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The Moroccan Public Procurement Game

본 논문은 불연속적이고 준오목하지 않은 보수 구조를 가진 전략적 게임으로서 모로코의 공공조달시장을 분석하여 순수전략 내쉬균형의 부재를 입증하고 2인 게임 및 일반적 N인 게임 상황 모두에서 혼합전략 균형의 존재를 확립한다.

원저자: Nizar Riane

게시일 2026-05-26

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CC BY 4.0

원저자: Nizar Riane

원본 논문은 CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) 라이선스로 제공됩니다. ✨ 이것은 아래 논문에 대한 AI 생성 설명입니다. 저자가 작성하거나 승인한 것이 아닙니다. 기술적 정확성을 위해서는 원본 논문을 참조하세요. 전체 면책 조항 읽기

"모로코 공공 조달 게임"에 대한 설명을 쉬운 언어와 일상적인 비유로 풀어냅니다.

큰 그림: 평균을 맞추는 게임

다리 건설 계약을 입찰하는 사람들의 그룹을 상상해 보세요. 예전에는 규칙이 간단했습니다. "가장 낮은 가격을 제시한 사람이 이긴다." 하지만 2023 년 모로코는 규칙을 바꿨습니다. 이제 승자는 단순히 가장 저렴한 입찰자가 아닙니다.

대신 정부는 "기준 가격"을 설정합니다 (이를 목표라고 부르겠습니다). 이 목표는 모든 입찰자의 평균을 계산한 후 정부의 자체 추정 비용에 더하여 산출됩니다.

목표: 당신의 입찰이 목표에 가장 가깝되, 그보다 높지 않은 것이 되기를 원합니다.
반전: 너무 높게 입찰하면 패배합니다. 너무 낮게 입찰해도 패배합니다. 당신은 다른 사람들이 어떻게 입찰할지 추측하고, 평균을 계산한 뒤, 그 평균보다 약간 낮은 지점을 겨냥해야 합니다.

이것은 입찰 과정을 "미인 대회" (유명한 경제학 개념) 로 바꿉니다. 당신은 가장 효율적인 사람이 되려고 하는 것이 아니라, 집단이 평균이 어떻게 될 것이라고 생각하는지 추측하여 그 바로 아래에 자신을 위치시키려 합니다.

문제: "완벽한" 수는 존재하지 않음

저자 니자르 리안은 게임 이론(전략의 수학) 을 사용하여 이 새로운 규칙을 분석합니다.

순수 전략의 문제:
친구들과 이 게임을 한다고 상상해 보세요. 친구들이 무엇을 하든 항상 이길 수 있는 하나의 특정 숫자를 찾아보려 합니다.

모두가 같은 금액을 입찰한다면, 당신은 약간 더 낮게 입찰하여 이길 수 있습니다.
모두가 서로 다른 금액을 입찰한다면, 평균을 깰 완벽한 지점을 계산할 수 있습니다.
하지만: 당신이 "완벽한" 숫자를 선택하는 순간, 친구들은 당신의 그 "완벽한" 지점이 패배하도록 숫자를 바꿀 수 있습니다.

이 논문은 이 게임에서 단 하나의 "최고" 입찰 숫자는 존재하지 않는다는 것을 증명합니다. 만약 당신이 하나의 특정 숫자에 집착한다면 결국 패배하게 됩니다. 수학적으로 말해, 순수 전략 내시 균형(아무도 자신의 수를 바꾸고 싶어 하지 않는 안정된 상태)은 존재하지 않습니다.

해결책: 무작위성의 예술

하나의 승리 숫자를 선택할 수 없으므로, 논문은 플레이하는 유일한 방법은 무작위화하는 것이라고 제안합니다. 이를 혼합 전략이라고 합니다.

"나는 100 달러를 입찰할 것이다"라고 말하는 대신, "나는 90 달러에서 110 달러 사이를 특정 패턴에 따라 무작위로 선택할 것이다"라고 말합니다.

논문은 두 명의 플레이어가 참여하는 게임에 대해 이 무작위화를 수행하는 두 가지 다른 방법을 찾았습니다.

균일 혼합: 두 개의 특정 구간 위에 버터를 빵에 바르듯 입찰을 퍼뜨려 보세요. 당신은 한 지점을 선택하는 것이 아니라, 두 구간 전체에 걸쳐 기회를 균등하게 분산시킵니다.
함수적 혼합: 특정 숫자를 입찰할 확률은 높고 다른 숫자는 낮게 입찰할 확률이 낮은 곡선을 상상해 보세요. 이는 종형 곡선과 비슷하지만 모양이 다른 특정 수학적 공식을 따릅니다.

두 방법 모두 평균적으로 절반의 시간 (또는 특정 비율의 시간) 에 승리하는 "공정한" 게임으로 이어지며, 어느 플레이어도 무작위 패턴을 변경함으로써 승률을 높일 수 없습니다.

규칙이 불균형해지면 어떻게 될까?

논문은 게임이 공정하지 않을 때 어떻게 되는지도 살펴봅니다. 플레이어 1 의 입찰이 평균의 60% 를 차지하지만, 플레이어 2 의 입찰은 40% 만 차지한다면요?

비유: 줄다리기에서 한 팀이 훨씬 더 긴 줄을 가지고 있다고 상상해 보세요. 그 팀이 "목표"에 더 큰 영향을 미칩니다.
결과: 논문은 이 불균형에 따라 "승리 확률"이 어떻게 변하는지 정확히 계산합니다. 한 플레이어가 평균에 영향을 미치는 힘이 커질수록 게임이 변하고, 승리 확률이 예측 가능하고 수학적인 방식으로 변한다는 것을 보여줍니다.

대규모 집단 문제 (N 명의 플레이어)

마지막으로, 논문은 다음과 같은 질문을 던집니다: "입찰자가 10 명, 20 명, 또는 100 명이라면 어떻게 될까?"

혼란: 사람이 많아질수록 수학은 극도로 복잡해집니다. "목표"는 모두의 평균에 의존하며, "승리 구역"은 설명하기 어려운 복잡하고 불규칙한 모양이 됩니다.
수학적 증명: 저자는 2 명일 때처럼 100 명에 대한 간단한 공식을 작성할 수는 없었습니다. 그러나 그들은 고급 수학 (특히 다스굽타와 마스킨의 유명한 정리를 확장한 것) 을 사용하여 해결책이 여전히 존재함을 증명했습니다.
교훈: 게임이 혼란스럽고 규칙이 "불연속적"(불규칙) 이라 할지라도, 무작위 전략을 사용하여 모두가 플레이할 수 있는 안정적이고 공정한 방법이 여전히 존재합니다. 이 논문은 일반적인 경우에 정확한 공식을 쉽게 작성할 수는 없더라도 "혼합 전략 균형"이 존재함을 증명합니다.

요약

게임: 그룹 평균을 추측하고 그 바로 아래에 입찰해야 하는 모로코의 입찰 규칙.
발견: 하나의 특정 숫자를 선택해서는 이길 수 없습니다. 입찰을 무작위화해야 합니다.
수학: 이 논문은 "완벽한" 단일 수는 존재하지 않지만, 2 명의 플레이어를 위해 안정적이고 공정한 게임을 만드는 무작위 수의 특정 패턴이 존재함을 증명하며, 큰 그룹의 경우에도 정확한 패턴을 쉽게 계산할 수는 없더라도 그러한 안정된 게임이 존재함을 증명합니다.

이 논문은 본질적으로 혼란스럽고 규칙을 깨는 게임 속에서도 확률의 힘을 통해 질서와 공정성을 찾을 수 있음을 보여주는 수학적 탐정 이야기입니다.

기술적 요약: 모로코 공공 조달 게임

문제 정의
본 논문은 2023 년 3 월 개혁 이후의 모로코 공공 조달 시장을 분석한다. 새로운 규칙 하에서 계약은 최저 입찰자가 아닌, 참조 가격 $P$ 에 가장 가까운 입찰자에게 수여되며, 여기서 $P = E + \bar{x}/2$ 로 정의된다. 여기서 $E$ 는 추정 비용이고 $\bar{x}$ 는 제출된 모든 입찰의 평균이다. 입찰은 허용 구간 $[A, B]$ 내에 있어야 한다. $P$ 보다 낮은 입찰이 없는 경우, $P$ 보다 높은 쪽에서 가장 가까운 입찰자가 승리하며, 동점일 경우 추첨으로 결정한다.

저자는 이 메커니즘을 비협력적 $N$ 인 게임으로 모델링한다. 식별된 핵심 과제는 보수 함수가 불연속적이며 **준오목 (non-quasiconcave)**하다는 점이다. 결과는 입찰의 집계 평균에 대한 상대적 위치에 불연속적으로 의존하므로, 고전적 균형 존재 정리 (예: 내시, 글릭스버그) 에 필요한 준연속성과 볼록성 가정을 위반한다. 이 게임은 보수 함수가 개별 전략과 집계기뿐만 아니라 전체 전략 프로필에 의존하는 집계 게임으로 특징지어진다.

방법론
본 논문은 불연속 게임을 위해 특별히 설계된 게임 이론적 도구를 활용하여 균형의 존재와 명시적 형태를 입증한다. 방법론은 세 단계로 진행된다:

순수 전략 분석: 저자는 먼저 어떤 프로필에서도 내시 균형이 순수 전략으로 존재하지 않음을 증명한다. 이는 평균이 개별 입찰에 민감하게 반응한다는 점을 이용하여, 어떤 프로필에 대해서도 플레이어가 항상 특정 입찰 (상대방의 입찰과 $E$ 에 기반하여 계산됨) 로 편향하여 승리를 확보할 수 있음을 증명함으로써 보인다.
명시적 구성 (2 인 게임 사례): 대칭적인 2 인 게임의 경우, 본 논문은 구성적 방법을 사용하여 두 가지 구별된 혼합 전략 내시 균형을 유도한다:
- 균등 분포 기반 전략: Sion 과 Wolfe(1958) 에서 영감을 받아, $[A, B]$ 의 특정 부분 구간들에 대한 균등 분포들의 혼합을 사용하여 $1/2$ 의 값을 구성한다.
- 함수 방정식 해법: Dresher(1961) 에 따라, 저자는 최적성 조건에 기반한 함수 방정식 시스템을 설정한다. 이는 균등 분포 기반 해법과 구별되는, 특정 지지 구간에서 $1/(x-E)$ 에 비례하는 밀도 함수로 특징지어지는 두 번째 균형을 산출한다.
일반 $N$ 인 게임 사례: $N \geq 3$ $N \geq 3$ 인 경우, 불연속 집합의 복잡성으로 인해 명시적 구성은 비실용적이다. 대신 저자는 Dasgupta 와 Maskin(1986) 프레임워크의 확장 버전을 적용한다. 이는 다음을 포함한다:
- 불연속 집합 (동점, 고정점, 전이점) 을 정의하고 이들이 르베그 측도 0 을 가짐을 보인다.
- 게임이 약한 하반연속성을 만족하고 보수 함수의 합이 상반연속성을 만족함을 검증한다.
- 불연속 보수 매칭 조건 (Allison 과 Lepore, 2014) 을 검증함으로써 혼합 확장에서의 보수 보안을 확립한다. 이는 이 특정 게임 구조에서 균일 보수 보안의 실패를 극복한다.
- 유한 게임 균형의 수열이 연속 게임의 혼합 전략 균형으로 수렴함을 증명한다.

주요 결과

순수 전략에서의 부재: $N \geq 2$ 인 모든 경우에 대해 게임은 순수 전략 내시 균형을 허용하지 않는다.
2 인 게임 균형: 두 가지 명시적 대칭 혼합 전략 균형이 유도된다:
1. 구간 $[A, A_1]$ 과 $[A_1, A_2]$ 에서의 균등 분포들의 혼합을 포함하는 전략으로, 게임 값 $1/2$ 을 산출한다.
2. $[A, A_2]$ 에서 밀도 $f(x) \propto 1/(x-E)$ 를 갖는 전략으로, 역시 값 $1/2$ 을 산출한다.
비대칭 2 인 게임 사례: 본 논문은 가중 참조 가격 $P = (px + (1-p)y + E)/2 $로 모델을 일반화한다. 가중치 매개변수$ p $에 따라 대칭, 중간, 임계, 저-$ p $와 같은 서로 다른 체제를 식별한다. 임계 체제에서는$ 1/3 $, 중간 체제에서는$ 2/5$와 같은 명시적 게임 값이 유도되며, 일반 사례에 대한 명시적 밀도 함수가 제공된다.
일반 $N$ 인 게임 사례에서의 존재: 본 논문은 $N \geq 3$ 인 모든 경우에 대칭 혼합 전략 내시 균형의 존재를 확립한다. 이는 Dasgupta-Maskin 결과를 확장하여 조달 게임의 특정 불연속 구조를 처리함으로써 달성되며, 혼합 확장이 더 나은 반응에 대해 안전함을 증명한다.

의의와 주장
본 논문은 입찰자들이 비용 최소화가 아닌 집단적 행동을 예측하는 "케인즈 미용 대회"로 시장을 변형시키는 새로운 모로코 조달 메커니즘을 이해하기 위한 엄밀한 이론적 기초를 제공한다고 주장한다.

주요 기여는 불연속 게임 문헌이 종종 비구성적 존재 증명에 의존하는 반면, 2 인 게임에 대한 명시적 균형 전략의 구성적 유도를 제공한다는 점이다. 또한, 본 논문은 Dasgupta-Maskin(1986) 존재 정리를 집계기뿐만 아니라 전체 프로필에 의존하는 비표준 불연속성을 가진 특정 클래스의 집계 게임으로 확장함으로써, 일반 $N$ 인 게임 사례에 대한 대칭 혼합 균형의 존재를 확립한다. 이 연구는 추상적 불연속 게임 이론과 구체적 현실 세계 경제 정책 개혁 간의 간극을 연결한다.