On-chip measurement of the modal Stokes-Gell-Mann parameters for partially coherent three-mode light

技術要約：部分コヒーレントな3モード光におけるモード・ストークス・ゲルマン・パラメータのオンチップ測定

問題提起
部分コヒーレント光の集積フォトニクス・プラットフォームにおける操作は、高密度通信、散乱のない伝送、および光学暗号化において利点を提供し、光学情報処理の最前線として浮上しています。これらのアプリケーションは、「構造化されたコヒーレンス」に依存しており、そこでは$N$個のモードによって広がる光学場は、$N \times N$のコヒーレンス行列$G$によって特徴付けられます。$2 \times 2$（2モード）および$4 \times 4$（4モード）のコヒーレンス行列の再構成はストークス・トモグラフィーを通じてオンチップで実現されていますが、奇数次元の行列、具体的には$3 \times 3$の行列については大きなギャップが残っています。

従来のストークス・パラメータ（SP）は、パウリ行列を用いた$2 \times 2$コヒーレンス行列の展開係数として定義されています。これらは3モード場に直接適用することはできず、3モード場には$3 \times 3$のコヒーレンス行列が必要です。8つのゲルマン行列（SU(3)群の生成子）がこれらの場の基底として機能し、8つの「ストークス・ゲルマン（SGM）」パラメータをもたらすことが理論的に提案されてきましたが、これらのパラメータの直接的な実験的測定は実現していませんでした。さらに、等エントロピー場（同じエントロピー値を持つ場）の空間は明確に定義されていますが、ユニタリ変換によって相互変換可能な等エントロピー場と、不可能なものとの区別は、3モード系において実験的に探索されていませんでした。

手法
著者らは、ヘキサゴナル（六角形）メッシュのマッハ・ツェンダー干渉計（MZI）を備えたフォトニック集積回路（iPronics Smartlight Processor）を用いたオンチップ測定スキームを提示しています。実験アプローチは、主に以下の3つの段階で構成されます。

1. 光源の準備とエントロピのチューニング：
   レーザーダイオード光源を、モード$|1\rangle$、$|2\rangle$、$|3\rangle$を表す3本のシングルモードファイバー（SMF）に分割します。モードを初期状態で互いに非コヒーレントにするために、レーザーのコヒーレンス長を超えるファイバーループを挿入します。フィールドエントロピー$S$は、特定の非ユニタリ減衰器として構成されたMZIを用いて、各モードのパワーを独立して調整することでチューニングされます。これにより、固有値の和が1となる対角コヒーレンス行列$G_D = \text{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\}$を生成し、$S=0$（コヒーレント）から$S=\log_2 3$（最大非コヒーレント）までのエントロピー範囲を網羅します。

2. ユニタリ変換：
   コヒーレンス行列の構造を探索するために、対角行列$G_D$を任意の$3 \times 3$ユニタリ演算子$\hat{U}$によって変換します。このユニタリ演算子は、ペア（$\hat{U}_{12}, \hat{U}_{23}, \hat{U}_{13}$）に対して作用する一連の$2 \times 2$ユニタリと位相シフタを用い、ReckまたはClements形式の分解（本研究では具体的に$\hat{U} = \hat{U}_{13}\hat{U}_{23}\hat{U}_{12}$）に従ってオンチップで構築されます。このステップにより、フィールドエントロピーを保持しながら、非対角コヒーレンス行列$G = \hat{U}G_D\hat{U}^\dagger$を生成します。

3. SGMパラメータの測定：
   8つのSGMパラメータ（$s_0$から$s_8$）は、特定のユニタリ変換を適用した後のモード強度を測定することによって抽出されます。

• 対角パラメータ（$s_0, s_3, s_8$）： 追加の混合を行うことなく、モードの重み$I_1, I_2, I_3$を直接測定することで得られます。
• 非対角パラメータ（$s_1, s_2, s_4, s_5, s_6, s_7$）： 検出前に、モードのペア（$|1\rangle$-$|2\rangle$、$|1\rangle$-$|3\rangle$、および$|2\rangle$-$|3\rangle$）に対して特定の$2 \times 2$ユニタリ（パウリ行列の回転に類似）を実装することによって得られます。例えば、$s_1$と$s_2$は、特定のユニタリ$\hat{U}_2$および$\hat{U}_3$を適用した後のモード$|1\rangle$および$|2\rangle$の測定から導出されます。
  測定されたパラメータは、展開式$G = \frac{1}{2}\sum_{j=0}^8 s_j \hat{\Lambda}_j$（ここで$\hat{\Lambda}_j$はゲルマン行列）を通じて、完全な$3 \times 3$コヒーレンス行列を再構成するために使用されます。

主な貢献

• 初の直接測定： 本研究は、自由空間およびオンチップの両方において、部分コヒーレントな3モード光のモード・ストークス・ゲルマン（SGM）パラメータの初の直接測定を報告しています。
• 奇数次元の再構成： これは、偶数次元（$N=2, 4$）に限定されていた従来の能力を拡張し、奇数次元（$3 \times 3$）のコヒーレンス行列の初のオンチップ再構成を提供します。
• 等エントロピーの探索： 著者らは、等エントロピー場の空間を実験的にマッピングしています。彼らは、以下の2つの異なるカテゴリーの等エントロピー状態を実証しています：
  1. ユニタリ変換によって相互に変換可能な場（同じ固有値を共有する）。
  2. 同じエントロピー値を持つが、ユニタリ変換によって相互に変換できない場（異なる固有値セットを持つ）。
• 高忠実度再構成： システムは、3つのエントロピーレベル（$S = 0.5, 1.0, 1.5$ bits）にわたって15個の異なるコヒーレンス行列を正常に再構成しました。再構成された行列は、理論的予測に対して高い忠実度（$F \geq 0.95$、通常は約$0.98$）を示し、推定されたエントロピー値はターゲットの5%以内でした。

結果
実験により、フィールドエントロピーをコヒーレント状態（$S=0$）から最大非コヒーレント状態（$S=\log_2 3 \approx 1.585$ bits）までチューニングすることに成功しました。特定のユニタリシーケンスを適用することにより、著者らは様々なコヒーレンス行列を合成し、SGMパラメータ測定を通じてその構造を検証しました。データは、固定されたエントロピー$S > 1$ bitに対して、等エントロピー曲線が固有値空間内で閉じたループを形成し、ランク3の場を含むことを確認しました。$S=1$ bitにおいて、曲線は固有値三角形の境界（ランク2の場）に接触し、$S < 1$ bitでは、等エントロピー曲線は頂点の近くで離散的になります。再構成された行列の忠実度は一貫して0.95を超えており、オンチップ測定プロトコルの妥当性を証明しました。

意義
本論文は、この研究が、任意の次元のコヒーレンス行列のオンチップ再構成に向けてストークス・トモグラフィーを一般化するための重要なステップであると主張しています。$N=3$のSGMパラメータを測定することに成功したことで、著者らは、より大きな奇数次元のコヒーレンス行列の測定を因数分解できる手法を確立しました。この能力は、高度な通信、センシング、および情報処理などのアプリケーションにおいて、構造化されたコヒーレンスを活用するために不可欠です。著者らは、現在の実装はオンチップ導波路モードを使用しているものの、非パキシャルな3D部分偏光光のSGMパラメータを測定する問題（偏光モードを導波路モードに変換する必要がある）はまだ解決しておらず、これを今後の課題として挙げています。