On-chip measurement of the modal Stokes-Gell-Mann parameters for partially coherent three-mode light

Resumen Técnico: Medición en chip de los parámetros de Stokes-Gell-Mann modales para luz parcialmente coherente de tres modos

Planteamiento del problema
La manipulación de la luz parcialmente coherente en plataformas fotónicas integradas está emergiendo como una frontera para el procesamiento de información óptica, ofreciendo ventajas en comunicaciones densas, transmisión libre de dispersión y criptografía óptica. Estas aplicaciones dependen de la "coherencia estructurada", donde los campos ópticos abarcados por $N$ modos se caracterizan mediante una matriz de coherencia $G$ de $N \times N$. Si bien la reconstrucción de matrices de coherencia de $2 \times 2$ (dos modos) y $4 \times 4$ (cuatro modos) se ha logrado en chip mediante tomografía de Stokes, persiste una brecha significativa para las matrices de dimensión impar, específicamente las de $3 \times 3$.

Los parámetros de Stokes (SPs) convencionales se definen como coeficientes de expansión de una matriz de coherencia de $2 \times 2$ en términos de matrices de Pauli. Estos no pueden aplicarse directamente a campos de tres modos, que requieren una matriz de coherencia de $3 \times 3$. Aunque se ha propuesto teóricamente que las ocho matrices de Gell-Mann (generadores del grupo SU(3)) podrían servir como base para estos campos, proporcionando ocho parámetros "Stokes-Gell-Mann" (SGM), la medición experimental directa de estos parámetros no se ha realizado. Además, aunque el espacio de campos isoentrópicos (campos que comparten el mismo valor de entropía) está bien definido, la distinción entre los campos isoentrópicos que pueden interconvertirse unitariamente y aquellos que no pueden, no ha sido explorada experimentalmente para sistemas de tres modos.

Metodología
Los autores presentan un esquema de medición en chip utilizando un circuito fotónico integrado (procesador iPronics Smartlight) que cuenta con una malla hexagonal de interferómetros Mach-Zehnder (MZIs). El enfoque experimental involucra tres etapas primarias:

1. Preparación de la fuente y ajuste de la entropía:
   Un diodo láser se divide en tres fibras monomodo (SMFs) que representan los modos $|1\rangle$, $|2\rangle$ y $|3\rangle$. Se insertan bucles de fibra que exceden la longitud de coherencia del láser para asegurar que los modos sean inicialmente mutuamente incoherentes. La entropía de campo $S$ se ajusta modificando independientemente la potencia en cada modo mediante MZIs específicos configurados como atenuadores no unitarios. Esto permite la generación de matrices diagonales $G_D = \text{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\}$ con autovalores cuya suma es la unidad, abarcando el rango de entropía desde $S=0$ (coherente) hasta $S=\log_2 3$ (máximamente incoherente).

2. Transformación Unitaria:
   Para explorar la estructura de la matriz de coherencia, la matriz diagonal $G_D$ se transforma mediante un operador unitario arbitrario de $3 \times 3$, $\hat{U}$. Este unitario se construye en chip utilizando una secuencia de unitarios de $2 \times 2$ que actúan sobre pares de modos ($\hat{U}_{12}, \hat{U}_{23}, \hat{U}_{13}$) y desplazadores de fase, siguiendo la descomposición mostrada en el estilo de Reck o Clements (específicamente $\hat{U} = \hat{U}_{13}\hat{U}_{23}\hat{U}_{12}$ en este trabajo). Este paso genera matrices de coherencia no diagonales $G = \hat{U}G_D\hat{U}^\dagger$ preservando al mismo tiempo la entropía del campo.

3. Medición de los parámetros SGM:
   Los ocho parámetros SGM ($s_0$ a $s_8$) se extraen midiendo las intensidades modales tras aplicar transformaciones unitarias específicas.

• Parámetros diagonales ($s_0, s_3, s_8$): Se obtienen mediante la medición directa de los pesos modales $I_1, I_2, I_3$ sin mezclas adicionales.
• Parámetros fuera de la diagonal ($s_1, s_2, s_4, s_5, s_6, s_7$): Se obtienen implementando unitarios de $2 \times 2$ específicos (análogos a las rotaciones de la matriz de Pauli) sobre pares de modos ($|1\rangle$-$|2\rangle$, $|1\rangle$-$|3\rangle$ y $|2\rangle$-$|3\rangle$) antes de la detección. Por ejemplo, $s_1$ y $s_2$ se derivan de mediciones en los modos $|1\rangle$ y $|2\rangle$ tras aplicar unitarios específicos $\hat{U}_2$ y $\hat{U}_3$.
  Los parámetros medidos se utilizan luego para reconstruir la matriz de coherencia completa de $3 \times 3$ mediante la expansión $G = \frac{1}{2}\sum_{j=0}^8 s_j \hat{\Lambda}_j$, donde $\hat{\Lambda}_j$ son las matrices de Gell-Mann.

Contribuciones clave

• Primera medición directa: Este trabajo reporta la primera medición directa de los parámetros de Stokes-Gell-Mann (SGM) modales para luz de tres modos parcialmente coherente, tanto en espacio libre como en chip.
• Reconstrucción de dimensión impar: Proporciona la primera reconstrucción en chip de una matriz de coherencia de dimensión impar ($3 \times 3$), extendiendo las capacidades previas limitadas a dimensiones pares ($N=2, 4$).
• Exploración de la isoentropía: Los autores mapean experimentalmente el espacio de los campos isoentrópicos. Demuestran dos categorías distintas de estados isoentrópicos:
  1. Campos que pueden interconvertirse entre sí mediante transformaciones unitarias (compartiendo los mismos autovalores).
  2. Campos que comparten el mismo valor de entropía pero no pueden interconvertirse unitariamente (poseyendo diferentes conjuntos de autovalores).
• Alta fidelidad de reconstrucción: El sistema reconstruyó con éxito 15 matrices de coherencia distintas a través de tres niveles de entropía ($S = 0.5, 1.0, 1.5$ bits). Las matrices reconstruidas mostraron una alta fidelidad ($F \geq 0.95$, típicamente $\approx 0.98$) en comparación con las predicciones teóricas, con valores de entropía estimados dentro de un 5% del objetivo.

Resultados
El experimento logró ajustar la entropía de campo desde estados coherentes ($S=0$) hasta estados máximamente incoherentes ($S=\log_2 3 \approx 1.585$ bits). Al aplicar secuencias unitarias específicas, los autores sintetizaron diversas matrices de coherencia y verificaron su estructura mediante la medición de los parámetros SGM. Los datos confirmaron que para una entropía fija $S > 1$ bit, la curva isoentrópica forma un lazo cerrado dentro del espacio de autovalores, conteniendo campos de rango 3. En $S=1$ bit, la curva toca los límites del triángulo de autovalores (campos de rango 2), y para $S < 1$ bit, las curvas isoentrópicas se vuelven disjuntas cerca de los vértices. La fidelidad de las matrices reconstruidas superó consistentemente el 0.95, validando el protocolo de medición en chip.

Significancia
El artículo afirma que este trabajo representa un paso crítico hacia la generalización de la tomografía de Stokes para la reconstrucción en chip de matrices de coherencia de cualquier dimensión. Al medir con éxito los parámetros SGM para $N=3$, los autores establecen una metodología que puede escalarse para factorizar mediciones de matrices de coherencia de dimensiones impares mayores. Esta capacidad es esencial para explotar la coherencia estructurada en aplicaciones avanzadas como las comunicaciones ópticas, la detección y el procesamiento de información. Los autores señalan modestamente que, si bien la implementación actual utiliza modos de guía de onda en chip, aún no resuelve el problema de medir los parámetros SGM para la luz parcialmente polarizada 3D no paraxial (que requiere transducir los modos de polarización a modos de guía de onda), una tarea que identifican como una dirección para trabajos futuros.