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The Moroccan Public Procurement Game

Dieser Beitrag analysiert den marokkanischen Markt für öffentliche Aufträge als strategisches Spiel mit diskontinuierlichen und nicht-quasikonkaven Auszahlungen, wobei die Abwesenheit von Nash-Gleichgewichten in reinen Strategien nachgewiesen und gleichzeitig die Existenz von Nash-Gleichgewichten in gemischten Strategien sowohl für Zwei-Spieler- als auch für allgemeine N-Spieler-Szenarien etabliert wird.

Ursprüngliche Autoren: Nizar Riane

Veröffentlicht 2026-05-26

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Nizar Riane

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Das große Ganze: Ein Spiel des Raten des Durchschnitts

Stellen Sie sich eine Gruppe von Leuten vor, die um einen Vertrag zum Bau einer Brücke bieten. In früheren Zeiten war die Regel einfach: „Wer das niedrigste Angebot macht, gewinnt." Doch 2023 änderte Marokko die Regeln. Der Gewinner ist nun nicht mehr einfach nur der billigste Bieter.

Stattdessen legt die Regierung einen „Referenzpreis" fest (nennen wir ihn Ziel). Dieses Ziel wird berechnet, indem der Durchschnitt aller Angebote genommen und zu den geschätzten Kosten der Regierung addiert wird.

Das Ziel: Ihr Angebot soll dasjenige sein, das dem Ziel am nächsten kommt, aber nicht darüber liegt.
Der Twist: Wenn Sie zu hoch bieten, verlieren Sie. Wenn Sie zu niedrig bieten, verlieren Sie auch. Sie müssen erraten, was alle anderen bieten werden, den Durchschnitt berechnen und dann Ihr Angebot knapp unter diesem Durchschnitt platzieren.

Dadurch wird der Bieterprozess zu einem „Schönheitswettbewerb" (ein berühmtes ökonomisches Konzept). Sie versuchen nicht, die effizienteste zu sein; Sie versuchen zu erraten, was die Gruppe für den Durchschnitt hält, damit Sie sich knapp darunter positionieren können.

Das Problem: Es gibt keinen „perfekten" Zug

Der Autor, Nizar Riane, nutzt die Spieltheorie (die Mathematik der Strategie), um diese neue Regel zu analysieren.

Das Problem der reinen Strategie:
Stellen Sie sich vor, Sie spielen dieses Spiel mit Freunden. Sie versuchen, eine spezifische Zahl zu finden, die Sie bieten, um immer zu gewinnen, egal was Ihre Freunde tun.

Wenn alle den gleichen Betrag bieten, können Sie Ihr Angebot leicht senken, um zu gewinnen.
Wenn alle unterschiedlich bieten, können Sie den perfekten Ort berechnen, um den Durchschnitt zu unterbieten.
Der Haken: Sobald Sie eine „perfekte" Zahl wählen, können Ihre Freunde ihre Zahlen ändern, um Ihren „perfekten" Ort in eine verlierende Position zu verwandeln.

Das Papier beweist, dass es in diesem Spiel keine einzelne „beste" Zahl zum Bieten gibt. Wenn Sie versuchen, bei einer spezifischen Zahl zu bleiben, werden Sie schließlich verlieren. In mathematischen Begriffen gibt es kein Nash-Gleichgewicht der „reinen Strategie" (ein stabiler Zustand, in dem niemand seinen Zug ändern möchte).

Die Lösung: Die Kunst der Zufälligkeit

Da Sie keine einzelne Gewinnzahl wählen können, schlägt das Papier vor, dass der einzige Weg zu spielen darin besteht, zu randomisieren. Dies wird als gemischte Strategie bezeichnet.

Anstatt zu sagen: „Ich werde 100 $ bieten", sagen Sie: „Ich werde zufällig ein Angebot zwischen 90 $ und 110 $ wählen, wobei ich einem bestimmten Muster folge."

Das Papier findet zwei verschiedene Möglichkeiten, diese Randomisierung für ein Spiel mit zwei Spielern durchzuführen:

Die gleichmäßige Mischung: Stellen Sie sich vor, Sie verteilen Ihre Angebote wie Butter auf Toast über zwei spezifische Intervalle. Sie wählen nicht einen Punkt; Sie verteilen Ihre Chancen gleichmäßig über zwei Bereiche.
Die funktionale Mischung: Stellen Sie sich eine Kurve vor, bei der Sie bestimmte Zahlen mit höherer Wahrscheinlichkeit bieten und andere mit geringerer Wahrscheinlichkeit, wobei Sie einer spezifischen mathematischen Formel folgen (wie eine Glockenkurve, aber anders geformt).

Beide Methoden führen zu einem „fairen" Spiel, bei dem Sie im Durchschnitt die Hälfte der Zeit (oder einen bestimmten Bruchteil der Zeit) gewinnen, und kein Spieler kann seine Gewinnchancen verbessern, indem er sein Zufallsmuster ändert.

Was passiert, wenn die Regeln ungleich werden?

Das Papier untersucht auch, was passiert, wenn das Spiel nicht fair ist. Was, wenn das Angebot von Spieler 1 zu 60 % in den Durchschnitt eingeht, das Angebot von Spieler 2 aber nur zu 40 %?

Die Metapher: Stellen Sie sich ein Seilziehen vor, bei dem ein Team ein viel längeres Seil hat. Dieses Team hat mehr Einfluss auf das „Ziel".
Das Ergebnis: Das Papier berechnet genau, wie sich die „Gewinnwahrscheinlichkeit" aufgrund dieses Ungleichgewichts verändert. Es zeigt, dass, sobald ein Spieler mehr Macht hat, den Durchschnitt zu beeinflussen, sich das Spiel verschiebt und sich die Gewinnchancen auf vorhersehbare, mathematische Weise ändern.

Das Problem der großen Gruppe (N Spieler)

Schließlich fragt das Papier: „Was passiert, wenn es 10, 20 oder 100 Bieter gibt?"

Das Chaos: Mit mehr Menschen wird die Mathematik unglaublich kompliziert. Das „Ziel" hängt vom Durchschnitt aller ab, und die „Gewinnzone" wird zu einer komplexen, gezackten Form, die schwer zu beschreiben ist.
Der mathematische Beweis: Der Autor konnte keine einfache Formel für 100 Spieler aufschreiben, wie er es für 2 getan hatte. Allerdings nutzte er fortgeschrittene Mathematik (insbesondere die Erweiterung eines berühmten Theorems von Dasgupta und Maskin), um zu beweisen, dass eine Lösung dennoch existiert.
Die Erkenntnis: Obwohl das Spiel chaotisch ist und die Regeln „gezackt" (unstetig) sind, gibt es immer noch eine stabile, faire Möglichkeit für alle, mit zufälligen Strategien zu spielen. Das Papier beweist, dass ein „Gleichgewicht der gemischten Strategie" existiert, auch wenn wir die genaue Formel dafür im allgemeinen Fall nicht einfach aufschreiben können.

Zusammenfassung

Das Spiel: Eine marokkanische Bieterregel, bei der Sie den Gruppendurchschnitt erraten und knapp darunter bieten müssen.
Die Entdeckung: Sie können nicht gewinnen, indem Sie eine spezifische Zahl wählen. Sie müssen Ihre Angebote randomisieren.
Die Mathematik: Das Papier beweist, dass zwar kein „perfekter" einzelner Zug existiert, aber spezifische Muster zufälliger Züge ein stabiles, faires Spiel für 2 Spieler schaffen, und beweist, dass ein solches stabiles Spiel auch für große Gruppen existiert, auch wenn wir das genaue Muster für große Gruppen nicht leicht berechnen können.

Das Papier ist im Wesentlichen eine mathematische Detektivgeschichte, die zeigt, dass selbst in einem chaotischen, regelbrechenden Spiel durch die Kraft der Wahrscheinlichkeit Ordnung und Fairness gefunden werden können.

Technische Zusammenfassung: Das marokkanische Vergabespiel

Problemdefinition
Dieser Beitrag analysiert den marokkanischen Markt für öffentliche Aufträge im Anschluss an eine Reform vom März 2023. Nach den neuen Regeln werden Aufträge nicht dem niedrigsten Bieter, sondern dem Angebot zugesprochen, das einem Referenzpreis $P$ am nächsten liegt, definiert als $P = E + \bar{x}/2$ , wobei $E$ die geschätzten Kosten und $\bar{x}$ der Durchschnitt aller eingereichten Angebote ist. Angebote müssen innerhalb eines zulässigen Intervalls $[A, B]$ liegen. Wenn kein Angebot unterhalb von $P$ liegt, gewinnt das Angebot, das von oben am nächsten liegt; bei Gleichstand entscheidet das Los.

Der Autor modelliert diesen Mechanismus als nicht-kooperatives $N$ -Personen-Spiel. Die zentrale Herausforderung besteht darin, dass die Auszahlungsfunktionen diskontinuierlich und nicht quasikonkav sind. Das Ergebnis hängt diskontinuierlich von den relativen Positionen der Angebote bezüglich des aggregierten Durchschnitts ab, was die Voraussetzungen der Halbstetigkeit und Konvexität verletzt, die für klassische Existenzsätze von Gleichgewichten (z. B. Nash, Glicksberg) erforderlich sind. Das Spiel wird als aggregatives Spiel charakterisiert, bei dem die Auszahlungen vom vollständigen Strategienprofil abhängen und nicht nur von der individuellen Strategie und einem Aggregator.

Methodik
Der Beitrag verwendet spieltheoretische Werkzeuge, die speziell für diskontinuierliche Spiele entwickelt wurden, um die Existenz und die explizite Form von Gleichgewichten nachzuweisen. Die Methodik verläuft in drei Stufen:

Analyse reiner Strategien: Der Autor zeigt zunächst, dass kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien existiert. Dies wird bewiesen, indem gezeigt wird, dass für jedes Profil ein Spieler immer zu einem spezifischen Angebot (berechnet basierend auf den Angeboten der Gegner und $E$ ) abweichen kann, um einen Gewinn zu sichern, indem er die Sensitivität des Mittels gegenüber einzelnen Angeboten ausnutzt.
Explizite Konstruktion (Fall mit zwei Spielern): Für den symmetrischen Zwei-Personen-Fall leitet der Beitrag zwei verschiedene Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien mittels konstruktiver Methoden ab:
- Auf Uniformverteilung basierende Strategie: Inspiriert von Sion und Wolfe (1958) konstruiert dieser Ansatz einen Wert von $1/2$ mittels einer Mischung von Uniformverteilungen über spezifische Teilintervalle von $[A, B]$ .
- Lösung einer Funktionalgleichung: Folgend Dresher (1961) stellt der Autor ein System von Funktionalgleichungen auf, das auf Optimalitätsbedingungen basiert. Dies ergibt ein zweites Gleichgewicht, das durch eine Dichtefunktion charakterisiert ist, die proportional zu $1/(x-E)$ über einem spezifischen Träger ist und sich von der auf Uniformverteilung basierenden Lösung unterscheidet.
Allgemeiner Fall mit $N$ Spielern: Für $N \geq 3$ $N \geq 3$ wird eine explizite Konstruktion aufgrund der Komplexität der Diskontinuitätsmengen unpraktikabel. Der Autor wendet stattdessen eine erweiterte Version des Dasgupta-Maskin (1986)-Rahmens an. Dies umfasst:
- Die Definition von Diskontinuitätsmengen (Gleichstände, Fixpunkte und Übergangspunkte) und den Nachweis, dass sie ein Lebesgue-Maß von null haben.
- Die Verifizierung, dass das Spiel schwache untere Halbstetigkeit erfüllt und die Summe der Auszahlungen oberhalb halbstetig ist.
- Die Etablierung von Auszahlungssicherheit in der gemischten Erweiterung durch Verifizierung der Bedingung der disjunkten Auszahlungsmatching (Allison und Lepore, 2014), was das Versagen der einheitlichen Auszahlungssicherheit in dieser spezifischen Spielstruktur überwindet.
- Der Beweis, dass eine Folge von Gleichgewichten endlicher Spiele gegen ein Gleichgewicht in gemischten Strategien im kontinuierlichen Spiel konvergiert.

Hauptergebnisse

Nicht-Existenz in reinen Strategien: Das Spiel admits kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien für jedes $N \geq 2$ .
Gleichgewichte bei zwei Spielern: Zwei explizite symmetrische Gleichgewichte in gemischten Strategien werden hergeleitet:
1. Eine Strategie, die eine Mischung von Uniformverteilungen auf den Intervallen $[A, A_1]$ und $[A_1, A_2]$ beinhaltet und einen Spielwert von $1/2$ ergibt.
2. Eine Strategie mit einer Dichte $f(x) \propto 1/(x-E)$ auf $[A, A_2]$ , die ebenfalls einen Wert von $1/2$ ergibt.
Asymmetrischer Fall mit zwei Spielern: Der Beitrag verallgemeinert das Modell auf einen gewichteten Referenzpreis $P = (px + (1-p)y + E)/2$. Es werden verschiedene Regime identifiziert, die auf dem Gewichtsparameter $p$ basieren (symmetrisch, intermediär, kritisch und niedriger $p$ ). Explizite Spielwerte werden hergeleitet, wie $1/3$ im kritischen Regime und $2/5$ im intermediären Regime, wobei für den allgemeinen Fall explizite Dichtefunktionen bereitgestellt werden.
Existenz im allgemeinen Fall mit $N$ Spielern: Der Beitrag stellt die Existenz eines symmetrischen Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien für jedes $N \geq 3$ fest. Dies wird erreicht, indem das Dasgupta-Maskin-Ergebnis erweitert wird, um die spezifische Diskontinuitätsstruktur des Vergabespiels zu behandeln, und bewiesen wird, dass die gemischte Erweiterung besserantwortungssicher ist.

Bedeutung und Behauptungen
Der Beitrag beansprucht, eine rigorose theoretische Grundlage für das Verständnis des neuen marokkanischen Vergabemechanismus zu liefern, der den Markt in einen „keynesianischen Schönheitswettbewerb" verwandelt, bei dem Bieter das kollektive Verhalten antizipieren, anstatt Kosten zu minimieren.

Der Hauptbeitrag ist die konstruktive Herleitung expliziter Gleichgewichtsstrategien für den Zwei-Personen-Fall, eine Seltenheit in der Literatur zu diskontinuierlichen Spielen, die sich oft auf nicht-konstruktive Existenzbeweise stützt. Darüber hinaus erweitert der Beitrag den Dasgupta-Maskin (1986)-Existenzsatz auf eine spezifische Klasse aggregativer Spiele mit nicht-standardisierten Diskontinuitäten (die vom vollständigen Profil und nicht nur vom Aggregator abhängen), wodurch die Existenz symmetrischer gemischter Gleichgewichte für den allgemeinen Fall mit $N$ Spielern etabliert wird. Die Arbeit schließt die Lücke zwischen abstrakter Spieltheorie diskontinuierlicher Spiele und einer konkreten, realweltlichen wirtschaftspolitischen Reform.