On-chip measurement of the modal Stokes-Gell-Mann parameters for partially coherent three-mode light

Sintesi Tecnica: Misurazione on-chip dei parametri di Stokes-Gell-Mann modali per luce parzialmente coerente a tre modi

Definizione del problema
La manipolazione della luce parzialmente coerente in piattaforme fotoniche integrate sta emergendo come una nuova frontiera per l'elaborazione dell'informazione ottica, offrendo vantaggi nella comunicazione densa, nella trasmissione priva di scattering e nella crittografia ottica. Queste applicazioni si basano sulla "coerenza strutturata", dove i campi ottici spaziati da $N$ modi sono caratterizzati da una matrice di coerenza $N \times N$ denotata con $G$. Sebbene la ricostruzione di matrici di coerenza $2 \times 2$ (due modi) e $4 \times 4$ (quattro modi) sia già stata realizzata on-chip tramite tomografia di Stokes, rimane un vuoto significativo per le matrici di dimensione dispari, specificamente le $3 \times 3$.

I parametri di Stokes (SP) convenzionali sono definiti come coefficienti di espansione di una matrice di coerenza $2 \times 2$ in termini di matrici di Pauli. Essi non possono essere applicati direttamente a campi a tre modi, che richiedono una matrice di coerenza $3 \times 3$. Sebbene sia stato teoricamente proposto che le otto matrici di Gell-Mann (generatori del gruppo SU(3)) possano fungere da base per questi campi, fornendo otto parametri "Stokes-Gell-Mann" (SGM), la misurazione sperimentale diretta di tali parametri non è stata ancora realizzata. Inoltre, sebbene lo spazio dei campi iso-entropici (campi che condividono lo stesso valore di entropia) sia ben definito, la distinzione tra campi iso-entropici che possono essere inter-convertiti unitariamente e quelli che non possono esserlo non è stata esplorata sperimentalmente per sistemi a tre modi.

Metodologia
Gli autori presentano uno schema di misurazione on-chip che utilizza un circuito fotonico integrato (iPronics Smartlight Processor) caratterizzato da una mesh esagonale di interferometri Mach-Zehnder (MZI). L'approccio sperimentale prevede tre fasi primarie:

1. Preparazione della sorgente e regolazione dell'entropia:
   Un diodo laser viene suddiviso in tre fibre monomodali (SMF) che rappresentano i modi $|1\rangle$, $|2\rangle$ e $|3\rangle$. Vengono inseriti loop di fibra che superano la lunghezza di coerenza del laser per garantire che i modi siano inizialmente mutuamente incoerenti. L'entropia di campo $S$ viene regolata aggiustando indipendentemente la potenza in ogni modo utilizzando specifici MZI configurati come attenuatori non unitari. Ciò consente la generazione di matrici di coerenza diagonali $G_D = \text{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\}$ con autovalori la cui somma è unitaria, coprendo l'intervallo di entropia da $S=0$ (coerente) a $S=\log_2 3$ (massimamente incoerente).

2. Trasformazione Unitaria:
   La matrice diagonale $G_D$ viene trasformata da un operatore unitario arbitrario $3 \times 3$, $\hat{U}$. Tale operatore è costruito on-chip utilizzando una sequenza di unitari $2 \times 2$ che agiscono su coppie di modi ($\hat{U}_{12}, \hat{U}_{23}, \hat{U}_{13}$) e sfasatori (seguendo la decomposizione in stile Reck o Clements; nello specifico $\hat{U} = \hat{U}_{13}\hat{U}_{23}\hat{U}_{12}$ in questo lavoro). Questo passaggio genera matrici di coerenza non diagonali $G = \hat{U}G_D\hat{U}^\dagger$, preservando al contempo l'entropia del campo.

3. Misurazione dei parametri SGM:
   Gli otto parametri SGM ($s_0$ attraverso $s_8$) vengono estratti misurando le intensità modali dopo l'applicazione di specifiche trasformazioni unitarie.

• Parametri diagonali ($s_0, s_3, s_8$): Ottenuti misurando direttamente i pesi modali $I_1, I_2, I_3$ senza ulteriori miscelazioni.
• Parametri off-diagonal ($s_1, s_2, s_4, s_5, s_6, s_7$): Ottenuti implementando specifici unitari $2 \times 2$ (analoghi alle rotazioni delle matrici di Pauli) su coppie di modi ($|1\rangle$-$|2\rangle$, $|1\rangle$-$|3\rangle$ e $|2\rangle$-$|3\rangle$) prima della rilevazione. Ad esempio, $s_1$ e $s_2$ derivano dalle misurazioni sui modi $|1\rangle$ e $|2\rangle$ dopo l'applicazione di specifici unitari $\hat{U}_2$ e $\hat{U}_3$.
  I parametri misurati vengono poi utilizzati per ricostruire la matrice di coerenza $3 \times 3$ completa tramite l'espansione $G = \frac{1}{2}\sum_{j=0}^8 s_j \hat{\Lambda}_j$, dove $\hat{\Lambda}_j$ sono le matrici di Gell-Mann.

Contributi Chiave

• Prima misurazione diretta: Questo lavoro riporta la prima misurazione diretta dei parametri modali di Stokes-Gell-Mann (SGM) per la luce parzialmente coerente a tre modi, sia in spazio libero che on-chip.
• Ricostruzione di dimensione dispari: Fornisce la prima ricostruzione on-chip di una matrice di coerenza di dimensione dispari ($3 \times 3$), estendendo le capacità precedenti limitate a dimensioni pari ($N=2, 4$).
• Esplorazione dell'iso-entropia: Gli autori mappano sperimentalmente lo spazio dei campi iso-entropici. Dimostrano due categorie distinte di stati iso-entropici:
  1. Campi che possono essere inter-convertiti tra loro tramite trasformazioni unitarie (condividendo gli stessi autovalori).
  2. Campi che condividono lo stesso valore di entropia ma non possono essere inter-convertiti unitariamente (possedendo set di autovalori differenti).
• Ricostruzione ad alta fedeltà: Il sistema ha ricostruito con successo 15 matrici di coerenza distinte attraverso tre livelli di entropia ($S = 0.5, 1.0, 1.5$ bit). Le matrici ricostruite hanno mostrato un'alta fedeltà ($F \geq 0.95$, tipicamente $\approx 0.98$) rispetto alle previsioni teoriche, con valori di entropia stimati entro il 5% del target.

Risultati
L'esperimento ha regolato con successo l'entropia di campo da stati coerenti ($S=0$) a stati massimamente incoerenti ($S=\log_2 3 \approx 1.585$ bit). Applicando specifiche sequenze unitarie, gli autori hanno sintetizzato varie matrici di coerenza e ne hanno verificato la struttura attraverso la misurazione dei parametri SGM. I dati hanno confermato che, per un'entropia fissata $S > 1$ bit, la curva iso-entropica forma un ciclo chiuso all'interno dello spazio degli autovalori, contenente campi di rango 3. Per $S=1$ bit, la curva tocca i confini del triangolo degli autovalori (campi di rango 2) e, per $S < 1$ bit, le curve iso-entropiche diventano disgiunte vicino ai vertici. La fedeltà delle matrici ricostruite ha costantemente superato lo 0.95, validando il protocollo di misurazione on-chip.

Significatività
Il documento afferma che questo lavoro rappresenta un passo critico verso la generalizzazione della tomografia di Stokes alla ricostruzione on-chip di matrici di coerenza di qualsiasi dimensione. Misurando con successo i parametri SGM per $N=3$, gli autori stabiliscono una metodologia che può essere scalata per fattorizzare le misurazioni di matrici di coerenza di dimensioni dispari maggiori. Questa capacità è essenziale per sfruttare la coerenza strutturata in applicazioni avanzate come le comunicazioni ottiche, il sensing e l'elaborazione dell'informazione. Gli autori notano con modestia che, sebbene l'attuale implementazione utilizzi modi di guida d'onda on-chip, essa non risolve ancora il problema della misurazione dei parametri SGM per la luce parzialmente polarizzata 3D non parassiale (che richiede la trasduzione dei modi di polarizzazione in modi di guida d'onda), un compito che identificano come una direzione per il lavoro futuro.