence d'équilibre (par exemple, Nash, Glicksberg). Le jeu est caractérisé comme un jeu agrégatif où les gains dépendent du profil complet des stratégies, et non seulement de la stratégie individuelle et d'un agrégateur.

Méthodologie
Le papier utilise des outils de théorie des jeux spécifiquement conçus pour les jeux discontinus afin d'établir l'existence et la forme explicite des équilibres. La méthodologie se déroule en trois étapes :

Analyse des stratégies pures : L'auteur démontre d'abord qu'aucun équilibre de Nash n'existe en stratégies pures. Cela est prouvé en montrant que pour tout profil, un joueur peut toujours dévier vers une offre spécifique (calculée sur la base des offres des adversaires et de $E$ ) pour sécuriser une victoire, exploitant la sensibilité de la moyenne aux offres individuelles.
Construction explicite (cas à deux joueurs) : Pour le cas symétrique à deux joueurs, le papier dérive deux équilibres de Nash en stratégies mixtes distincts en utilisant des méthodes constructives :
- Stratégie basée sur l'uniforme : Inspirée de Sion et Wolfe (1958), cette approche construit une valeur de $1/2$ en utilisant un mélange de distributions uniformes sur des sous-intervalles spécifiques de $[A, B]$ .
- Solution d'équation fonctionnelle : Suivant Dresher (1961), l'auteur établit un système d'équations fonctionnelles basé sur les conditions d'optimalité. Cela produit un second équilibre caractérisé par une fonction de densité proportionnelle à $1/(x-E)$ sur un support spécifique, distinct de la solution basée sur l'uniforme.
Cas général à $N$ joueurs : Pour $N \geq 3$ $N \geq 3$ , la construction explicite devient impraticable en raison de la complexité des ensembles de discontinuité. L'auteur applique à la place une version étendue du cadre Dasgupta et Maskin (1986). Cela implique :
- La définition des ensembles de discontinuité (égalités, points fixes et points de transition) et la démonstration qu'ils ont une mesure de Lebesgue nulle.
- La vérification que le jeu satisfait la semi-continuité inférieure faible et que la somme des gains est semi-continue supérieure.
- L'établissement de la sécurité des gains dans l'extension mixte en vérifiant la condition de correspondance disjointe des gains (Allison et Lepore, 2014), ce qui surmonte l'échec de la sécurité uniforme des gains dans cette structure de jeu spécifique.
- La preuve qu'une séquence d'équilibres de jeux finis converge vers un équilibre en stratégies mixtes dans le jeu continu.

Résultats clés

Non-existence en stratégies pures : Le jeu n'admet aucun équilibre de Nash en stratégies pures pour tout $N \geq 2$ .
Équilibres à deux joueurs : Deux équilibres de Nash en stratégies mixtes symétriques explicites sont dérivés :
1. Une stratégie impliquant un mélange de distributions uniformes sur les intervalles $[A, A_1]$ et $[A_1, A_2]$ , produisant une valeur de jeu de $1/2$ .
2. Une stratégie avec une densité $f(x) \propto 1/(x-E)$ sur $[A, A_2]$ , produisant également une valeur de $1/2$ .
Cas asymétrique à deux joueurs : Le papier généralise le modèle à un prix de référence pondéré $P = (px + (1-p)y + E)/2$. Il identifie différents régimes basés sur le paramètre de poids $p$ (symétrique, intermédiaire, critique et faible- $p$ ). Des valeurs de jeu explicites sont dérivées, telles que $1/3$ dans le régime critique et $2/5$ dans le régime intermédiaire, avec des fonctions de densité explicites fournies pour le cas général.
Existence dans le cas général à $N$ joueurs : Le papier établit l'existence d'un équilibre de Nash en stratégies mixtes symétrique pour tout $N \geq 3$ . Cela est réalisé en étendant le résultat de Dasgupta-Maskin pour gérer la structure de discontinuité spécifique du jeu des marchés publics, prouvant que l'extension mixte est sécurisée par une meilleure réponse.

Signification et revendications
Le papier prétend fournir une fondation théorique rigoureuse pour comprendre le nouveau mécanisme des marchés publics marocain, qui transforme le marché en un « concours de beauté keynésien » où les soumissionnaires anticipent le comportement collectif plutôt que de minimiser les coûts.

La contribution principale est la déduction constructive de stratégies d'équilibre explicites pour le cas à deux joueurs, une rareté dans la littérature sur les jeux discontinus qui repose souvent sur des preuves d'existence non constructives. De plus, le papier étend le théorème d'existence Dasgupta-Maskin (1986) à une classe spécifique de jeux agrégatifs présentant des discontinuités non standard (dépendant du profil complet plutôt que de l'agrégateur uniquement), établissant ainsi l'existence d'équilibres mixtes symétriques pour le cas général à $N$ joueurs. Ce travail comble le fossé entre la théorie abstraite des jeux discontinus et une réforme concrète de politique économique réelle.