The Moroccan Public Procurement Game

Resumo Técnico: O Jogo de Contratação Pública Marroquina

Definição do Problema
Este artigo analisa o mercado marroquino de contratação pública após uma reforma de março de 2023. Sob as novas regras, os contratos são atribuídos não ao licitante de menor preço, mas à proposta mais próxima de um preço de referência $P$, definido como $P = E + \bar{x}/2$, onde $E$ é o custo estimado e $\bar{x}$ é a média de todas as propostas submetidas. As propostas devem cair dentro de um intervalo admissível $[A, B]$. Se nenhuma proposta for inferior a $P$, o vencedor é a proposta mais próxima vinda de cima; empates são resolvidos por sorteio.

O autor modela este mecanismo como um jogo não cooperativo de $N$ jogadores. O desafio central identificado é que as funções de pagamento são descontínuas e não quasiconcavas. O resultado depende de forma descontínua das posições relativas das propostas em relação à média agregada, violando as suposições de semicontinuidade e convexidade exigidas pelos teoremas clássicos de existência de equilíbrio (por exemplo, Nash, Glicksberg). O jogo é caracterizado como um jogo agregativo onde os pagamentos dependem do perfil completo de estratégias, e não apenas da estratégia individual e de um agregador.

Metodologia
O artigo emprega ferramentas da teoria dos jogos especificamente projetadas para jogos descontínuos para estabelecer a existência e a forma explícita dos equilíbrios. A metodologia procede em três etapas:

1. Análise de Estratégia Pura: O autor demonstra primeiro que nenhum equilíbrio de Nash existe em estratégias puras. Isso é mostrado provando que, para qualquer perfil, um jogador pode sempre desviar-se para uma proposta específica (calculada com base nas propostas dos oponentes e em $E$) para garantir uma vitória, explorando a sensibilidade da média às propostas individuais.
2. Construção Explícita (Caso de Dois Jogadores): Para o caso simétrico de dois jogadores, o artigo deriva dois equilíbrios de Nash distintos em estratégias mistas usando métodos construtivos:
   • Estratégia Baseada em Distribuição Uniforme: Inspirada por Sion e Wolfe (1958), esta abordagem constrói um valor de $1/2$ usando uma mistura de distribuições uniformes sobre subintervalos específicos de $[A, B]$.
   • Solução de Equação Funcional: Seguindo Dresher (1961), o autor estabelece um sistema de equações funcionais baseado nas condições de otimalidade. Isso produz um segundo equilíbrio caracterizado por uma função de densidade proporcional a $1/(x-E)$ sobre um suporte específico, distinto da solução baseada em distribuição uniforme.
3. Caso Geral de $N$ Jogadores: Para $N \geq 3$, a construção explícita torna-se impraticável devido à complexidade dos conjuntos de descontinuidade. O autor, em vez disso, aplica uma versão estendida do framework Dasgupta e Maskin (1986). Isso envolve:
   • Definir conjuntos de descontinuidade (empates, pontos fixos e pontos de transição) e mostrar que eles têm medida de Lebesgue zero.
   • Verificar que o jogo satisfaz semicontinuidade inferior fraca e que a soma dos pagamentos é semicontínua superiormente.
   • Estabelecer segurança de pagamento na extensão mista verificando a condição de correspondência de pagamentos disjuntos (Allison e Lepore, 2014), que supera a falha da segurança uniforme de pagamentos nesta estrutura específica de jogo.
   • Provar que uma sequência de equilíbrios de jogos finitos converge para um equilíbrio em estratégias mistas no jogo contínuo.

Resultados Principais

• Não Existência em Estratégias Puras: O jogo não admite equilíbrio de Nash em estratégias puras para qualquer $N \geq 2$.
• Equilíbrios de Dois Jogadores: Dois equilíbrios simétricos explícitos em estratégias mistas são derivados:
  1. Uma estratégia envolvendo uma mistura de distribuições uniformes nos intervalos $[A, A_1]$ e $[A_1, A_2]$, produzindo um valor de jogo de $1/2$.
  2. Uma estratégia com uma densidade $f(x) \propto 1/(x-E)$ em $[A, A_2]$, também produzindo um valor de $1/2$.
• Caso Assimétrico de Dois Jogadores: O artigo generaliza o modelo para um preço de referência ponderado $P = (px + (1-p)y + E)/2$. Identifica diferentes regimes com base no parâmetro de peso $p$ (simétrico, intermediário, crítico e baixo-$p$). Valores de jogo explícitos são derivados, como $1/3$ no regime crítico e $2/5$ no regime intermediário, com funções de densidade explícitas fornecidas para o caso geral.
• Existência no Caso Geral de $N$ Jogadores: O artigo estabelece a existência de um equilíbrio de Nash simétrico em estratégias mistas para qualquer $N \geq 3$. Isso é alcançado estendendo o resultado de Dasgupta-Maskin para lidar com a estrutura específica de descontinuidade do jogo de contratação, provando que a extensão mista é segura contra melhores respostas.

Significado e Afirmações
O artigo afirma fornecer uma base teórica rigorosa para entender o novo mecanismo marroquino de contratação, que transforma o mercado em um "concurso de beleza keynesiano", onde os licitantes antecipam o comportamento coletivo em vez de minimizar custos.

A contribuição primária é a derivação construtiva de estratégias de equilíbrio explícitas para o caso de dois jogadores, uma raridade na literatura sobre jogos descontínuos que frequentemente depende de provas de existência não construtivas. Além disso, o artigo estende o teorema de existência Dasgupta-Maskin (1986) a uma classe específica de jogos agregativos com descontinuidades não padrão (dependentes do perfil completo e não apenas do agregador), estabelecendo assim a existência de equilíbrios mistos simétricos para o caso geral de $N$ jogadores. O trabalho preenche a lacuna entre a teoria abstrata de jogos descontínuos e uma reforma concreta de política econômica do mundo real.