📈 economics

The Moroccan Public Procurement Game

Dit artikel analyseert de Marokkaanse markt voor overheidsopdrachten als een strategisch spel met discontinu en niet-quasi-concaaf uitbetalingsprofiel, waarbij het de afwezigheid van Nash-evenwichten in zuivere strategieën aantoont en tegelijkertijd het bestaan van evenwichten in gemengde strategieën vaststelt voor zowel twee-speler- als algemene N-speler-scenario's.

Oorspronkelijke auteurs: Nizar Riane

Gepubliceerd 2026-05-26

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Nizar Riane

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Het Grote Geheel: Een Spel van het Gissen naar het Gemiddelde

Stel je een groep mensen voor die bieden op een contract om een brug te bouwen. In de oude dagen was de regel simpel: "Wie de laagste prijs biedt, wint." Maar in 2023 veranderde Marokko de regels. Nu is de winnaar niet langer alleen de goedkoopste bieder.

In plaats daarvan stelt de overheid een "Referentieprijs" in (laten we dit de Doelwaarde noemen). Deze Doelwaarde wordt berekend door het gemiddelde van iedereen's biedingen op te tellen bij de geschatte kosten van de overheid zelf.

Het Doel: Je wilt dat je bod de dichtst bij de Doelwaarde ligt, maar er niet hoger dan ligt.
De Twist: Als je te hoog biedt, verlies je. Als je te laag biedt, verlies je ook. Je moet raden wat iedereen anders zal bieden, het gemiddelde berekenen en vervolgens je bod net onder dat gemiddelde richten.

Dit verandert het biedproces in een "Schoonheidswedstrijd" (een beroemd economisch concept). Je probeert niet de meest efficiënte te zijn; je probeert te raden wat de groep denkt dat het gemiddelde zal zijn, zodat je jezelf net onder dat gemiddelde kunt positioneren.

Het Probleem: Er Bestaat Geen "Perfecte" Move

De auteur, Nizar Riane, gebruikt Speltheorie (de wiskunde van strategie) om deze nieuwe regel te analyseren.

Het Probleem met de Pure Strategie:
Stel je voor dat je dit spel speelt met vrienden. Je probeert één specifiek getal te vinden om te bieden dat altijd zal winnen, ongeacht wat je vrienden doen.

Als iedereen hetzelfde bedrag biedt, kun je je bod iets verlagen om te winnen.
Als iedereen anders biedt, kun je de perfecte plek berekenen om het gemiddelde te onderbieden.
De Vangst: Zodra je een "perfect" getal kiest, kunnen je vrienden hun getallen veranderen om jouw "perfecte" plek tot een verliezende plek te maken.

Het paper bewijst dat in dit spel er geen enkel "beste" getal is om te bieden. Als je probeert vast te houden aan één specifiek getal, zul je uiteindelijk verliezen. In wiskundige termen bestaat er geen "Pure Strategie" Nash-evenwicht (een stabiele staat waarin niemand zijn zet wil veranderen).

De Oplossing: De Kunst van het Willekeurige

Omdat je niet één winnend getal kunt kiezen, suggereert het paper dat de enige manier om te spelen is door te randomiseren. Dit heet een Gemengde Strategie.

In plaats van te zeggen: "Ik bied $100", zeg je: "Ik kies willekeurig een bod tussen $90 en $110, volgens een specifiek patroon."

Het paper vindt twee verschillende manieren om deze randomisatie toe te passen voor een spel met twee spelers:

De Uniforme Mix: Stel je voor dat je je biedingen uitstrooit als boter op toast over twee specifieke intervallen. Je kiest niet één plek; je spreidt je kansen gelijkmatig over twee bereiken uit.
De Functionele Mix: Stel je een curve voor waarbij je bepaalde getallen waarschijnlijker biedt dan andere, volgens een specifieke wiskundige formule (zoals een klokkromme, maar dan anders gevormd).

Beide methoden resulteren in een "eerlijk" spel waarbij je gemiddeld de helft van de tijd wint (of een specifiek fractie van de tijd), en geen enkele speler zijn kansen kan verbeteren door zijn willekeurige patroon te veranderen.

Wat Er Gebeurt Als de Regels Ongelijkworden

Het paper bekijkt ook wat er gebeurt als het spel niet eerlijk is. Wat als het bod van Speler 1 voor 60% van het gemiddelde telt, maar het bod van Speler 2 slechts voor 40%?

De Metafoor: Stel je een touwtrekken voor waarbij één team een veel langere touw heeft. Dat team heeft meer invloed op de "Doelwaarde".
Het Resultaat: Het paper berekent precies hoe de "winkans" verandert op basis van deze onevenwichtigheid. Het laat zien dat naarmate één speler meer macht krijgt om het gemiddelde te beïnvloeden, het spel verschuift en de winstkansen op voorspelbare, wiskundige manieren veranderen.

Het Grote Groepsprobleem (N Spelers)

Tot slot vraagt het paper: "Wat gebeurt er als er 10, 20 of 100 bieders zijn?"

Het Chaos: Met meer mensen wordt de wiskunde ongelooflijk rommelig. De "Doelwaarde" hangt af van het gemiddelde van iedereen, en de "winnende zone" wordt een complexe, gekartelde vorm die moeilijk te beschrijven is.
Het Wiskundige Bewijs: De auteur kon geen eenvoudige formule opschrijven voor 100 spelers zoals hij dat voor 2 had gedaan. Echter, hij gebruikte geavanceerde wiskunde (specifiek het uitbreiden van een beroemd theorem van Dasgupta en Maskin) om te bewijzen dat er nog steeds een oplossing bestaat.
De Conclusie: Hoewel het spel chaotisch is en de regels "gekarteld" (discontinu) zijn, is er nog steeds een stabiele, eerlijke manier voor iedereen om te spelen met willekeurige strategieën. Het paper bewijst dat er een "Gemengde Strategie-evenwicht" bestaat, zelfs als we de exacte formule voor het algemeen geval niet kunnen opschrijven.

Samenvatting

Het Spel: Een Marokkaanse biedregel waarbij je het groepsgemiddelde moet raden en er net onder moet bieden.
De Ontdekking: Je kunt niet winnen door één specifiek getal te kiezen. Je moet je biedingen randomiseren.
De Wiskunde: Het paper bewijst dat hoewel er geen "perfecte" enkele zet bestaat, er specifieke patronen van willekeurige zetten zijn die een stabiel, eerlijk spel creëren voor 2 spelers, en bewijst dat zo'n stabiel spel ook bestaat voor grote groepen, zelfs als we het exacte patroon voor grote groepen niet gemakkelijk kunnen berekenen.

Het paper is in wezen een wiskundig detectiveverhaal dat laat zien dat zelfs in een chaotisch, regels-brekend spel, orde en eerlijkheid gevonden kunnen worden door de kracht van waarschijnlijkheid.

Technische Samenvatting: Het Marokkaanse Openbare Aanbestedingsspel

Probleemdefinitie
Dit artikel analyseert de Marokkaanse markt voor openbare aanbestedingen na een hervorming in maart 2023. Onder de nieuwe regels worden contracten niet toegekend aan de laagste bieder, maar aan het bod dat het dichtst bij een referentieprijs $P$ ligt, gedefinieerd als $P = E + \bar{x}/2$ , waarbij $E$ de geschatte kosten zijn en $\bar{x}$ het gemiddelde van alle ingediende boden. Bodem moeten binnen een toelaatbaar interval $[A, B]$ vallen. Als er geen bod onder $P$ ligt, is de winnaar het dichtstbijzijnde bod van bovenaf; bij gelijkstand wordt de beslissing genomen door loting.

De auteur modelleert dit mechanisme als een niet-coöperatief $N$ -speler spel. De centrale uitdaging die wordt geïdentificeerd, is dat de uitbetalingsfuncties discontinu en niet-kwasi-concaaf zijn. Het resultaat hangt discontinu af van de relatieve posities van de biedingen ten opzichte van het collectieve gemiddelde, wat de semi-continuïteits- en convexiteitsaannames schendt die vereist zijn voor klassieke stellingen over het bestaan van evenwichten (bijv. Nash, Glicksberg). Het spel wordt gekarakteriseerd als een aggregatief spel waarbij uitbetalingen afhangen van het volledige strategisch profiel, en niet alleen van de individuele strategie en een aggregator.

Methodologie
Het artikel maakt gebruik van speltheoretische instrumenten die specifiek zijn ontworpen voor discontinu spel om het bestaan en de expliciete vorm van evenwichten vast te stellen. De methodologie verloopt in drie fasen:

Analyse van Pure Strategieën: De auteur toont eerst aan dat er geen Nash-evenwicht bestaat in pure strategieën. Dit wordt bewezen door aan te tonen dat voor elk profiel een speler altijd kan afwijken naar een specifiek bod (berekend op basis van de biedingen van tegenstanders en $E$ ) om een overwinning te garanderen, door gebruik te maken van de gevoeligheid van het gemiddelde voor individuele biedingen.
Expliciete Constructie (Twee-Speler Geval): Voor het symmetrische twee-speler geval leidt het artikel twee verschillende gemengde-strategie Nash-evenwichten af met behulp van constructieve methoden:
- Op Uniformiteit Gebaseerde Strategie: Geïnspireerd door Sion en Wolfe (1958), bouwt deze aanpak een waarde van $1/2$ op met behulp van een mengsel van uniforme verdelingen over specifieke sub-intervallen van $[A, B]$ .
- Oplossing van Functionele Vergelijking: Volgend op Dresher (1961) stelt de auteur een systeem van functionele vergelijkingen op dat gebaseerd is op optimaliteitsvoorwaarden. Dit levert een tweede evenwicht op dat wordt gekenmerkt door een dichtheidsfunctie evenredig met $1/(x-E)$ over een specifieke steun, die verschilt van de uniformiteit-gebaseerde oplossing.
Algemeen $N$ -Speler Geval: Voor $N \geq 3$ $N \geq 3$ wordt expliciete constructie onuitvoerbaar vanwege de complexiteit van de discontinuïteitsverzamelingen. De auteur past in plaats daarvan een uitgebreide versie van het Dasgupta en Maskin (1986) kader toe. Dit omvat:
- Het definiëren van discontinuïteitsverzamelingen (gelijkstanden, vaste punten en overgangspunten) en het aantonen dat deze een Lebesgue-maat van nul hebben.
- Het verifiëren dat het spel voldoet aan zwakke onderhelft-continuïteit en dat de som van uitbetalingen bovenhelft-continu is.
- Het vaststellen van uitbetalingsveiligheid in de gemengde extensie door de voorwaarde voor disjuncte uitbetalingsmatching te verifiëren (Allison en Lepore, 2014), wat het falen van uniforme uitbetalingsveiligheid in deze specifieke spelstructuur overbrugt.
- Het bewijzen dat een reeks evenwichten van eindige spellen convergeert naar een gemengde-strategie evenwicht in het continue spel.

Belangrijkste Resultaten

Niet-bestaan in Pure Strategieën: Het spel kent voor geen enkele $N \geq 2$ een Nash-evenwicht in pure strategieën.
Twee-Speler Evenwichten: Twee expliciete symmetrische gemengde-strategie evenwichten worden afgeleid:
1. Een strategie die een mengsel omvat van uniforme verdelingen op intervallen $[A, A_1]$ en $[A_1, A_2]$ , wat een spelwaarde van $1/2 oplevert.
2. Een strategie met een dichtheid $f(x) \propto 1/(x-E)$ op $[A, A_2]$ , die eveneens een waarde van $1/2 oplevert.
Asymmetrisch Twee-Speler Geval: Het artikel generaliseert het model naar een gewogen referentieprijs $P = (px + (1-p)y + E)/2$. Het identificeert verschillende regimes op basis van de gewichtsparameter $p$ (symmetrisch, intermediair, kritiek en laag- $p$ ). Expliciete spelwaarden worden afgeleid, zoals $1/3$ in het kritieke regime en $2/5$ in het intermediaire regime, met expliciete dichtheidsfuncties voor het algemene geval.
Bestaan in Algemeen $N$ -Speler Geval: Het artikel stelt het bestaan vast van een symmetrisch gemengde-strategie Nash-evenwicht voor elke $N \geq 3$ . Dit wordt bereikt door het Dasgupta-Maskin-resultaat uit te breiden om de specifieke discontinuïteitsstructuur van het aanbestedingsspel te hanteren, en bewijst dat de gemengde extensie beter-reactie veilig is.

Betekenis en Aanspraken
Het artikel claimt een rigoureuze theoretische basis te bieden voor het begrijpen van het nieuwe Marokkaanse aanbestedingsmechanisme, dat de markt transformeert in een "Keynesiaanse schoonheidswedstrijd" waarbij bieders collectief gedrag anticiperen in plaats van kosten te minimaliseren.

De primaire bijdrage is de constructieve afleiding van expliciete evenwichtsstrategieën voor het twee-speler geval, een zeldzaamheid in de literatuur over discontinu spel die vaak steunt op niet-constructieve bewijzen van bestaan. Bovendien breidt het artikel het Dasgupta-Maskin (1986) bestaanstheorema uit tot een specifieke klasse van aggregatieve spellen met niet-standaard discontinuïteiten (afhankelijk van het volledige profiel en niet alleen van de aggregator), waardoor het bestaan van symmetrische gemengde evenwichten voor het algemene $N$ -speler geval wordt vastgesteld. Het werk overbrugt de kloof tussen abstracte discontinu speltheorie en een concrete, reële economische beleidsreform.