On-chip measurement of the modal Stokes-Gell-Mann parameters for partially coherent three-mode light

Resumo Técnico: Medição On-chip de Parâmetros de Stokes-Gell-Mann Modais para Luz Parcialmente Coerente de Três Modos

Definição do Problema
A manipulação de luz parcialmente coerente em plataformas fotônicas integradas está emergindo como uma fronteira para o processamento de informações ópticas, oferecendo vantagens em comunicações densas, transmissão livre de espalhamento e criptografia óptica. Essas aplicações dependem da "coerência estruturada", onde campos ópticos abrangidos por $N$ modos são caracterizados por uma matriz de coerência $N \times N$ $G$. Embora a reconstrução de matrizes de coerência $2 \times 2$ (dois modos) e $4 \times 4$ (quatro modos) já tenha sido alcançada on-chip via tomografia de Stokes, uma lacuna significativa permanece para matrizes de dimensão ímpar, especificamente $3 \times 3$.

Os parâmetros de Stokes (SPs) convencionais são definidos como coeficientes de expansão de uma matriz de coerência $2 \times 2$ em termos de matrizes de Pauli. Eles não podem ser aplicados diretamente a campos de três modos, que requerem uma matriz de coerência $3 \times 3$. Embora tenha sido proposto teoricamente que as oito matrizes de Gell-Mann (geradores do grupo SU(3)) poderiam servir como uma base para esses campos, resultando em oito parâmetros "Stokes-Gell-Mann" (SGM), a medição experimental direta desses parâmetros ainda não havia sido realizada. Além disso, embora o espaço de campos isoentrópicos (campos que compartilham o mesmo valor de entropia) seja bem definido, a distinção entre campos isoentrópicos que podem ser interconvertidos unitariamente e aqueles que não podem ser, não havia sido explorada experimentalmente para sistemas de três modos.

Metodologia
Os autores apresentam um esquema de medição on-chip utilizando um circuito fotônico integrado (processador iPronics Smartlight) que apresenta uma malha hexagonal de interferômetros Mach-Zehnder (MZIs). A abordagem experimental envolve três estágios primários:

1. Preparação da Fonte e Ajuste de Entropia:
   Uma fonte de diodo laser é dividida em três fibras monomodo (SMFs) representando os modos $|1\rangle$, $|2\rangle$ e $|3\rangle$. Loops de fibra excedendo o comprimento de coerência do laser são inseridos para garantir que os modos sejam inicialmente mutuamente incoerentes. A entropia de campo $S$ é ajustada através do controle independente da potência em cada modo usando MZIs específicos configurados como atenuadores não unitários. Isso permite a geração de matrizes de coerência diagonais $G_D = \text{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\}$ com autovalores que somam unidade, abrangendo o intervalo de entropia de $S=0$ (coerente) a $S=\log_2 3$ (maximamente incoerente).

2. Transformação Unitária:
   Para explorar a estrutura da matriz de coerência, a matriz diagonal $G_D$ é transformada por um operador unitário arbitrário $3 \times 3$ $\hat{U}$. Este unitário é construído on-chip usando uma sequência de unitários $2 \times 2$ atuando em pares de modos ($\hat{U}_{12}, \hat{U}_{23}, \hat{U}_{13}$) e deslocadores de fase, seguindo a decomposição mostrada no estilo Reck ou Clements (especificamente $\hat{U} = \hat{U}_{13}\hat{U}_{23}\hat{U}_{12}$ neste trabalho). Esta etapa gera matrizes de coerência não diagonais $G = \hat{U}G_D\hat{U}^\dagger$ enquanto preserva a entropia do campo.

3. Medição dos Parâmetros SGM:
   Os oito parâmetros SGM ($s_0$ a $s_8$) são extraídos medindo as intensidades modais após a aplicação de transformações unitárias específicas.

   • Parâmetros Diagonais ($s_0, s_3, s_8$): Obtidos pela medição direta dos pesos modais $I_1, I_2, I_3$ sem misturas adicionais.
   • Parâmetros Fora da Diagonal ($s_1, s_2, s_4, s_5, s_6, s_7$): Obtidos pela implementação de unitários $2 \times 2$ específicos (análogos a rotações de matriz de Pauli) em pares de modos ($|1\rangle$-$|2\rangle$, $|1\rangle$-$|3\rangle$ e $|2\rangle$-$|3\rangle$) antes da detecção. Por exemplo, $s_1$ e $s_2$ são derivados de medições nos modos $|1\rangle$ e $|2\rangle$ após a aplicação de unitários específicos $\hat{U}_2$ e $\hat{U}_3$.
     Os parâmetros medidos são então usados para reconstruir a matriz de coerência $3 \times 3$ completa via a expansão $G = \frac{1}{2}\sum_{j=0}^8 s_j \hat{\Lambda}_j$, onde $\hat{\Lambda}_j$ são as matrizes de Gell-Mann.

Principais Contribuições

• Primeira Medição Direta: Este trabalho relata a primeira medição direta dos parâmetros de Stokes-Gell-Mann (SGM) modais para luz de três modos parcialmente coerente, tanto em espaço livre quanto on-chip.
• Reconstrução de Dimensão Ímpar: Fornece a primeira reconstrução on-chip de uma matriz de coerência de dimensão ímpar ($3 \times 3$), estendendo as capacidades anteriores limitadas a dimensões pares ($N=2, 4$).
• Exploração de Isoentropia: Os autores mapeiam experimentalmente o espaço de campos isoentrópicos. Eles demonstram duas categorias distintas de estados isoentrópicos:
  1. Campos que podem ser interconvertidos entre si via transformações unitárias (compartilhando os mesmos autovalores).
  2. Campos que compartilham o mesmo valor de entropia, mas não podem ser interconvertidos unitariamente (possuindo conjuntos de autovalores diferentes).
• Reconstrução de Alta Fidelidade: O sistema reconstruiu com sucesso 15 matrizes de coerência distintas através de três níveis de entropia ($S = 0,5, 1,0, 1,5$ bits). As matrizes reconstruídas mostraram alta fidelidade ($F \geq 0,95$, tipicamente $\approx 0,98$), com valores de entropia estimados dentro de 5% do alvo.

Resultos
O experimento ajustou com sucesso a entropia de campo de estados coerentes ($S=0$) para estados maximamente incoerentes ($S=\log_2 3 \approx 1,585$ bits). Ao aplicar sequências unitárias específicas, os autores sintetizaram várias matrizes de coerência e verificaram sua estrutura através da medição dos parâmetros SGM. Os dados confirmaram que, para uma entropia fixa $S > 1$ bit, a curva isoentrópica forma um loop fechado dentro do espaço de autovalores, contendo campos de posto-3 (rank-3). Em $S=1$ bit, a curva toca as fronteiras do triângulo de autovalores (campos de posto-2/rank-2) e, para $S < 1$ bit, as curvas isoentrópicas tornam-se disjuntas próximas aos vértices. A fidelidade das matrizes reconstruídas excedeu consistentemente 0,95, validando o protocolo de medição on-chip.

Significância
O artigo afirma que este trabalho representa um passo crítico para generalizar a tomografia de Stokes para a reconstrução on-chip de matrizes de coerência de qualquer dimensão. Ao medir com sucesso os parâmetros SGM para $N=3$, os autores estabelecem uma metodologia que pode ser escalonada para fatorizar medições de matrizes de coerência de dimensões ímpas maiores. Essa capacidade é essencial para explorar a coerência estruturada em aplicações avançadas, como comunicações ópticas, sensores e processamento de informações. Os autores observam modestamente que, embora a implementação atual utilize modos de guia de onda on-chip, ela ainda não resolve o problema de medir parâmetros SGM para luz parcialmente polarizada 3D não-paraxial (o que requer a transdução de modos de polarização para modos de guia de onda), uma tarefa que identificam como uma direção para trabalhos futuros.